矩阵及其运算
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第二章
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论
的m行n列的数表 矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵
a11 a12 ... a1n 的计算和矩阵方程的求解。 a21 a22 ... a2 n ... ... ... ... am1 am 2 ... amn
A=B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
即
a11 b11 a 21 b21 AB ... a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 ... a m 2 bm 2 a1n b1n ... a 2 n b2 n ... ... ... a mn bmn ...
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 AB=BA=E
则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.
显然单位矩阵E是可逆的, 且E-1=E, 但零矩阵不可逆。
若矩阵A, B, C都是n阶方阵, 且A是可逆矩阵，则
由 由 BA=C AB=C 可得 CA-1=B 可得 A-1C=B
0 1 0 0 A , B 0 0 0 1
如
有 (AB)k=AkBk (k=0,1,2,…), 但ABBA.
设A=(aij)n是n阶方阵, 则n阶行列式|aij|n称为A的行
列式, 记为detA(或|A|), 即detA=|A|=|aij|n. 方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵, k 是常数) （ⅰ）det(AT) =detA （ⅱ）det(kA) =kndetA
n
... c1 p ... c2 p ... ... ... cmp
其中
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... ainbnj aik bkj
k 1
注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B 的行数, 且乘积矩阵与A行数相同, 与B列数相同.
第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素为复数的矩阵称
为复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。
下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t,
aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为
单位矩阵具有性质：AmnEn= Amn ,
EmAmn= Amn
设A为方阵, 定义A的幂为: A0=E, A1=A， A2= A1 A1 ，…, Ak+1=AkA1 矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同阶方阵, k和l
是非负整数)
（ⅰ）Ak Al =Ak+l （ⅱ）(Ak)l=Akl （ⅲ）AB=BA时有: (AB)k=AkBk 注意: (AB)k=AkBk时, 不一定有AB=BA.
(ⅱ) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C)
(ⅲ) A+0=A (ⅳ) A+( A)=0
三、数乘法 设k为数, A=(aij)m×n为矩阵, 则矩阵(kcij)m×n (其中cij 称为k与B的乘积记作kA或Ak. 即
ka11 ka21 kA Ak ... kam1 ka12 ka22 ... kam 2 ... ka1n ... ka2 n ... ... ... kamn
（ⅲ）det (AB)=detA· detB
称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵
是方阵.
设A=(aij)n, 则A是对称矩阵aij=aji , 即
a11 a12 A ... a1n a12 a22 ... a2 n ... a1n ... a2 n ... ... ... ann
a11 a12 a21 a22 A ... ... am1 am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn a11 T a12 A ... a1n a21 ... am1 a22 ... am 2 ... ... ... a2 n ... amn
对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22,…, ann) 对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵, 记为E(或 I). n阶单位矩阵也记为En(或In), 即
1 1 E=I 1
n阶单位矩阵也可表示为: En=(ij)n, 其中
1, ij 0, i j, i j.
可见, 引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题. 但由于矩阵乘法不满足交换律, 所以CA-1A-1C, 若引 入“左除”,“右除”的概念很乱, 所以逆矩阵解决了这一
定理2.1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 设B，C都是A的逆矩阵，则有 B=BE =B(AC) =(BA)C =EC =C 可逆矩阵满足以下运算规律(设A与B是n阶可逆矩阵, k 是常数)
注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加. 例1 设
1 2 3 1 0 2 A , B , 4 5 6 1 3 0
2 2 5 则 A B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 8 6
元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同 的零矩阵是不同的. 设A=(aij)m×n, 称矩阵(aij)m×n为A的负矩阵, 记 A. 定义两个矩阵的减法为: BA=B+( A). 矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵): (ⅰ)交换律：A+B=B+A
矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：
（ⅰ）(AT)T=A ；
（ⅱ）(A+B)T=AT+BT ；
（ⅲ）(kA)T=kAT ；
（ⅳ）(AB)T=BTAT ； 行数和列数相等的矩阵称为方阵. nn阶矩阵称为n阶 方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也
称为对角矩阵. 即
a11 A a22 ann
矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）结合律：(AB)C= A(BC) ; （ ⅱ ）分配律：A(B+C)= AB+AC ;
(B+C)A= BA+CA;
（ ⅲ ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A( kB);
五 矩阵的转置
设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A, 即
解
12 24 AB 12 6
0 0 BA 0 0
由例题可见，即使AB与BA都是2阶方阵, 但它们还是 可以不相等。所以，在一般情况下AB≠BA。 另外，虽然 A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出 A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY 也不能得到X=Y的结论。
注意: 这里BA无意义.
例3 设矩阵
A ai1 ai 2 ... ain , b1 j b2 j B ... b nj
求AB和BA. 解
AB aik bkj
k 1 n
b1 j ai1 b1 j ai 2 b2 j ai1 b2 j ai 2 , BA b a nj i1 bnj ai 2
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:
a11 a 21 A ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的
数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵)
（ⅰ）1A= A
（ ⅱ ）结合律：(kl)A=k(l A) （ ⅲ ）数的分配律： (k+l) A=kA+lA （ ⅳ ）矩阵的分配律： k(A+B)=kA+kB.
四、乘法 设矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, 则矩阵C=(cij)m×p (其 中cij =aikbkj , i=1,2,…,m, j=1,2,…,p) 称为A与B的乘积, 记作C=AB. 即
（ⅰ） (A-1) -1=A
（ⅱ） (kA)-1 =1/k A-1 （ⅲ） (AT)-1=(A-1)T
（ⅳ） (AB)-1=B-1A-1 . 证明 仅证(ⅳ), 其它完全类似.
(AB) (B-1A-1)= A(BB-1)A-1=AA-1=E. (B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B=B-1B=E, 所以(ⅳ)成立.
对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。
作 业
习题A 第48页
1、2、3、4、5、14
§2
逆矩阵
数的除法运算是乘法运算的逆运算, 且有: ba=ba-1, aa-1=a-1a= 1 1a=a1=a 对矩阵的乘法我们也有: AmnEn= Amn , EmAmn= Amn 所以, 当A是n阶方阵时我们有: AnEn= EnAn= An 可见, 对n阶方阵来说, n阶单位矩阵En在乘法运算中 的作用和1在数的乘法中的作用是一致的. 由于矩阵乘法运算不满足交换律, 定义矩阵除法是困 难的, 为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念.
b1 j ain b2 j ain bnj ain
可见，若C=AB, 则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是 A的第i行和B的第j列的乘积。
例4 求矩阵
4 8 A , 2 4 1 2 B 2 4
求AB和BA。
对n阶方阵A, 其行列式|A|的各元素的代数余子式Aij 也称为方阵A的代数余子式. 由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵
例2 设
1 2 3 A , 4 5 6
求AB. 解
1 0 1 B 0 1 2 3 1 0
1 0 2 1 3 1) 1 (1) 22 30 1) 11 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ((1) 11((1) 22223300 AB 4 1 5 0 6 3 4 0 5 1 6 (1) 4 (1) 5 2 6 0 10 1 3 22 1 6
矩
阵
§1 矩阵的概念及其基本运算 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，在线性代数 定义2.1 由m×n个数aij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)组成 中起着极其重要的作用，本章将引进矩阵的概念，并讨论
的m行n列的数表 矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是逆矩阵
a11 a12 ... a1n 的计算和矩阵方程的求解。 a21 a22 ... a2 n ... ... ... ... am1 am 2 ... amn
A=B. 两个矩阵相等, 是指两个矩阵完全一样, 即阶数相同 而且对应的元素完全相等.
二、加法 设A=(aij)m×n, B=(bij)m×n, 则矩阵C=(cij)m×n (其中cij =aij+bij , i=1,2,…,m, j=1,2,…,n) 称为A与B的和记作A+B.
即
a11 b11 a 21 b21 AB ... a b m1 m1 a12 b12 a 22 b22 ... a m 2 bm 2 a1n b1n ... a 2 n b2 n ... ... ... a mn bmn ...
a11 a21 ... am1 a12 a22 ... am 2 ... a1n b11 b12 b ... a2 n 21 b22 ... ... ... ... ... amn bn1 bn 2 ... b1 p c11 c12 ... b2 p c21 c22 ... ... ... ... ... bnp cm1 cm 2
定义2.2 对n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使 AB=BA=E
则称方阵A是可逆的，且称B是A的逆矩阵，记为B=A－1。 可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.
显然单位矩阵E是可逆的, 且E-1=E, 但零矩阵不可逆。
若矩阵A, B, C都是n阶方阵, 且A是可逆矩阵，则
由 由 BA=C AB=C 可得 CA-1=B 可得 A-1C=B
0 1 0 0 A , B 0 0 0 1
如
有 (AB)k=AkBk (k=0,1,2,…), 但ABBA.
设A=(aij)n是n阶方阵, 则n阶行列式|aij|n称为A的行
列式, 记为detA(或|A|), 即detA=|A|=|aij|n. 方阵的行列式满足以下运算规律(设A与B是n阶方阵, k 是常数) （ⅰ）det(AT) =detA （ⅱ）det(kA) =kndetA
n
... c1 p ... c2 p ... ... ... cmp
其中
cij ai1b1 j ai 2b2 j ... ainbnj aik bkj
k 1
注意: 矩阵A, B能够乘积的条件是矩阵A的列数等于矩阵B 的行数, 且乘积矩阵与A行数相同, 与B列数相同.
第i行第j列元素, 矩阵A也简记为(aij)或(aij) m×n或A m×n 。
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素为复数的矩阵称
为复矩阵，本课除特殊说明外都讨论实矩阵。
下面介绍矩阵的基本关系及运算 一、相等 设有两个矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)s×t, 如果m=s, n=t,
aij=bij (i=1,2,…,m,j=1,2,…,n), 则称矩阵A与B相等, 记为
单位矩阵具有性质：AmnEn= Amn ,
EmAmn= Amn
设A为方阵, 定义A的幂为: A0=E, A1=A， A2= A1 A1 ，…, Ak+1=AkA1 矩阵的幂满足以下运算规律(设A与B是同阶方阵, k和l
是非负整数)
（ⅰ）Ak Al =Ak+l （ⅱ）(Ak)l=Akl （ⅲ）AB=BA时有: (AB)k=AkBk 注意: (AB)k=AkBk时, 不一定有AB=BA.
(ⅱ) 结合律: (A+B)+C=A+(B+C)
(ⅲ) A+0=A (ⅳ) A+( A)=0
三、数乘法 设k为数, A=(aij)m×n为矩阵, 则矩阵(kcij)m×n (其中cij 称为k与B的乘积记作kA或Ak. 即
ka11 ka21 kA Ak ... kam1 ka12 ka22 ... kam 2 ... ka1n ... ka2 n ... ... ... kamn
（ⅲ）det (AB)=detA· detB
称满足条件A=AT的矩阵A为对称矩阵. 显然对称矩阵
是方阵.
设A=(aij)n, 则A是对称矩阵aij=aji , 即
a11 a12 A ... a1n a12 a22 ... a2 n ... a1n ... a2 n ... ... ... ann
a11 a12 a21 a22 A ... ... am1 am 2 ... a1n ... a2 n ... ... ... amn a11 T a12 A ... a1n a21 ... am1 a22 ... am 2 ... ... ... a2 n ... amn
对角矩阵也常记为: A=diag(a11, a22,…, ann) 对角线元素全是1的对角矩阵称为单位矩阵, 记为E(或 I). n阶单位矩阵也记为En(或In), 即
1 1 E=I 1
n阶单位矩阵也可表示为: En=(ij)n, 其中
1, ij 0, i j, i j.
可见, 引进逆矩阵的概念就解决了矩阵乘法逆运算的问题. 但由于矩阵乘法不满足交换律, 所以CA-1A-1C, 若引 入“左除”,“右除”的概念很乱, 所以逆矩阵解决了这一
定理2.1 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 证明 设B，C都是A的逆矩阵，则有 B=BE =B(AC) =(BA)C =EC =C 可逆矩阵满足以下运算规律(设A与B是n阶可逆矩阵, k 是常数)
注意:只有两个矩阵阶数相同时才能相加. 例1 设
1 2 3 1 0 2 A , B , 4 5 6 1 3 0
2 2 5 则 A B ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3 8 6
元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记为0. 注意:阶数不同 的零矩阵是不同的. 设A=(aij)m×n, 称矩阵(aij)m×n为A的负矩阵, 记 A. 定义两个矩阵的减法为: BA=B+( A). 矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C是同阶矩阵): (ⅰ)交换律：A+B=B+A
矩阵的转置满足下列运算规律(设运算都是可行的)：
（ⅰ）(AT)T=A ；
（ⅱ）(A+B)T=AT+BT ；
（ⅲ）(kA)T=kAT ；
（ⅳ）(AB)T=BTAT ； 行数和列数相等的矩阵称为方阵. nn阶矩阵称为n阶 方阵. 和行列式相同, 主对角线以外的元素全是零的方阵也
称为对角矩阵. 即
a11 A a22 ann
矩阵的乘法满足下列运算规律(设运算都是可行的)： （ⅰ）结合律：(AB)C= A(BC) ; （ ⅱ ）分配律：A(B+C)= AB+AC ;
(B+C)A= BA+CA;
（ ⅲ ）数的结合律：k(AB)=(kA)B=A( kB);
五 矩阵的转置
设矩阵A=(aij)m×n, 则矩阵B=(bij)n×m(其中bij =aji , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m) 称为A的转置, 记作B=AT,或A, 即
解
12 24 AB 12 6
0 0 BA 0 0
由例题可见，即使AB与BA都是2阶方阵, 但它们还是 可以不相等。所以，在一般情况下AB≠BA。 另外，虽然 A≠O，B≠O，但是BA=O。从而，由AB=O，不能推出 A和B中有一个是零矩阵的结论。而若A≠O，由AX=AY 也不能得到X=Y的结论。
注意: 这里BA无意义.
例3 设矩阵
A ai1 ai 2 ... ain , b1 j b2 j B ... b nj
求AB和BA. 解
AB aik bkj
k 1 n
b1 j ai1 b1 j ai 2 b2 j ai1 b2 j ai 2 , BA b a nj i1 bnj ai 2
称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记为:
a11 a 21 A ... a m1 a12 a 22 ... am 2 ... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
组成矩阵的这m×n个数称为矩阵A的元素, aij称为矩阵A的
数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是同阶矩阵)
（ⅰ）1A= A
（ ⅱ ）结合律：(kl)A=k(l A) （ ⅲ ）数的分配律： (k+l) A=kA+lA （ ⅳ ）矩阵的分配律： k(A+B)=kA+kB.
四、乘法 设矩阵A=(aij)m×n, B=(bij)n×p, 则矩阵C=(cij)m×p (其 中cij =aikbkj , i=1,2,…,m, j=1,2,…,p) 称为A与B的乘积, 记作C=AB. 即
（ⅰ） (A-1) -1=A
（ⅱ） (kA)-1 =1/k A-1 （ⅲ） (AT)-1=(A-1)T
（ⅳ） (AB)-1=B-1A-1 . 证明 仅证(ⅳ), 其它完全类似.
(AB) (B-1A-1)= A(BB-1)A-1=AA-1=E. (B-1A-1)(AB) = B-1(A-1A)B=B-1B=E, 所以(ⅳ)成立.
对称矩阵的元素以主对角线为轴对称。
作 业
习题A 第48页
1、2、3、4、5、14
§2
逆矩阵
数的除法运算是乘法运算的逆运算, 且有: ba=ba-1, aa-1=a-1a= 1 1a=a1=a 对矩阵的乘法我们也有: AmnEn= Amn , EmAmn= Amn 所以, 当A是n阶方阵时我们有: AnEn= EnAn= An 可见, 对n阶方阵来说, n阶单位矩阵En在乘法运算中 的作用和1在数的乘法中的作用是一致的. 由于矩阵乘法运算不满足交换律, 定义矩阵除法是困 难的, 为对应矩阵乘法运算的逆运算引进逆矩阵的概念.
b1 j ain b2 j ain bnj ain
可见，若C=AB, 则乘积矩阵C的第i行第j列元素cij就是 A的第i行和B的第j列的乘积。
例4 求矩阵
4 8 A , 2 4 1 2 B 2 4
求AB和BA。
对n阶方阵A, 其行列式|A|的各元素的代数余子式Aij 也称为方阵A的代数余子式. 由方阵A的代数余子式组成的如下形式的矩阵
例2 设
1 2 3 A , 4 5 6
求AB. 解
1 0 1 B 0 1 2 3 1 0
1 0 2 1 3 1) 1 (1) 22 30 1) 11 2 0 3 3 1 0 2 1 3 ((1) 11((1) 22223300 AB 4 1 5 0 6 3 4 0 5 1 6 (1) 4 (1) 5 2 6 0 10 1 3 22 1 6