2021年人教版数学九年级上册第四课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第四课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
3
以练助学
名师点睛
• 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
• 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h,0)．
• (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．
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能力提升
• 8．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，
与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
• A．3或6 B．1或6
B
• C．1或3 D．4或6
• 9．若抛物线y＝2(x－m)m2－4m－3的顶点在x轴正半轴上，则m的值为
4
【典例】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
A
B
C
D
5
• 分析：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，则顶点在x轴上， 只有D符合题意．
• 答案：D • 点评：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点在x轴上． • 知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 • 抛物线y＝a(x－h)2可以看成是由抛物线y＝ax2(a≠0)向左(h＜0)或向右(h
• (1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向上，当x＜h时，函数值y随 x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函 数y＝a(x－h)2取得最小值y＝0；
• (2)当a＜0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向下，当x＜h时，函数值y随 x的增大而增大；当x＞h时，函数值y随x的增大而减小；当x＝h时，函
14
• 13. 函数y＝ax2的图象向右平移后所得新抛物线的对称轴是直线x＝3， 且新抛物线经过点(2，－2)，求新抛物线的函数解析式．
• 解：∵y＝ax2的图象向右平移后所得新抛物线的对称轴是直线x＝3， ∴新抛物线为y＝a(x－3)2.把(2，－2)代入，得a(2－3)2＝－2，解得a＝ －2，∴新抛物线的函数解析式为y＝－2(x－3)2.
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思维训练
• 14．【核心素养题】如图是二次函数y＝(x＋2)2的图象，顶点为A，与y
轴的交点为B．
• (1)求经过A、B两点的直线的函数解析式； • (2)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使△ABC的面积与△ABO的面
积相等．
16
解：(1)由题意，得 A(－2,0)、B(0,4)．设过点 A、B 的直线的函数解析式为 y＝ kx＋b，则04＝ ＝－ b，2k＋b， 解得bk＝ ＝42， . 故函数解析式为 y＝2x＋4. (2)如图，过点
7
3．把抛物线 y＝－12x2 向右平移 2 个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为
( D) A．y＝－12x2＋2
B．y＝－12(x＋2)2
C．y＝－12x2－2
D．y＝－12(x－2)2
4．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线 x＝－2y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
9
7．【教材 P35 练习题变式】已知二次函数 y＝－12(x－2)2. (1)建立坐标系，画出函数图象，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
10
• 解：(1)如下图．抛物线开口向下，顶点坐标为(2,0)，对称轴为直线x＝ 2.
C 作 CD⊥x 轴于点 D，连接 AC、AB、CB．令 C(a，b)，有 b＝(a＋2)2，∴CD＝b，
BO＝4，DO＝－a，DA＝－2－a，OA＝2，∴S△ABC＝S 梯形 CDOB－S△CDA－S△AOB＝(b＋ 4)－a2－12(－2－a)b－4，而 S△ABC＝S△AOB＝4，因此，原式可化简为 －2a＋b－8＝0，∴(a＋2)2－2a－8＝0，解得 a1＝－1＋ 5(不合题意， 舍去)，a2＝－1－ 5，∴C(－1－ 5，6－2 5)．
＞0)平移个单位长度得到的．
6
基础过关
• 1．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是D( ) • A．(－1,0)B．(－1,1) • C．(0，－1) D．(1,0) • 2．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的D是( ) • A．开口向下 B．对称轴是x＝m • C．最大值为0 D．与y轴不相交
()
A
• A．m＝5 B．m＝－1
• C．m＝5或m＝－1 D．m＝－5
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• •
1则 101y．．1与已已y知 知2的函 二大数 次小函y>＝关数－系y(＝是x－2y(11x_－)_2图_1_)象_2的_上y2图.两(填象点“如A＜图(2”，所“y示1)＞、，”B则(a或△，“AyB2＝)O，的”其面) 中积a是＞2，
______.
1
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12．已知一抛物线与抛物线 y＝－12x2＋3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是 (－5,0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
解：设所求的抛物线解析式为 y＝a(x＋5)2.∵抛物线 y＝a(x＋5)2 与抛物线 y＝－12 x2＋3 形状相同，开口方向相反，∴a＝12，∴该抛物线的解析式为 y＝12(x＋5)2.
D．y＝2(x－2)2
8
5．同一坐标系中，二次函数 y＝(x－a)2 与一次函数 y＝a＋ax 的图象可能是( D )
6．抛物线 y＝3(x－2)2 的开口向__上____，顶点坐标为____(_2_,_0_)______，对称轴是 ___直__线__x_＝__2____.当 x___＞__2___时，y 随 x 的增大而增大；当 x＝___2___时，y 有最__小____ 值，为___0___.它可以由抛物线 y＝3x2 向__右____平移___2___个单位长度得到．
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第四课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
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以练助学
名师点睛
• 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
• 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h,0)．
• (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．
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能力提升
• 8．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，
与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
• A．3或6 B．1或6
B
• C．1或3 D．4或6
• 9．若抛物线y＝2(x－m)m2－4m－3的顶点在x轴正半轴上，则m的值为
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【典例】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
A
B
C
D
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• 分析：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，则顶点在x轴上， 只有D符合题意．
• 答案：D • 点评：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点在x轴上． • 知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 • 抛物线y＝a(x－h)2可以看成是由抛物线y＝ax2(a≠0)向左(h＜0)或向右(h
• (1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向上，当x＜h时，函数值y随 x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函 数y＝a(x－h)2取得最小值y＝0；
• (2)当a＜0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向下，当x＜h时，函数值y随 x的增大而增大；当x＞h时，函数值y随x的增大而减小；当x＝h时，函
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• 13. 函数y＝ax2的图象向右平移后所得新抛物线的对称轴是直线x＝3， 且新抛物线经过点(2，－2)，求新抛物线的函数解析式．
• 解：∵y＝ax2的图象向右平移后所得新抛物线的对称轴是直线x＝3， ∴新抛物线为y＝a(x－3)2.把(2，－2)代入，得a(2－3)2＝－2，解得a＝ －2，∴新抛物线的函数解析式为y＝－2(x－3)2.
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思维训练
• 14．【核心素养题】如图是二次函数y＝(x＋2)2的图象，顶点为A，与y
轴的交点为B．
• (1)求经过A、B两点的直线的函数解析式； • (2)请在第二象限中的抛物线上找一点C，使△ABC的面积与△ABO的面
积相等．
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解：(1)由题意，得 A(－2,0)、B(0,4)．设过点 A、B 的直线的函数解析式为 y＝ kx＋b，则04＝ ＝－ b，2k＋b， 解得bk＝ ＝42， . 故函数解析式为 y＝2x＋4. (2)如图，过点
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3．把抛物线 y＝－12x2 向右平移 2 个单位长度，则平移后所得抛物线的解析式为
( D) A．y＝－12x2＋2
B．y＝－12(x＋2)2
C．y＝－12x2－2
D．y＝－12(x－2)2
4．在下列二次函数中，其图象对称轴为直线 x＝－2y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
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7．【教材 P35 练习题变式】已知二次函数 y＝－12(x－2)2. (1)建立坐标系，画出函数图象，确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？
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• 解：(1)如下图．抛物线开口向下，顶点坐标为(2,0)，对称轴为直线x＝ 2.
C 作 CD⊥x 轴于点 D，连接 AC、AB、CB．令 C(a，b)，有 b＝(a＋2)2，∴CD＝b，
BO＝4，DO＝－a，DA＝－2－a，OA＝2，∴S△ABC＝S 梯形 CDOB－S△CDA－S△AOB＝(b＋ 4)－a2－12(－2－a)b－4，而 S△ABC＝S△AOB＝4，因此，原式可化简为 －2a＋b－8＝0，∴(a＋2)2－2a－8＝0，解得 a1＝－1＋ 5(不合题意， 舍去)，a2＝－1－ 5，∴C(－1－ 5，6－2 5)．
＞0)平移个单位长度得到的．
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基础过关
• 1．抛物线y＝(x－1)2的顶点坐标是D( ) • A．(－1,0)B．(－1,1) • C．(0，－1) D．(1,0) • 2．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的D是( ) • A．开口向下 B．对称轴是x＝m • C．最大值为0 D．与y轴不相交
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A
• A．m＝5 B．m＝－1
• C．m＝5或m＝－1 D．m＝－5
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• •
1则 101y．．1与已已y知 知2的函 二大数 次小函y>＝关数－系y(＝是x－2y(11x_－)_2图_1_)象_2的_上y2图.两(填象点“如A＜图(2”，所“y示1)＞、，”B则(a或△，“AyB2＝)O，的”其面) 中积a是＞2，
______.
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13
12．已知一抛物线与抛物线 y＝－12x2＋3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是 (－5,0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
解：设所求的抛物线解析式为 y＝a(x＋5)2.∵抛物线 y＝a(x＋5)2 与抛物线 y＝－12 x2＋3 形状相同，开口方向相反，∴a＝12，∴该抛物线的解析式为 y＝12(x＋5)2.
D．y＝2(x－2)2
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5．同一坐标系中，二次函数 y＝(x－a)2 与一次函数 y＝a＋ax 的图象可能是( D )
6．抛物线 y＝3(x－2)2 的开口向__上____，顶点坐标为____(_2_,_0_)______，对称轴是 ___直__线__x_＝__2____.当 x___＞__2___时，y 随 x 的增大而增大；当 x＝___2___时，y 有最__小____ 值，为___0___.它可以由抛物线 y＝3x2 向__右____平移___2___个单位长度得到．