小升初专练-数论问题-带余除法通用版(含答案)

小升初专练-数论问题-带余除法
【知识点归纳】
如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法．一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r．
当r=0时，我们称a能被b整除
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．
【常考题型】
例1：所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A、1200
B、1208
C、1210
D、1224
E、1229
分析：本题中，由整除的意义可知，除以4后余1的最小两位数是：12+1=13．除以4后余1的最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以4后余1的两位数一共有多少个？即所有除以4后余1的数组成的数列：13+17+21+…+97的项数有多少？由题意知数列的公差是4，那么计算项数得：（97-13）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．
解：除以4后余1的最小两位数是：12+1=13，
除以4后余1的最大两位数是：96+1=97，
那么除以4后余1的两位数一共有：（97-13）÷4+1=22（个），
所有除以4后余1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
=（13+97）×22÷2
=110×11
=1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
故选：C．
点评：本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以4余1这一特点，想到满足条件的最小的两位数是13，最大的两位数是97，是一个公差为4的等差数列．
例2：一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余；如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余；如果每天读N页，恰好N（N是自然数）天读完，这本书是（）页．
分析：设页数为x，①由“一本书如果每天读80页，那么4天读不完，5天又有余”得320＜x＜
400；②由“如果每天读90页，那么3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得320＜x ＜360．满足上述条件的只有n=18.320＜18×18=324＜36．
解：设页数为x，①320＜x＜400；
②270＜x＜360；
③由①②得：320＜x＜360，
满足上述条件的只有n=18．
320＜18×18=324＜360．
故答案为：324．
点评：此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
【解题思路】
对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法．
一．选择题
1．有四个自然数A、B、C、D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。

那么，这四个自然数的和是（ ）
A．216B．108C．314D．348
2．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是（ ）
A．3B．6C．2D．1
3．所有被4除余1的两位数的和为（ ）
A．1200B．1208C．1210D．1224
E．1229
4．两个自然数同时除以13，所得的余数分别是6和9，它们之积除以13的余数为（ ）A．9B．7C．6D．2
二．填空题
5．1+2+3+……+3006的和除以7的余数是 。

6．大于100的整数中，被13除后商与余数相同的数有 个．
7．一堆棋子，3个3个数，余下1个；5个5个数，余下2个；7个7个数，余下3个，这堆棋子最少有 个。

8．有一个自然数，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，则a＝ ．
9．整数除法，余数要比除数小．从1到1994各数都分别除以9，所有余数的和是 ．
10．一个三位数，被43除余27，被42除余5．那么，这个三位数是 ．若这是一个四位数，则最小的四位数是 ．
11．有一个整数，用它去除63、91、129得到三个余数之和是25，这个整数是 ．
12．若一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，则适合条件的200以内的最大的数是 ．
三．计算题
13．4048×4048+4049×4049+4050×4050除以8的余数是多少？
14．已知4321除以7的余数是2，3153除以7的余数是3，1894除以7的余数是4，求4321+3153+1894除以7的余数．
四．解答题
15．已知1477除以一个两位数，余数是49，求满足这样条件的所有两位数。

16．某数被11除余6，被7除余1；若该数被77除，求余数．
17．如图1中的短除式所示，一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的商是a．图2中的短除式表明：这个自然数被17除余4，所得的商被17
除余15，最后得到的商是a的2倍．求这个自然数．
18．某校9个课外兴趣小组，各组人数如下表．一天下午有8个小组同学听数学课或作文讲座．其中听数学讲座的人数是听作文讲座人数的，剩下的一个组外出活动．问这个外出活动的小组是第
几组？
组别一二三四五六七八九
人数579101113141723
19．两个数相除商9余4，如果被除数、除数都扩大到原来的3倍．那么被除数、除数、商、余数之和等于2583．原来的被除数和除数各是多少？
20．大科学家爱因斯坦曾经做过一道数学题：在你前面有一条长长的阶梯，如果你每步跨2级，最后剩下1级；如果你每步跨3级，最后剩下2级；如果你每步跨5级，最后剩下4级；如果每步跨6
级，最后剩下5级；只有当你每步跨7级时，最后正好走完，1级不剩．这条阶梯最少有
级．
小升初专练-数论问题-带余除法
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意：
A＝5B+5A＝6C+6A＝7D+7
5（B+1）＝6（C+1）＝7（D+1）＝A
所以A为5、6、7的公倍数，因为5、6、7的最小公倍数为210，因为它们的和不超过400，所以A＝210
所以：210÷5﹣1＝41
210÷6﹣1＝34
210÷7﹣1＝29
B＝41
C＝34
D＝29
这四个自然数的和是210+41+34+29＝314。

答案：C。

2．解：假设一个数被7除，余数是3，商是a，则这个数是：7a+3，这个数的3倍被7除时余数是：
3（7a+3）÷7＝3a+9÷7＝（3a+1）…2，
所以余数是2，
答案：C．
3．解：除以4后余1的最小两位数是：12+1＝13，
除以4后余1的最大两位数是：96+1＝97，
那么除以4后余1的两位数一共有：（97﹣13）÷4+1＝22（个），所有除以4后余1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
＝（13+97）×22÷2
＝110×11
＝1210．
答：一切除以4后余1的两位数的和是1210．
答案：C．
4．解：设两数分别为13k+6，13m+9，k，m都是整数，则两数之积为：
（13k+6）×（13m+9）＝169km+117k+78m+54，
因为k，m都是整数，169、117、78都是13的倍数，所以前三个都是13的整数倍，
最后剩下54，
因为：54÷13＝4…2，
所以它们之积除以13的余数为2．
答案：D．
二．填空题
5．解：1+2+3+……+3006
＝（1+3006）×3006÷2
＝3007×1503
3007÷7的余数为4，1503÷7的余数为5，
5×4÷7＝2 (6)
故1+2+3+……+3006的和除以7的余数是6。

答案：6。

6．解：设大于100的整数中，被13除后的余数为x，则被13除后商与余数相同的数为：13x+x＝（13+1）x＝14x．
因为x＜13，
所以100＜14x＜182，
解得7＜x＜13，
又因为x为整数，
所以x可以为：8、9、10、11、12，
所以被13除后商与余数相同的数有5个，分别是112，126，140，154，168．
答：被13除后商与余数相同的数有5个．
答案：5．
7．解：3和5的最小公倍数是3×5＝15
7+15×3
＝7+45
＝52（个）
所以这堆棋子最少有52个。

8．解：由题意得知，用此数去除410余a，去除525余a，即除226、410、525的余数相同．
410﹣226＝184＝23×8，525﹣226＝299＝23×13，525﹣410＝115＝23×5，所以此自然数是：23，
226÷23＝9…19，
即：a＝19；
答案：19．
9．解：1994÷9＝221 (5)
余数和是：221×（1+2+…+0）+（1+2+3+4+5），
＝221×36+15，
＝7956+15，
＝7971．
答：所有余数的和是7971．
答案：7971．
10．解：被43除尽，且被42除余5的数是43×5＝215；被42除尽，且被43除余27的数是42×（43﹣27）＝672；则三位数为215+672＝887；
因为43×42＝1806，所以最小的四位数是：1806+887＝2693．
答案：887，2693．
11．解：63+91+129﹣25＝258，
258＝2×3×43，
那么这个数可能是：2、3、43、6、86、129；
又这个数应小于63，大于25，这个数只能是43．
答案：43．
12．解：200以内除以3余2的数有：197、194、191、188、185、182、179、176、173、170、167、164、161、158、155、152、149、146、143、140、137、134、131、128、125……
200以内除以5余3的数有：198、193、188、183、178、173、168、163、158、153、148、143、138、133、128、123……
200以内除以7余2的数有：198、191、184、177、170、163、156、149、142、135、128、121……
重合的数是128，
128÷5＝25……3，
128÷3＝42……2，
128÷7＝18……2．符合题意．
答案：128．
三．计算题
13．解：4048×4048+4049×4049+4050×4050
＝4048×4048+（4048+1）×4049+（4048+2）×4050
＝4048×4048+4048×4049+4049+4048×4050+2×4050
因为4048÷8＝506，
所以4048×4048+4049×4049+4050×4050除以8的余数与4019+2×4050除以8的余数相同，（4019+2×4050）÷8
＝（4019+8100）÷8
＝12119÷8
＝1514 (7)
答：4048×4048+4049×4049+4050×4050除以8的余数是7．
14．解：2+3+4＝9
9÷7＝1 (2)
答：4321+3153+1894除以7的余数是2．
四．解答题
15．解：1477﹣49＝1428
1428＝2×2×3×7×17
2×2×3×7＝84
3×17＝51
2×2×17＝68
故满足这样条件的所有两位数：51，68，84。

答：满足这样条件的所有两位数：51，68，84。

16．解：某数被11除余6，也就是被11整除，最少差5，若果某数是11的倍数，可以加上5或16或27或38等等．
被7除余1，也就是被7整除最少差6，如果某数是7的倍数，可以加上6或13或20或27或34等等．要同时被11和7除尽，由上面可以看出，最少加上27．所以某数加上27一定是11和7的公倍数．
设某数是X，则X+27＝11×7×n（n为不是0的自然数）
n＝1时，X最小，解得：X＝50
X＝50时，是满足条件的最小的数．
则：50÷77＝0 (50)
对：若该数被77除，余数是50．
17．解：根据被除数＝除数×商+余数，
由图1得所求的自然数为：8×+1，
由图2得所求的自然数为：17×（2a×17+15）+4，
由以上可得方程：
8×+1＝17×（2a×17+15）+4，
8×（64a+57）+1＝17×（34a+15）+4，
512a+457＝578a+259，
66a＝198，
a＝3；
把a＝3代入8×+1得：
8×+1＝512a+457＝512×3+457＝1993．
答：这个自然数为1993．
18．解：1+6＝7，
（5+7+9+10+11+13+14+17+23）÷7＝15…4，
9个小组人数中只有11除以7余4，
所以这个外出活动的小组是第五组．
答：这个外出活动的小组是第五组．
19．解：当被除数和除数扩大到原来的3倍时，余数也会扩大3倍，商不变．因此商还是9，余数就变成了4×3＝12．所以，被除数＝除数×9+12．
所以，被除数+除数+商+余数＝除数×9+12+除数+9+12
整理可以知道：除数＝（2583﹣12×2﹣9）÷（9+1）＝255
所以被除数是255×9+12＝2307．
所以原来的被除数是2307÷3＝769，除数是255÷3＝85．
答：原来的被除数是769，除数是85．
20．解：所求的阶梯数应比2、3、5、6的公倍数（即30的倍数）小1，并且是7的倍数．因此从29、59、89、119、149…中找7的倍数就可以了．
所以答案为119．
答：这条阶梯有119阶．
答案：119．。