高三高考数学总复习《解三角形》题型归纳与汇总

高考数学总复习题型分类汇
《解三角形》篇
经
典
试
题
大
汇
总
目录
【题型归纳】
题型一利用正、余弦定理解三角形 (3)
题型二角的正弦值和边的互化 (4)
题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5)
题型四和三角形面积有关的问题 (6)
【巩固训练】
题型一利用正、余弦定理解三角形 (8)
题型二角的正弦值和边的互化 (10)
题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11)
题型四和三角形面积有关的问题 (11)
高考数学《解三角形》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 利用正、余弦定理解三角形
例1 在ABC ∆中，cos
2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB
A ．
B
C
D ．【答案】A
【解析】因为2
13
cos 2cos 121255
=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得2223
2cos 251251()325
=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，
所以=AB A ．
例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，13
5cos =C ，1=a ，则=b ． 【答案】
13
21
【解析】∵4cos 5A =
，5
cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13
C =， 所以()63
sin sin sin cos cos sin 65
B A
C A C A C =+=+=， 由正弦定理得：
sin sin b a B A =
解得21
13
b =．
例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（ ）.
A ．
π12
B ．
π6
C ．
π4
D ．
π3
【答案】B
【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得
sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，
即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛
⎫+=
+= ⎪⎝
⎭，所以34A π=.
由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4
C =
π，即1sin 2C =，得6
C π=.故选B .
【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错
【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.
用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.
题型二 角的正弦值和边的互化
例1 ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=
，则
=a
b
A ．
B ．
C
D 【答案】B
【解析】由正弦定理，得22
sin sin sin cos A B B A A +=
，
即22
sin (sin cos )B A A A ⋅+=
，sin B A =，∴
sin sin b B a A
==． 例2 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则
3sin 5sin ,A B =则角C =_____.
【答案】
π3
2 【解析】3sin 5sin A B =，π32
212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π3
2．
例3 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6
b A a B π
=-． （1）求角B 的大小；
（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．
【答案】（1）3
B π
=
（2）b =，sin(2)14
A B -=
【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得π
sin cos()6a B a B =-，
即π
sin cos()6
B B =-，可得tan B =
又因为(0π)B ∈，，可得3
B π
=
．
(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3
B π
=，
有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =
由πsin cos()
6
b A a B =-，可得sin A =
a c <，故cos A =．
因此sin 22sin cos A A A ==
21cos 22cos 17
A A =-=．
所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=
11727214
⨯-⨯= 例4 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ；
（2）若c ABC △=
的面积为
2
，求ABC △的周长．
【答案】（1）π
3
C =
（2）5a b c ++= 【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=
()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =
∵()0πC ∈， ∴π
3
C =．
⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅ 221722a b ab =+-⋅
()2
37a b ab +-=
1
sin 2S ab C =⋅
∴6ab = ∴()2
187a b +-= ∴ABC △周长为5a b c ++=+
题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例1 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
【答案】B
【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，
∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，
∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴ABC ∆是直角三角形．
例2 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
A b
c
cos <，则ABC ∆为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形
D.等边三角形
【答案】C
【解析】由
A b c cos <，得A B
C cos sin sin <， 所以A B C cos sin sin <，即()A B B A cos sin sin <+，所以0cos sin <B A ，
因为在三角形中0sin >A ，所以0cos <B ，即B 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形.
例3 在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则ABC ∆的形状为（ ）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D
【解析】由已知可得A
A
B
B B A
cos sin sin cos sin sin 22=,B B A A cos sin cos sin =,B A 2sin 2sin =即B A 22=或π=+B A 22,可得B A =或2
π
=
+B A ,所以ABC ∆的形状为等腰三角形或直角三角形.
【易错点】诱导公式易出错
【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
题型四 和三角形面积有关的问题
例1 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为222
4
a b c +-，则C =
A ．
2
π B ．
3
π C ．
4
π D ．
6
π 【答案】C
【解析】根据题意及三角形的面积公式知222
1sin 24
a b c ab C +-=，
所以222sin cos 2a b c C C ab +-=
=，所以在ABC ∆中，4
C π
=．故选C ． 例2 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若2
2
()6c a b =-+，3
C π
=
，则ABC ∆的面
积是
A ．3
B ．239
C ．2
3
3 D ．33 【答案】C
【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3
C π
=可得222a b c ab +-=②．所
以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆=
=
例3 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =． （1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积． 【答案】(1)4 (2)
3
【解析】（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，
又()0,πA ∈，所以ππ3A +
=，得2π
3
A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.
又因为12,cos 2
a b A ===-代入并整理得()2
125c +=，解得4c =.
（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==
因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD
从而点D 为BC 的中点，111
sin 222
ABD ABC S S AB AC A =
=⨯⨯⨯⨯=△ 【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边
【思维点拨】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
∆，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
【巩固训练】
题型一 利用正、余弦定理解三角形
1.在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒
∠=∠==，则AC =
A ．
B ．
C
D 【答案】B
【解析】由正弦定理得：
sin sin sin 60sin 45BC AC AC
AC A B ︒︒
=⇔=⇔=
2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大
小为 ． 【答案】
6
π
【解析】由sin cos B B +=
12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，
因02B π<<，所以2,2
4
B B π
π
=
=
.又因为2,a b ==
由正弦定理得
2sin sin 4
A π=，
解得1sin 2A =
，而,a b <则04A B π<<=,故6
a π=． 3.在ABC ∆中，π4B
，BC 边上的高等于1
3
BC ，则cos =A （ ）.
C.10
D.310
【答案】C
【解析】如图所示.依题意，3AB BC =
，3
AC BC =.
在ABC △中，由余弦定理得222
cos 2AB AC BC A AB AC +-=
=
⋅222225210BC BC BC BC +--==-故选C. 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3
sin 5
B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值. 【答案】见解析
【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =
，可得4
cos 5
B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=
，所以b =.
由正弦定理
sin sin a b
A B
=
，得sin sin 13a B A b ==. （2）由（Ⅰ）及a c <
，得cos 13A =
，所以12sin 22sin cos 13
A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-
，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛
⎫+=+= ⎪⎝
⎭. 5. 如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥
，sin 3
BAC ∠=
，AB =3AD =，则BD 的长为_______．
C
【答案】3
【解析】
∵sin sin()cos 2
3
BAC BAD BAD π
∠=∠+
=∠=
∴根据余弦定理可得222
cos 2AB AD BD BAD AB AD
+-∠=•，
222
3BD ∴==
题型二 角的正弦值和边的互化
1. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1
sin cos 2
c B A b =
，且a b >，则B ∠= A ．
6π B ．3
π
C ．23π
D ．56π
【答案】A
【解析】边换sin 后约去sin B ，得1sin()2A C +=
，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6
B π=． 2. 在AB
C ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若bc b a 322=-，且B C sin 32sin =，则角A 的大小为________.
【答案】
6
π
【解析】由B C sin 32sin =，根据正弦定理得，b c 32=，代入bc b a 322=-得227b a =，由余弦定
理得：232cos 222=-+=bc a c b A ，∴6π
=A .
3.已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +sin 0C b c --=．
（1）求A ；
（2）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ． 【答案】（1）︒60 （2）2b c == 【解析】（1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+
sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒
⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=
（2
）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=，解得：2b c ==．
题型三 利用正、余弦定理判定三角形的形状
1.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定 【答案】A
【解析】由已知可得2
2
2
c b a <+，02cos 2
22<-+=
ab
c b a C ，所以△ABC 的形状是钝角三角形 2. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若()A b a B a c cos 2cos -=-，则
ABC ∆的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】∵()A b a B a c cos 2cos -=-，∴由正弦定理得()A B A B A C cos sin sin 2cos sin sin -=-， ∴()()A B A B A B A cos sin sin 2cos sin sin -=-+,
∴()0sin sin cos =-A B A ，∴0cos =A 或A B sin sin =，∴ABC ∆为等腰或直角三角形.
题型四 和三角形面积有关的问题
1.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C
所对的边长．已知3,cos 32
a A B A π
==
=+．
（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积．
【答案】（1）23=b （2）
2
2
3 【解析】（1）在ABC ∆
中，由题意知sin A ==
， 又因为2
B A π
=+
，所有sin sin()cos 2
B A A π
=+
==
，
由正弦定理可得3sin sin a B
b A
=
==． （2）由2
B A π
=+
得，cos cos()sin 2
3
B A A π
=+
=-=-
， 由A B C π++=，得()C A B π=-+．
所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+
(=
13
=． 因此，ABC ∆
的面积111sin 32232
S ab C =
=⨯⨯=． 2. ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （1）求B ；
（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）
4
π
（2
1 【解析】
（1）因为cos sin a b C c B =+，所以由正弦定理得：
sin sin cos sin sin A B C C B =+，
所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+，
即cos sin sin sin B C C B =，因为sin C ≠0，所以tan 1B =，解得B =4
π
；
（2）由余弦定理得：2
2
2
2cos
4
b a
c ac π
=+-，即22
4a c =+，由不等式得：222a c ac +≥，
当且仅当a c =
时，取等号，所以4(2ac ≥，解得4ac ≤+，所以△ABC
的面积为
1
sin 24
ac π
(44≤⨯+1，所以△ABC 1． 3. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +． （1）求角A 的大小；
（2）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长． 【答案】(1) 3
π
=
A (2) 2
7
=
AD
【解析】（1）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>
2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=
1cos 23
A A π⇔=
⇔=
（2）2222222cos 2
a b c bc A a b a c B π
=+-⇔==+⇒=
在Rt ABD ∆中，2
AD ===
． 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；
（2）若ABC △的面积2
4
a S =，求出角A 的大小.
【答案】(1) 见解析 (2)
π2A =
或π4
A = 【解析】（1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos
B
C A B =，
故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，
于是()B A B -=sin sin ,又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()B A B --=π 或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =
（2）由42a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1
sin sin sin 2sin cos 2
B C B B B ==，
因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π
2
C B =±．
当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π
2A =；
当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π
4
A =．
综上所述，π2A =或π
4
A =．
新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：
与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。

删掉了选修2-2中推理与证明。

删掉了选修4-1几何证明选讲
删掉了选修4-4坐标系与参数方程
删掉了选修4-5不等式选讲。