中考数学专题：平面直角坐标系

中考数学专题：平面直角坐标系
教学目标：1.学会在平面直角坐标系中求点的坐标，图形的面积，字母的取值范围。

2.解决平面直角坐标系中的综合问题
1. 复习
定义：为了用一对实数表示平面内的点，在平面内画两条互相垂直的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴叫做x 轴或横轴，铅直的数轴叫做y 轴或纵轴。

⎡⎤⎣⎦数轴
平面直角坐标系 ,x x y x y ⎧⎪⎪⎧⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎪→→⎨⎨⎪⎪→→⎡⎤⎣⎦⎩⎪⎪⎪⎩b 第一象限第二象限轴位置轴垂直于y 轴且原点重合第三象限第四象限轴平面轴把平面分成六个部分x 轴y 轴
⎡⎤⎣⎦点
数轴→点
平面直角坐标系→点→点的坐标 ⎧⎪→⎨⎪⎩
b 已知点确定坐标＋－已知坐标确定点
点的坐标
→点到点的距离[]∍直线()()(
)[]|a-h||b-m|x y x h y m ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪=⎧⎪⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩
轴：P(a,b)到x 轴的距离为|b|坐标轴轴：P(a,b)到y 轴的距离为|a|
点p a,b 到的距离为[与坐标轴平行的直线]点p a,b 到的距离为[任意直线]点p a,b 到直线Ax+By+C=0的距离为
|Aa+Bb+C|
[点]
d =任意两点
⊃1122121211221221(,0)(,0)||||(0,)(0,)||||P a P a PP a a P b P b PP b b ⎧→=-⎧⎪⎨→=-⎩⎨⎪⎩与在坐标轴上的两点与点到原点的距离：P(a,b)到原点的距离 点的坐标
⊃[一点]特殊位置上的点的坐标⊃(,)0[](,)0[]
[]
(,)P a b x b P a b a P a b y =⎧⎨=⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩€€€€€€€€在轴上坐标轴在y 轴上P(a,b)在第一象限a>0,b>0P(a,b)在第二象限a<0,b>0[象限]P(a,b)在第三象限a<0,b<0
P(a,b)在第四象限a>0,b<0象限角平分线一三象限角平分线上点P(a,b)a=b 二四象限角平分线上点P(a,b)a=-b 与坐标轴平行的直线在与轴平行的直(,)x h a h P a b k b k
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎧⎪⎨⎪==⎩⎩€€线在与x 轴平行的直线y 点的坐标 →
[]对称点的坐标直线(,)[](,)x P a b x P a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
轴：关于轴对称点的坐标为(a,-b)坐标轴y 轴：关于y 轴对称点的
坐标为(-a,b) ''[]
(,)(2,)(,)(,2)P a b x h P h a b P a b y m P a m b =⎧⎪-⎪⎨=⎪⎪-⎩
与坐标轴平行的直线关于对称的点的坐标为关于对称的点的坐标
为 (,)(,)b a b a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪-⎩
''P(a,b)关于y=x 对称的点坐标为P [角平分线]P(a,b)关于y=-x 对称的点坐标
为P
[点]'(,)(,)(2,2)P a b x y P x a y b --关于点对称的点坐标为
'00(,)P a b ⊃--关于（，）对称的点的坐标为 点的坐标→
平移后的点的坐标()()()()()()()()'''',,,,,,,,p a b mp a b m p a b mp a b m p a b mp a m b p a b mp a m b ⎧⎧+⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎨-⎪⎡⎤⎪⎣⎦⎪⎩⎨⎧-⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎨⎪+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎩
u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r u u u u u u r 向上平移点向上上下平移后点的坐标向下平移点向下向左平移点向左左右平移后点的坐标向右平移点向右
[对应]
平面直角坐标系的点与有序实数对一一对应
[点] 平面直角坐标系←⎧⎨⎩定义
画法
→确定平面内点的位置
（点表示出无理数）
二.综合题
（一）求点的坐标∨点的位置
A 、(1)位置，距离直接求点的坐标
点的坐标⎧←⎧→→⎪⎨←⎪⎩→⎨←⎧⎪→→⎨⎪←⎩⎩
符号点在直角坐标系的位置横坐标实数绝对值点到坐标轴(y 轴)的距离符号点在直角坐标系的位置纵坐标实数绝对值点到坐标轴(x 轴)的距离 例1.
已知点p 在第二象限，且到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则点p 的坐标
为_______
小结：首先确定点p 所在位置(象限)来确定横纵坐标的符号，再确定点到坐标轴距离确定横纵
坐标的绝对值→p 点的坐标
用所学知识点：1.坐标所在象限位置2.点到直线的距离
练习：1.一个点在x 轴上，距离原点2个单位长度，这个点是_____
2.点N 在y 轴左侧，且到x 轴，y 轴的距离依次是4，
3.则点N 的坐标为_______,
ON=_______
3.已知点A 在x 轴的下方及y 轴的的右侧，且点A 到x 轴的距离为23，到y 轴
的距离为4，则点A 的坐标为_________
例2. 已知直线AB 平行于x 轴，且A 点坐标为(-3) 则B 点坐标为_______,条件是_______
小结：利用与坐标轴平行直线点的特征
直线的判定
练习：①已知A(a,3),B(5,b),且AB//x 轴，则a= ,b= .A 点的坐标为 ，B 点的坐标为 。

②直线PQ//x 轴，且经过y 轴上(0,4)点M 在直线PQ 上且其横坐标为，则M 点的坐标是 。

（2）位置，不等式组确定点的坐标，点的位置 →↓点的作标 ⎧⎧→⎪⎨→⎪⎩⎨⎧⎪→⎨⎪→⎩⎩
整式(和纵坐标含有相同字母(1个))横坐标位置 不等式整式(和横坐标含有相同字母(1个))纵坐标位置 不等式 利用不等式确定点的位置
例1 若点(28,2)p a a --是第三象限的整点（即横、纵坐标伟整数内点；那么这个点p 的坐标为_____________
解：(28,2)p a a --Q 在第三象限的整数
∴2804202a a a a -<<⎧⎧→⎨⎨-<>⎩⎩
243a a →<<→=
小结：①运用点坐标所相对点的位置
②不等式的解法
练习：① 如果点(28,6)A m m --是第四象限的整数点，那么点A 的坐标为（）
A 5
B 46m <<
C (2,-1) D(6,-1)
② 任何实数x ，点(,1)x x -一定不在第_________象限
③ 已知点(1,2)M a a +-的位置在第一象限，则a 的取值范围___________
④ 点(2,3)Q a a --在y 轴上，那么a 的取值范围___________
A -2
B -3
C 0
D 3
B (1) 由对称平移来确定点的坐标
点的坐标→对称点的坐标（如前面）
例1 ：若点(,7)A x y -与点(25,23)B y x -+关于y 轴对称，求A,B 两点坐标
解：Q 点A 与B 关于y 轴对称
∴2537234x y x y x y =-+=-⎧⎧⇒⎨
⎨-=+=⎩⎩
∴A(-3,-3) B(3,-3)
小结：① 点的对称特征
② 方程的解法
练习：①已知点(2,)A y 与点(,3)B x -关于y 轴对称，则xy =______
②已知点(5,)A a -，(,2)B b 且A 、B 两点关于原点对称，则a =_______
b =_________ A 为_________ B 为__________
③ 点(4,)b -与点(1,3)a +关于x 轴对称，则,a b 值为____两点坐标为____
例2：将点P(-3,2)沿x 轴负方向平移一个单位，得到点 ,再将点沿y 轴负方向平移2个单位得到 。

小结：点的坐标→[平移]左减右加，上加下减
∽
函数图像→[平移]左加右减，上加下减
C 、图形在平面直角坐标系的位置结合图形自身特征来求点的坐标
（1）三角形在平面直角坐标系中求点的坐标 ⊃三角形（角）→⎧⎪⎫⎨→⎬⎪⎭⎩
直角三角形直角是点的坐标锐角三角形转化为之交三角形
钝角三角形 [边]⊃⎧→⎨⎩等边三角形计算得出各点坐标等腰三角形
例1：如图，从观测点0观察到A 点位置，试用两种方法表示A 点位置
解：45o AOB ∠=Q
∴ AB OB =
∴ 4OB =
∴(4,4)A
又22
OA OB AB =+Q 42= ∴(42,45)o A
小结：①解直角三角形
②极坐标
③坐标的定义
练习：如图，线段OB,OC,OA 的长度分别是1，2，3,且OC 平分∠AOB,若将A 点表示为(3,),B
点表示为（1，）则C 点可表示为 。

例2 ：如图，已知AB=6,AC=4,∠BAC=
,试写出A,B,C 三点的坐标
解：A 在原点,A(0,0)
AC=4,C 点在x 轴上C(4,,0)
又Q 120,60o o BAC BAD ∠=∠=
|BD|=33,B 在第二象限
|DA|=3
∴(0,0)A ，(3,33)B -，(4,0)C
小结：1.确定已知点的坐标和各点所在位置
2.利用三角形知识求解
练习：1.AOB ∆是边长为4的等边三角形，求AOB ∆三个顶点坐标
2.如图.等腰Rt ABC ∆的直角顶点C 在y 轴的页半轴上，斜边AB
在x 轴上，2AC =求点A,B,C 的坐标
3.如图.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，AB 在x 轴上，点C
在第一象限内，AC 与y 轴交于点D,点A 的坐标为(-1,0),求
,,B C D 三点的坐标
4.在直角坐标系中ABO ∆是等边三角形，若B 点坐标是(2,0),则A 点的
坐标是_______
5. .如图.在直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()()3,0,0,4，则
Rt ABO ∆的内心坐标是（ ）
77,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1,1C 3,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
6.如图.在直角坐标系中有两点()()4,0,,2A B ，如果C 点在
x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为______或
______时，使得由点,,B O C 组成的三角形与AOB ∆相似
（至少找出两个满足条件的点的坐标）
7.建立直角坐标系，等边三角形ABC 边长为4，以AB 边所
在直线为x 轴，AB 边中点为原点建立直角坐标系，求点C 的坐标
*加深(1)曲点的坐标→求三角行面积
①如图()()()()2,4,2,2,4,06,0A B C D --，试求
,,ABC ADC BDC ∆∆∆的面积
(2)由点坐标关系→判定三角形形状
①.在直角坐标平面内，已知点()(),||||p a b a b ≠，设点P 关于
x 轴的对称点为Q ，点P 关于原点的对称点R ，PQR ∆的
形状是（ ）
A 锐角三角形
B 直角三角形
C 钝角三角形
D 不能确定
(3)特殊求点的坐标
①.已知()()1,1,2,3A B -，若要在x 轴上找一点P ，使AP BP +最小，求P 点的坐标
总结：
三角形三边
⎡⎤⎣⎦→→⎧⎡⎤⎨⎣⎦→⎩↑→→→⎡
⎤⎣⎦位置在平面直角坐标系中一边在轴上等腰三角形等边三角形与坐标轴关系三边两边在轴上直角三角形利用点在坐标轴上的位置求顶点坐标，进而求出三边长面积三边任意两边相交顶点求顶点坐标 ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪↓⎪⎪⎪⎪⎩
求三角形面积 (2)四边形在平面直角坐标系中→点的坐标→四边形的面积
四边形→ + ⎧⎧⎨⎪→⎩⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩
b 菱形平行四边形矩形正方形四边形
例1. 已知点()()()()2,0,1,3,4,0,1,4A B C D ---，求四边形ABCD 的面
积
小结：把不规则四边形分割为熟悉图形来求面积
例2. 平行四边形,60,2,1,ABCD A AB AD ο∠===若点A 在坐标原点，
AB x 与轴正半轴的夹角为30o ，求平行四边形各顶点的坐标.
总结1.画图，找点
2.平行四边形性质
例3：菱形边长为10，短对角线长为12，建立适当的直角坐标系，表示各点坐标
总结：根据菱形特征，对角线互相垂直――>建立直角坐标系
例4：如图.四边形AOCB 是直角梯形，
,10,9,45,o AB OC OA AB OCB ==∠=P 求点,,A B C 的坐标及直
角梯形AOCB 的面积
总结：1S .梯形AOCB ←梯形公式
↑
割补法
2.求AOCB S 也可以采用割补法
↓
→ ⎧⎪↔⎨⎪⎩
矩形相加三角形
练习：1、已知：如图，四边形ABCD 各顶点位置如图所示，则四边
形ABCD 的面积是多少？
2、已知：(4,0),(2,0),(3,2)A B C 则ABCD Y 另一点D 的坐标是什么？
3、已知：ABCD Y 的三个顶点坐标分别是(0,0),(8,0)(2,5)试求这个平行四边形的第四个
顶点的坐标。

4、已知菱形两条对角线的长分别为8和6，建立适当的指教坐标系，写出各顶点的坐标。

5、如图，矩形ABCD 中，(4,1),(0,1),(0,3)A B C -，到点D 的坐标是（）
(3,3) (2,3) (4,3) (4,3)A B C D ---
6、一个矩形，两边分别是8，4，如图，下面哪 个点不在矩形上（ ）
(8,0) (8,4) (4,8) (0,4)
A B C D
7、如图，四边形ABCD是矩形，原点o是矩形的对称中心，AB边平行X轴，那下列叙述正确的是（）
①.A，B两点纵坐标相同横坐标相反②.A，D两点横坐标相同，纵坐标相反③
A，C两点横纵坐标都相反
8、已知矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图，点坐标轴为(3,-2)，则矩形面积是________
9、矩形的顶点的坐标为( ),AC_________
10、矩形ABCD，AB=2,BC=4,其中点与原点重合，两顶点在两坐标轴上，顶点在第三象
限内，则四个顶点坐标为__________
11、如图，四边形AOBC是正方形，边长是3，则A点坐标是________，B点坐标是________
OC= _________
12、如图，边长为2的正方体OABC的边OA与x轴的正半轴的夹面为60o，则定点B的坐
标为
A32,31)
+
B(332)
C(13,13)
-+
D(13,13)
13、边长为4的正方形ABCD,其中点A在原点，点B在x轴正半轴，点D在y轴负半轴,则四
个顶点坐标为___________
14、已知如图,正方形的边长等于6,其中边OB与x轴正半轴的夹角为30o,O是坐标原点,求正
方形各顶点坐标.
多边形在直角坐标中求点的坐标
例6:如图,正六边形ABCDEF的顶点A在坐标原点,对角线AD在x轴的正半轴,AB=2试写出六个顶点的坐标
解:A在原点A(0,0)
Q正六边形个边都相等，且每个角边为120o？
∴o
LABF=30
∴B，F的横坐标为1纵坐标为3
-3
B(1,3),F3)
又Q BC=AB=2
E、C的横坐标为2+1=3
-
E、C33
-
E 3)，C(3,3)
D点横坐标为3+1=4
D (4,0)
A (0,0)B
(1,3)C (3,3)-D 3E
总结：⎧⎨⎩利用正六边形边、角的特征
和三角形知识求解
(4) 圆在直角坐标系中→点的坐标 例7：如图，在平面直角坐标系中，是经过的O(0,0),A(0,2)B(2,0),圆上一个动点（P 与O,B 不重合）
则OAB ∠=______度，OPB ∠=______度
解：由已知OB=OA,90o
AOB ∠=
Q AB 为圆直径 ∴45o OAB ∠=
Q P 为圆上一个动点，但所对圆弧为OB
∴圆弧所对圆心角相等
∴OPB ∠为45o
总结：运用圆心角中圆弧所对圆心角关系
练习：圆心都在 轴上的两圆相交于A,B 两点，已知A 点的坐标为(3,4)，则B 点的坐标为 总结：
平面直角坐标系∍点→点的坐标←利用图形特征⊃⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
三角形的图形特征四边形的图形特征正六边形的图形特征
圆的特征
D\、文字信息→点的坐标
例1、如图，一个机器人从0点出发向正东方向走了3米到达1A 点，再向正北方向走6米，到达2A 点，再向正西方向走9米，再向正南方向走12米，到达4A 点，再向正东方向走15米，到达5A 点，按如此规律走下去，当机器人走到6A 点时，离0点的距离是
11 总结：①根据提供的规律确定6A 点的坐标
②求OA ←勾股定理
练习：①根据指令[S,A]00(0,0180)s A ≥<<，机器人在平面上能完成下列动作：先在原地逆时针旋转角度A 再朝其面对的方向沿直线走距离S 现在机器人正在直角坐标坐标原点，且面对x 轴的正方向（1）若给机器人下了一个指令0[4,60]则机器人应移动到点 ，（2）请你给机器人下一个指令 ，使其移动到点（-5，5）
②某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走1米，然后左转0
45，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 米。

总结：
文字信息→图形→(1)23⎧⎪⎧⎪∍→⎨⎨
⎩⎪⎪⎩首先建立直角坐标系
方向（）取首点画出图形
大小
（）求点的坐标或距离。