高速电机转子临界转速计算与振动模态分析

第28卷第5期 辽宁工程技术大学学报（自然科学版） 2009年10月
V ol.28 No.5 Journal
of Liaoning Technical University （Natural Science ） Oct. 2009 收稿日期：2008-10-11
基金项目：国家自然科学基金重点项目资助（50437010）；辽宁省教育厅科技基金项目资助（2008483）；2008年沈阳工程学院科技项目 作者简介：王天煜（1968-）生，女，辽宁 阜新人，博士研究生，副教授，主要从事转子动力学，振动与噪声方向的研究，E-mail: lnwangtianyu@ 。

文章编号：1008-0562(2009)05-0805-04
高速电机转子临界转速计算与振动模态分析
王天煜1,2，王凤翔2，方 程2, 孔晓光2
(1.沈阳工程学院 机械工程系，辽宁 沈阳 110136;2.沈阳工业大学电气工程学院，辽宁 沈阳 110136) 摘 要：采用3D 有限元方法，计算磁力轴承转子系统临界转速并分析振动模态，利用磁悬浮转子系统自身悬浮特性进行激振实验，确定有限元模型中磁力轴承支承刚度，有限元法计算的临界转速与转子系统实际运行临界转速相一致。

研究表明，磁力轴承刚度对转子临界转速影响很大，可以通过改变磁力轴承刚度和转子材料来调整临界转速；为了避免转子超越弯曲模态的临界转速，转子轴伸长度应控制在安全范围内。

关键词：高速电机；磁力轴承-转子系统；临界转速；有限元方法 中图分类号： TM 355 文献标识码：A
Critical speed calculation and mode analysis of rotor for high speed motor
WANG Tianyu 1,2，WANG Fengxiang 2，FANG Cheng 2，KONG Xiaoguang 2
(1. College of Mechanical and Engineering, Shenyang Institute of Engineering, Shenyang 110136, China; 2. School of Electrical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110178, China)
Abstract: A 3D finite element analysis (FEA) is used to establish the critical speed and vibration mode of the magnetic bearing-rotor system of high-speed motor. Also, the bearing stiffness of 3D-FEA model was determined using vibration experiment according to the suspension characteristics of the magnetic bearing system . The critical speeds calculated using FEA are consistent with actual results of the rotor system . The study shows that the bearing stiffness has significant impact on the critical speed of rotor. The critical speed can be adjusted by changing bearing stiffness and material properties. The shaft extension should be maintained at a safe range in order to avoid critical speed at rotor bending modes.
Key words ：high speed motor ；magnetic bearing-rotor system ；critical speed ；finite element analysis
0 引 言
高速电机转子的转速高达每分钟数万转，甚至十几万转，定子绕组电流和铁心中磁通频率一般在1000 Hz 以上，由此决定了不同于普通电机的高速电机特有的关键技术[1]。

高速电机转子系统在设计阶段应精确预知其动态特性，包括临界转速位置及振动模态分析，为提供适合的支承刚度和阻尼，采
用合理的磁力轴承控制系统设计方法提供依据[2]。

转子的临界转速计算大多采用传递矩阵法和
有限元法 [3-4]。

磁力轴承刚度和阻尼对转子的临界
转速和稳定性有着重要影响，国内外不少学者对磁
力轴承的支承特性做了深入的研究[5-6]，文献[7]建
立3D 有限元模型计算永磁无刷电机转子系统的固
有频率，并考虑陶瓷轴承刚度对高速电机固有频率
的影响，但其轴承刚度特性与磁力轴承有所不同。

本文以一台100kW 、60000r/min 高速永磁电机为例，建立磁力轴承-转子系统3D 有限元模型，计算磁力
轴承支承条件下的转子临界转速并进行振动模态分析，研究磁力轴承刚度、轴伸长度对临界转速的影响。

1 高速电机转子系统有限元模型 永磁转子以其结构简单、能量密度大等优点，特别适于高速电机，但永磁体不能承受高速旋转时的巨大离心力，所以高速电机的转子表面采用一个非导磁高强度护套来保护永磁体，护套和永磁体之间为过盈配合，转子系统采用径向、轴向磁力轴承支承，转子的结构如图1。

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1.1 转子单元运动方程
对转子进行离散化，转子轴划分为n 个轴段，
轴单元长度为L ，轴单元两端节点各有一个
横向位移v 和转角θ，轴单元上各节点挠度和转角由其4个自由度的形状位置函数1ϕ，2ϕ，3ϕ，4ϕ叠加而成
()()11213242112
13242y x v v x v v ϕϕθϕϕθθϕϕθϕϕθ=+++⎧⎪⎨
′
′′′=+++⎪⎩ （1）
不考虑陀螺力矩时，用自由度q i 代替轴单元的
端面挠度和转角，用轴单元两端节点的位移和速度来表示轴单元的动能T 和势能U 为[8]
0011
d 2211d 22l
i j i j
ij i j i j i j l
i j i j ij i j i j i j T q q m x m q q U q q EI x k q q ϕϕϕϕ⎧==⎪⎪⎨⎪′′′′==⎪⎩∑∑∑∑∫∑∑∑∑∫
当轴划分为n 段，则它有n +1个节点，每个节
点具有两个自由度，因此系统的广义质量矩阵是一个2n +2阶的方阵。

由广义力和广义质量的关系，利用叠加原理把回转力矩对应的广义力叠加到系统拉格朗日方程中，得到系统的运动方程
()()t F Kq q
J M =++ （3） 当()0=t F 时，()0=++Kq q J M ，通过求解方程就可求出系统的临界转速，相应的可求出对应的振型。

1.2 磁力轴承支承特性分析
采用磁悬浮轴承的转子动力学分析，是一个电磁与机械非线性强耦合的复杂过程，为了研究的方便，首先进行单自由度转子的受力分析。

单自由度（Y 方向）磁悬浮系统结构如图2。

用有限元方法对磁力轴承进行磁场分析表明[9]，磁力轴承各对磁极的磁路是相互独立的，所以可以认为磁力轴承提供的x 和y 方向上的力是相互解耦的，也就是磁力轴承支承是各向同性的。

当转子在静平衡位置受到位移或速度扰动时，电磁力就会发生变化。

当扰动微小时，电磁力可线性关系化[10]为
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣−−=⎥⎦⎢⎣⎡y x i i
x x y x i i k k y x k k f f 000
0（4） x k 、i k 分别为电流刚度系数和位移刚度系数，
其中
020x i AN k i µ= （5）
3
2020x i AN k x µ= （6） 式中，N 为单级线圈匝数；A 为磁极横截面面积；µ0为空中的磁导率；i 0为平衡位置的偏置电流；x 0, y 0为转子的平衡位置；i x , i y 为控制电流。

磁力轴承刚度定义为单位位移所引起的电磁力增量；磁力轴承阻尼定义为单位速度所引起的电磁力增量，则磁力轴承刚度和阻尼表达式写成矩阵形式为
由式（7）、式（8）可以看出，当轴承结构参数一定时，刚度系数和阻尼系数主要取决于控制系统的设计，不同的控制规律刚度特性不同[3]。

2 磁悬浮转子临界转速计算及振动模态分析
2.1 磁力轴承支承刚度的确定
建立如图3的3D 有限元模型，磁力轴承采用弹簧单元Combine14来模拟，其中阻尼影响较小可忽略
x x i i xx xy yx yy y y i i
i i k k c c x y c c i i k k x
y ∂∂⎛⎞⎜⎟∂∂⎛⎞⎜⎟==⎜⎟∂∂⎜⎟
⎝⎠⎜⎟∂∂⎝⎠ c （8）x x
x i i xx xy yx yy y y i x i i i k k k k k x y k k i i k k k x y ∂∂⎛⎞−+⎜⎟∂∂⎛⎞⎜⎟==
⎜⎟∂∂⎜⎟⎝⎠−+⎜⎟∂∂⎝
⎠k （7）图2 单自由度磁力轴承系统原理 Fig.2 schematic diagram of one-freedom magnetic bearing system y +0δy
−0
δ
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不计。

磁力轴承刚度对转子系统临界转速有很大影响，在有限元模型中很难精确确定，本文利用迭代的方法，通过改变有限元模型中的刚度值，使有限元计算的固有频率收敛于实验值来确定磁力轴承刚度。

转子固有频率激振实验是利用磁力轴承本身的悬浮特性，将磁力轴承作为电磁激振器，在零转速下采用稳态正弦激励进行激振实验。

激振实验原理图见图4。

图5(a)、(b)为激振实验得到转子的40 Hz 和114 Hz 固有频率。

2.2 磁悬浮转子系统振动模态及临界转速计算
转子临界转速f N c 60
=。

考虑径向、轴向磁力
轴承刚度的转子振动模态见图
6。

图6(a)
中转子振
动模态为刚体平动模态，是由于轴向刚度而产生的模态；
图6(b)
和 (c)为包括x 和y 两个方向的1阶主振型振动模态，为刚体的摆动模态，这两个模态是径向磁力轴承刚度产生的振动模态；图
(d)、 (f)分别为两个正交的弯曲模态，对应主振型分别为2阶、3阶弯曲模态；图(e)为扭转模态。

由此可看出前3阶临界转速主要受磁力轴承各自由度方向刚度影响，其大小与轴承刚度及控制器参数有关，因此可通过修改控制器参数调整磁力轴承的刚度和阻尼，从而改变转子临界转速，避免共振的发生。

图7给出转子固有频率随轴承支承刚度的变化情况。

当支承刚度较小时，对固有频率影响不大，随着支承刚度的增加，对刚体的摆动模态固有频率影响很大；当刚度大于107N/m 时，对弯曲模态固有频率产生影响；当刚度达到一定值时，再增加支承刚度失去意义，这时可通过改变转子结构或材料特性（即弹性模量）改变固有频率。

3D 有限元方法计算的固有频率与转子在实际运行中的振动频率比较见表1，转子实际运行振动频谱见图8。

由表1
可见，有限元方法计算的固有
图5 激振实验振动频谱图 Fig.5 frequency spectrum with exciting vibration experiment 114Hz (b)
(a) 40Hz
(b) (c) (d)
阶模态a
阶模态b 阶模态
扭转模态
3阶模态 磁力轴承刚度/(N·m -1)
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频率小于实际运行频率，这是因为有限元方法没有考虑陀螺力矩的影响，实际运行中转子只发生同步正进动，正进动时陀螺力矩对应的广义质量为负，它的存在降低了系统的广义质量，间接的增加了系统的刚度，使系统固有频率增加。

表1 有限元法计算固有频率与转子运行振动频率比较 Tab.1 Comparison of calculated natural frequencies
of FEM with actual frequencies
阶数 有限元方法 实际运行频率 误差/%1a 40.81 42 2.9 1b 80.75 82 1.5 1c 116.83 122 4.3
2.3 轴伸长度对临界转速的影响
如图9所示，转子轴伸直径一定时，轴伸长度对转子弯曲模态临界转速有很大影响，随着轴伸长度增大，转子临界转速降低。

当轴伸长度超过110 mm 时，转子变为柔性转子，高速电机在额定转速下运行需超越2
阶弯曲模态的临界转速；对于工作转速高于1
阶振动模态的转子临界转速，应使实际转速N 满足下列条件
17.04.1+<<k k c c N N N （8）
当轴伸长度超过80 mm ，2阶弯曲模态临界转速与额定转速差值小于安全裕度，易发生共振，因此转子轴伸长度必须控制在80 mm 范围内。

3 结 论
利用磁悬浮转子系统自身悬浮特性进行激振实验测量磁悬浮转子系统固有频率，确定3D 有限元模型中磁力轴承支承刚度，为进一步计算不平衡响应奠定了基础。

通过计算临界转速和分析振动模态得出，磁力轴承转子刚体平动和摆动模态的固有频率受磁力轴承刚度影响很大，可以通过改变磁力轴承刚度，以达到最佳的转子动态特性。

为了不使转子在额定转速下运行超越2阶弯曲模态的临界转速，转子轴伸长度应控制在一定范围内。

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图8 转子实际运行振动频谱图
Fig.8 actual frequencies spectrum of rotor vibration
b
a。