2018年高一北师大版数学必修2(45分钟课时作业与单元测试卷)：第1章章末检测 Word版含解析

第一章章末检测
一、选择题(本大题10个小题，每小题5分，共50分)
1．若a、b为异面直线，直线c∥a，c与b的位置关系是()
A．相交B．异面
C．平行D．异面或相交
答案：D
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()
A．相交B．异面
C．平行D．垂直
答案：A
解析：因为A1B∥D1C，D1C∩EF＝E，又E，F，A1，B四点都在平行四边形A1BCD1上，所以E，F，A1，B四点共面，所以EF与A1B相交，故选A.
3．如图为一零件的三视图，根据图中所给数据(单位：cm)可知这个零件的体积为() A．(64－π)cm3B．(64－4π)cm3
C．(48－π)cm3D．(48－4π)cm3
答案：B
解析：由三视图，可知这个零件是一个棱长为4的正方体，中间挖去了一个底面半径为1、高为4的圆柱所形成的几何体，其体积为43－π×12×4＝(64－4π)cm3.
4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为() A．1：2：3 B．2：3：4
C．3：2：4 D．3：1：2
答案：D
5．已知正方体的棱长为2，则外接球的表面积和体积分别为()
A．48π，32 3πB．48π，4 3π
C．12π，4 3πD．12π，32 3π
答案：C
6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()
A．三角形B．四边形
C．五边形D．六边形
答案：D
7．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列结论正确的是()
A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α
B ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
C ．若m β，且α⊥β，则m ⊥α
D ．若m ⊥β，且α∥β，则m ⊥α 答案：D
解析：A 中可能n α；B 中m ，n 还可能相交或异面；C 中m ，α还可能平行或斜交；一条直线垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，所以D 正确．
8．四面体S －ABC 中，各个面都是边长为2的正三角形，E ，F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成角等于( )
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30° 答案：C
9．设m 、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n
②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β 其中正确命题的序号是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 答案：A
10．直线m ⊥平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是( )
A ．[4 2－52，4 2＋52
]
B ．[2 2－2,2 2＋2]
C ．[3－2 22，3＋2 22
]
D ．[3 2－2,3 2＋2] 答案：B 解析：
由题意，直线BC 与动点O 的空间关系： 点O 是以BC 为直径的球面上的点，
所以O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)＋半径＝2 2＋2. 最小距离为AD 到球心的距离(即BC 与AD 的公垂线)－半径＝2 2－2.
∴点O 到直线AD 的距离的取值范围是：[2 2－2,2 2＋2]． 二、填空题(本大题5个小题，每小题5分，共25分)
11．已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．
答案： 2
12．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 中点，则三棱锥B －B 1EF 的体积为________．
答案：13
13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为BB 1和CD 的中点，则直线AM 和D 1N 所成的角为________.
答案：90° 14．如图，梯形A ′B ′C ′D ′是水平放置的四边形ABCD 的用斜二测画法画出的直观
图．若A ′D ′∥y ′轴，A ′B ′∥C ′D ′，A ′B ′＝2
3
C ′
D ′＝2，A ′D ′＝O ′D ′＝1，
则四边形ABCD 的面积为________．
答案：5 解析：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D ′＝1，OC ＝O ′C ′＝2.
过点D 作y 轴的平行线，并在平行线上截取DA ＝2D ′A ′＝2.
过点A 作x 轴的平行线，并在平行线上截取AB ＝A ′B ′＝2.连接BC ，即得到了四边形ABCD .
可知四边形ABCD 是直角梯形，上、下底边分别为AB ＝2，CD ＝3，高AD ＝2，所以四边形ABCD 的面积S ＝2＋3
2
×2＝5.
15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下四个结论：
①直线D 1C ∥平面A 1ABB 1； ②直线A 1D 1与平面BCD 1相交； ③直线AD ⊥平面D 1DB ； ④平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1.
其中正确结论的序号为________． 答案：①④
解析：因为平面A 1ABB 1∥平面D 1DCC 1，D 1C
平面D 1DCC 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，
①正确；直线A 1D 1在平面BCD 1内，②不正确；显然AD 不垂直于BD ，所以AD 不垂直于平面D 1DB ，③不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC 平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，④正确．
三、解答证明题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16．(12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
解：x cm,3x cm. 延长AA 1交OO 1的延长线于S ， 在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°， ∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，
又S 轴截面＝1
2
(6x ＋2x )·2x ＝392，∴x ＝7.
故圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝ 2O 1O ＝14 2 cm ，两底面半径分别为7 cm,21 cm.
17．(12分)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点．
(1)求证：SA ∥平面PCD ； (2)求圆锥SO 的表面积． 解：(1)连接PO ，
∵P ，O 分别为SB ，AB 的中点，∴PO ∥SA .
又PO 平面PCD ，SA 平面PCD ，∴SA ∥平面PCD .
(2)设母线长为l ，底面圆半径为r ，则r ＝2，l ＝SB ＝22， ∴S 底＝πr 2＝4π，S 侧＝πrl ＝42π， ∴S 表＝S 底＋S 侧＝4(2＋1)π.
18．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分PC ，且分别交AC ，PC 于D ，E 两点，PB ＝BC ，P A ＝AB .
(1)求证：PC ⊥平面BDE ；
(2)试确定线段P A 上点Q 的位置，使得PC ∥平面BDQ . 解：(1)∵PB ＝BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE . ∵DE 垂直平分PC ，∴PC ⊥DE .
又BE 平面BDE ，DE 平面BDE ，且BE ∩DE ＝E ，
∴PC ⊥平面BDE .
(2)不妨令P A ＝AB ＝1，则有PB ＝BC ＝2，计算得AD ＝
33＝13
AC . ∴点Q 在线段P A 上靠近点A 的三等分点处，即AQ ＝1
3
AP 时，PC ∥QD ，从而PC ∥平
面BDQ .
19．(13分)如图，在直三棱柱ADF －BCE 中，AB ＝AD ＝DF ＝a ，AD ⊥DF ，M ，G 分别是AB ，DF 的中点．
(1)求该直三棱柱的体积与表面积；
(2)在棱AD 上确定一点P ，使得GP ∥平面FMC ，并给出证明．
解：(1)由题意，可知该直三棱柱的体积为12×a ×a ×a ＝1
2
a 3，
表面积为1
2
a 2×2＋2a 2＋a 2＋a 2＝(3＋2)a 2.
(2)当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC . 取FC 的中点H ，连接GH ，GA ，MH .
∵G 是DF 的中点，∴GH 綊1
2CD .
又M 是AB 的中点，AB 綊CD ，
∴AM 綊1
2
CD .
∴GH ∥AM 且GH ＝AM ，
∴四边形GHMA 是平行四边形， ∴GA ∥MH .
∵MH 平面FMC ，GA 平面FMC ， ∴GA ∥平面FMC ，
即当点P 与点A 重合时，GP ∥平面FMC .
20．(13分)如图①，有一个等腰直角三角板ABC 垂直于平面α，BC α，AB ＝BC ＝5，有一条长为7的细线，其两端分别位于B ，C 处，现用铅笔拉紧细线，在平面α上移动．
(1)图②中的PC (PC <PB )的长为多少时，CP ⊥平面ABP ？并说明理由． (2)在(1)的情形下，求三棱锥B －APC 的高． 解：(1)当CP ＝3时，CP ⊥平面ABP .
证明如下：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5， 所以三角形BPC 为直角三角形，且CP ⊥PB . 又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，
所以AB ⊥平面α，于是CP ⊥AB .
又PB 平面ABP ，AB 平面ABP ，PB ∩AB ＝B ， 所以CP ⊥平面ABP .
(2)解法一：如图，过点B 作BD ⊥AP 于点D ，
由(1)，知CP ⊥平面ABP ，则CP ⊥BD .
又AP 平面APC ，CP 平面APC ，AP ∩CP ＝P ， 所以BD ⊥平面APC ，即BD 为三棱锥B －APC 的高． 由于PB ＝4，AB ＝5，AB ⊥平面α，
所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，
由AP ·BD ＝AB ·PB ，得BD ＝4×541
＝2041
41.
即三棱锥B －APC 的高为2041
41
.
解法二：由(1)，知CP ⊥平面ABP ，所以CP ⊥AP . 又CP ＝3，BP ＝4，AB ＝5，AB ⊥BP ， 所以AP ＝AB 2＋PB 2＝25＋16＝41，
所以S △APC ＝12·CP ·AP ＝341
2
.
设三棱锥B －APC 的高为h ，则V B －APC ＝13·S △APC ·h ＝41
2
h .
又V A －PBC ＝13·S △PBC ·AB ＝13×1
2
×CP ×BP ×AB ＝10，
而V B －APC ＝V A －PBC ，得412h ＝10，所以h ＝2041
41.
即三棱锥B －APC 的高为2041
41
.
21．(13分)已知正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，M 为AC 上一点，N 为BF 上一点，且AM ＝FN ＝x ，设AB ＝a
(1)求证：MN ∥平面CBE ； (2)求证： MN ⊥AB ；
(3)当x 为何值时，MN 取最小值？并求出这个最小值．
证明：(1)在平面ABC 中，作MG ∥AB ，在平面BFE 中，作NH ∥EF ，
连接GH ，∵AM ＝FN ，∴MC ＝NB ，∵MG AB ＝MC NC ＝NB
EF
∴MG ∥NH ，
∴MNHG 为平行四边形，∴MN ∥GH
又∵GH ⊆面BEC ，MN 面BEC ，∴MN ∥面BEC (2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥BE ，∴AB ⊥面BEC ，
∵GH ⊆面GEC ，∴AB ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴MN ⊥AB (3)∵面ABCD ⊥面ABEF ，∴BE ⊥面ABCD ，∴BE ⊥BC
∵BG ＝x
2，BH ＝2a －x 2
∴MN ＝GH ＝BG 2＋BH 2
＝
x 2＋x 2－22ax ＋2a 2
2
＝x 2－2ax ＋a 2(0<a <2a )
＝⎝
⎛⎭⎫x －22a 2＋a 2
2≤22a
当且仅当x ＝2
2a 时，等号成立；
∴当x ＝22a 时，MN 取最小值2
2
a .。