2019年高考数学“概率与统计”专题复习(真题+答案)

2019年高考数学“概率与统计”
专题复习
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1 随机事件的概率
基础自测
1.下列说法正确的是
（ ）
A.某事件发生的频率为P(A)=1.1
B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件
D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B
2.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为
n m ，当n 很大时，P(A)与n m
的关系是 （ ）
n m
B. P(A)＜n
m
＞n m
D. P(A)=
n
m
答案
3.给出下列三个命题，其中正确命题有 ( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是
7
3
；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.03
5.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是3
1
，则乙不输的概率是 . 答案
6
5
6.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=
2
1
，P （B ） =
6
1
，则出现奇数点或2点的概率之和为
答案
3
2
例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是
9
4. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
（1）计算表中击中10环的各个频率；
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解 （1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.
例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：
求该射击队员射击一次
（1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率.
解 记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ，k≤10），则事件A k 彼此互斥.
2分
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得
P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60.
5分
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得
P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10） =0.18+0.28+0.32=0.78.
9分
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （）=1-P （B ）=1-0.78=0.22.
12分
1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？ （2）“3件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？
解 （1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p=
n
m
，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，
0.951.
（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.
解 方法一 记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=
125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=12
1
. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=4
3
. （2）取出红或黑或白球的概率为
P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =
125+124+122=12
11. 方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为
P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-
122-121=129=4
3.
（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-
121=12
11.
一、选择题
1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是
（ ）
合格产品少于9件 合格产品多于9件 合格产品正好是9件
D.合格产品可能是9件
答案
2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是
（ ）
至多有1次中靶 B.2次都中靶 次都不中靶
D.只有1次中靶
答案
3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么
（ ）.
甲是乙的充分条件但不是必要条件
甲是乙的必要条件但不是充分条件
甲是乙的充要条件
甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
答案
4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 （ ）
A.216
5 B.
216
25
C.
216
31
D.
216
91
答案 D
5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是
（ ）
D.0.
答案
6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为
（ ）
B.0.60
答案 二、填空题
7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为
7
3
，乙夺得冠军的概
率为
41
，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案
28
19 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题
9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.
解 （1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则
P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.
10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
求：（1）派出医生至多2人的概率； （2）派出医生至少2人的概率. 解 记事件A ：“不派出医生”， 事件B ：“派出1名医生”， 事件C ：“派出2名医生”， 事件D ：“派出3名医生”， 事件E ：“派出4名医生”， 事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥， 且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为
P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.
（2）“派出医生至少2人”的概率为
P （C+D+E+F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A+B ）=1-0.1-0.16=0.74.
11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，
事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A+B ）.
解 方法一 因为A+B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A+B ）=64=3
2
. 方法二 记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=
61，P （A ）=21，所以P （A+B ）=P （A+C ）=P （A ）+P （C ）=21+61=3
2. 方法三 记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B 不发生.又事件A+B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A+B 与事件D 为对立事件.
因为P （D ）=
62=3
1， 所以P （A+B ）=1-P （D ）=1-
31=3
2. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为4
1
，得到黑球或黄球的概率是
125，得到黄球或绿球的概率是2
1
，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ 解 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D.由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=
+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是
41，61，3
1
. §2 古典概型
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为
（ ）
A.
2
1 B.
3
1 C.
3
2
答案 C
2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为
（ ）
A.
3
1 B.
4
1 C.
21
D.
3
2
答案 C
3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是
（ ）
A.
4
3 B.
6
5 C.
6
1 D.
3
1
答案 B
4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )
A.32
1 B.
64
1 C.
32
3
D.64
3
答案 D
5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则下列结果正确的是
（ ）
A.P(M)=31
,P(N)=2
1
B.P(M)=
21,P(N)=2
1
C.P(M)=31,P(N)=4
3
D.P(M)=
21,P(N)=4
3
答案
例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：
基础自测
（1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”.
解 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.
（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.
例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙 两人依次各抽一题.
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.
（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P （A ）=
n m =9024=15
4
. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4×3= ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=15
2
, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=15
13. 例3 （12分）同时抛掷两枚骰子.
（1）求“点数之和为6”的概率； （2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：
共有36个不同的结果.
6分 （1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率p=
36
5
.
9分
（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率p=
3620=9
5. 12分
方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率p=3616=9
4
， 所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=9
5. 12分
1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？
（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).
因此，共有10个基本事件.
（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ）， 即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=
10
3
.
故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为
10
3. 2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率； （2）求B 1和C 1不全被选中的概率.
解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),
(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等 可能的.
用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则
M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=
186=3
1
. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，
所以P （N ）=
183=6
1
，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-
61=6
5. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A:取出的两球都是白球；
（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.
解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.
从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.
（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.
∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=
156=5
2. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6）， （2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=15
8
.
一、选择题
1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则
（ ）
10=
101P 1
B.P 10=
9
1
P 1 10=0
10=P 1
答案
2.采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的
3
1
倍，则个体a 被抽到的概率为 （ ）
A.2
1
B.
3
1
C.
4
1
D.
6
1 答案
3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（ ）
A.10
1
B.
10
3 C.
5
1 D.
5
3 答案
4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为
（ ）
A.3
1
B.
6
1 C.
8
1
D.
4
1 答案
5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a,b ）落在直线x+y=n 上”为事件C n （2≤n≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所 有
可能值为 （ ）
C.2和
D.3和
答案
6.（2008·温州模拟）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x+y=5下方的概率是
（ ）
A.3
1
B.
4
1
C.
61
D.
12
1 答案
二、填空题
7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案
12
1 8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）. 答案
5
4
三、解答题
9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： （1）甲中奖的概率P （A ）； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.
解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=
5
2
. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=
202=10
1
. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=
206=10
3
. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=
5
2. 10.箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；
（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率
解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品
中不放回抽样3次共有A 3a
种方法，可以抽出3个正品的概率p=33
A A b
a a +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从
a+b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3
a 种方法，可以取出3
个正品的概率p=33
C C b
a a +.两种方法结果一致
（2）从a+b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b 种方法，所以共有(a+b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率
p=3
3
3)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+b a a b a a . 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为
7
1
.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.
（1）求袋中原有白球的个数； （2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.
解 （1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2
)
1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为
2
7
6⨯=21. 由题意知71=212)
1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2). 故袋中原有3个白球.
（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=7
2
. （3）记“甲取到白球”的事件为B ， “第i 次取到白球”为A i ，i=1，2，3，4，5，
因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥，
∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5）
=73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =
73+356+351=35
22. （2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.
把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为
6
1
(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.
事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=
15
7
. §3 几何概型
基础自测
1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间 ［0，1］上的概率为
（ ）
41
31
C.
2
1
D.以上都不对
答案
2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为 （ ）
A.π
2 B.π
1
C.32
D.
3
1
答案
3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( )
A.
5
3
B.
5
4 C.
5
2 D.
5
1
答案
4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案
3
1
5.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ， 则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 6
1
例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件， 所以P （A ）=
103310--=10
4
=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小 圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为
22979-=
81
32. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的
41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为819
ππ=. 例3 （12分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，
2分
记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 4分 则P （A ）=
000
110
=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分
记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.
9分 则P （B ）=
000
130
=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.
12分 例4 在Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM|＞|AC|的概率. 解 设事件D“作射线CM ，使|AM|＞|AC|”.
在AB 上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形， 所以∠ACC′=
2
30180
-=75°, A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=
9015=6
1. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.
解 以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面
的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：
P （A ）=S S A =2
22604560-=600302526003-=167.
所以，两人能会面的概率是
16
7
.
1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？
解 记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31
=10（米），
∴P （E ）=
3010=3
1. 2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 .
答案
16
π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.
解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.
∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P （A ）=
Ω
A μμ=21.0=201
=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.
解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使
∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，
要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=
9030=
3
1. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.
解 设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合
Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l,0＜y ＜l,0＜x+y ＜l},
要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>l-x-y ⇒x+y ＞
2
l
,x+l-x-y ＞y
⇒y ＜
2l ,y+l-x-y ＞x ⇒x ＜2
l . 故所求结果构成集合
A=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
<
<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为
P （A ）=
的面积
的面积
ΩA =
2
2212
l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=
4
1
.
一、选择题
1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是（ ）
A.3
1 B.
2
1 C.
10
3 D.
10
7
答案
2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是
( )
A.25
9 B.25
16
C.10
3
D.
5
1
答案
3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是
( ) A.12
1
B.
8
3
C.
161
D.
6
5
答案
4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为
(
)
A.π
2
B.
π
1 C.
2
1 D.1-
π
2
答案
5.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于
4
S
的概率是 ( ) A.4
1 B.
2
1 C.
4
3 D.
3
2
答案
6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是
( )
A.4
π
B.
8
π
C.
6
π
D.
12
π
答案
二、填空题
7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .
答案 33
8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于5
6
”的概率为 . 答案
25
17 三、解答题
9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色， 金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径2 cm,运动员在70米 外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π4
1×1222 cm 2的大圆 内，而当中靶点在面积为π4
1×22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生 的概率
P （A ）=22
1224
2.1241
⨯⨯ππ=0.01,
所以射中“黄心”的概率为0.01.
10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？
解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-
21×21×21=8
7
，Ωμ =1， 所以P （A ）=
ΩμμA =8
7
. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C=90°.
（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率； （2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解 （1）设CM=x ，则0＜x ＜a.（不妨设BC=a ）. 若∠CAM ＜30°，则0＜x ＜3
3
a ， 故∠CAM ＜30°的概率为
P （A ）=的长度区间的长度
区间),0(33,0a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33. （2）设∠CAM=θ，则0°＜θ＜45°. 若∠CAM ＜30°，则0°＜θ＜30°， 故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=
的长度的长度)45,0()30,0( =3
2
.
设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.
（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
解 设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.
当a≥0,b≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有12个：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.
其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值
.。