河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试
高二数学试卷（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.
2.考试结束，将答题卷交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i
B. i -
C. 1
D. 1-
【★答案★】C 【解析】 【分析】
由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()2
1111i i
i z i i i i +⋅+=
==--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.
【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°
【★答案★】B 【解析】 【分析】
“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.
【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.
3.对下列三种图像，正确的表述为（）
A. 它们都是流程图
B. 它们都是结构图
C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图
D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C
【解析】
试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．
解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．
（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．
（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．
故选C．
点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．
4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)
i i
x y i=，已知它们之间的线性回归方程是
ˆ511
y x
=+，若
15
1
18 i
i
x =
=
∑，则15
1i
i
y =
=
∑（）
A. 17
B. 86
C. 101
D. 255【★答案★】D
【解析】
【分析】
先计算
18
1.2
15
x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117
y=⨯+=，从而可求得结果.
【详解】因为
15
1
18 i
i
x =
=
∑，所以18 1.2
15
x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117
y=⨯+=，
所以
15
1
1715255 i
i
y
=
=⨯=
∑，故选D.
【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.
5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【★答案★】A 【解析】
试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A
点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面
，直线∥
平面
，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 非以上错误
【★答案★】A 【解析】
演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.
7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABC
OAB
OAC
OBC
OBC
S
S
S
S
S
=++=⋅，即
11
||3||22
BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则
实数a =（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
【★答案★】B 【解析】 【分析】
利用等体积，即可得出结论.
【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11
433
V Sh Sr =
=⋅， 4h r ∴=，
则4a =. 故选：B.
【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123
【★答案★】B 【解析】 【分析】
根据题目所给等式，归纳出正确结论.
【详解】根据题目所给等式可知：6
6
7
7
71118,111829a b a b +=+=+=+=，
88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.
故选：B
【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =
++，23Q a a =+++（0a ≥）
，则P ，Q 的大小关系是（ ）
A. P Q <
B. P Q =
C. P Q >
D. P ，Q 的大小
由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】
∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（
）
且22556a a a a +<++ ，
∴2
2
P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.
10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）
A. 22020
B. 21009
C. 21010
D. 21011
【★答案★】D 【解析】 【分析】
运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.
【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，
2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出
212021
132021*********
S +=++
+=
⨯=. 故选：D
【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.
11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提
出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.
9
28
B.
1928
C.
2764
D.
3764
【★答案★】C 【解析】 【
分析】
根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.
【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,
图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34
, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916
, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的
2764
, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为
2764
. 故选:C
【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.
12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为
Z ，则点Z 的轨迹为（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 两条射线
D. 一条射线
【★答案★】B 【解析】 【分析】
利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，
则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，
根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22
||z z
-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】
利用复数运算化简得到
22
12z i z
-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则22
22215z z
-=+=.
故★答案★为：5.
【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为002
2
Ax By C d A B
++=
+，
通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】
利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为
0002
2
2
Ax By Cz D
d A B C
+++=
++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.
【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为002
2
Ax By C d A B
++=
+，
类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为0002
2
2
Ax By Cz D
d A B C
+++=
++，
因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为2
2
2
22431114123
d +⨯+⨯+=
=++.
故★答案★为：14.
【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()(
)()()11n n
i i f n n i N i
+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】
化简得到()()()n
n
i f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到
★答案★.
【
详解】()()()()()()
()()22
111()()()()()1111111n n
n n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0
(0)2i f i =+-=，()()1
1
(1)0i f i =+-=，()()2
2
(2)2i f i =+-=-， ()()3
3
(3)0i f i =+-=，()()4
4
(4)2i f i =+-=，
根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.
故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性
的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：
①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；
③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；
⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．
其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】
根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．
【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；
对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；
对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；
对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；
对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④
【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数2
2
(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；
（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】
【分析】
（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.
（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.
【详解】（1）由题意得：22560
2530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩
，解得2m =-.
（2）复数z 对应的点的坐标为(
)
22
56,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：2
2
(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.
【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.
18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；
（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12y
x
+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）利用作差法即可证明.
（2）假设
12x y +≥，12y
x
+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.
【详解】（1）3
3
2
2
2222
222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-
()()(2)a b a b a b =-++，
∵0a b ≥>，
∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，
∴
332222a b ab a b -≥-.
（2）假设12x y +≥，12y
x
+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，
所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，
所以假设不成立，即
12x y +<与12y
x
+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.
19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．
（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计
（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
下面临界值表仅供参考：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
【解析】
试题分析：
解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.
规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.
试题解析:（1）
甲班乙班合计
优秀 6 14 20
不优秀14 6 20
合计20 20 40
（2）
=
因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3n
n n
a a a N n +=
+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1
{
}n
a 是等差数列. 【★答案★】（1）234331
,,452a a a ===，32
n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）根据*1131,()3n
n n
a a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n n
a a n a +=
+∈N ，得到
1111
3n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3n
n n
a a n a +=
+∈N ， 令1n =，可得121333
3314
a a a =
==++； 令2n =，可得23233
35a a a =
=+； 令3n =，可得343331
362
a a a ===+； 所以234331,,452
a a a =
==， 猜想：数列{}n a 的通项公式3
2
n a n =
+.
（2）由*13()3n n
n a a n a +=
+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即1111
3
n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以
1
11a ，
所以数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是以1为首项，以1
3为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.
21.已知点()
1,2A 是椭圆C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线
221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重
合．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．
【★答案★】（1）22
142
y x +=（2）详见解析
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =
+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1）
，B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则121222
11
AB AD y y x x k k +=
--+--，由此导出结果.
【详解】（1）由题意，可得e =
c a =2
2，代入A （1，2）得22211a b
+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===
，
所以椭圆C 的方程22
142
y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，
又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则由22
224
y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2
-4=0 所以△=-8m 2
+64＞0，所以22-＜m ＜22．
x 1+x 2=-22
m ，21244m x x -⋅=
设直线AB 、AD 的
斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =
121212121222222111
y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+
=2
2
22222222042
142
m m m m -
-+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．
【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．
（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；
（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）证明：()
111ln(1)231n n N n *+>
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）1
4
a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；
（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；
（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()1
0,,()f x a x
+∞'=
-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为
34
，从而3
14a -=，解得14a = ,
（2）若0a ≤，则()1
0,f x a x
->'=
则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >
若0a >，则当10,x a ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()10.f x a x -<'=
所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝
⎦上是增函数，在1,a
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上是减函数,
所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥
（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，
()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .
令1
n x n =
+，则1
ln
1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有
11211
ln
,ln ,......,ln .223311
n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得1211
1ln
ln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即111
1ln
......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭
故()111
ln 1 (231)
n n +>
++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.
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