高等数学微积分公式大全

高等数学微积分公式大全

一、基本导数公式 ⑴()0c '=⑵1

x x

μ

μμ-=⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=-⑸()2

tan sec x x '=⑹()2

cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅⑻()csc csc cot x x x '=-⋅

⑼()x

x

e

e '=⑽()ln x

x

a a

a '=⑾()1

ln x x

'=

⑿(

)1

log ln x

a

x a

'=⒀(

)arcsin x '=⒁(

)arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=

+⒃()2

1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=

⒅

'=

二、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=±()uv u v uv '''=+2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭

三、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()

()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦

（3）()()()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+⎡⎤⎣⎦

（4）()()()

()

()()()0

n

n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦

∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n

x

n = （2）()

()

n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()

()

ln n x x n a a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝⎭(5)()()cos cos 2n n

ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝

⎭ (6)()

()

()

1

1!

1n n n

n a n ax b ax b +⋅⎛⎫

=- ⎪+⎝⎭

+ (7)()()

()

()()

1

1!

ln 1n n n n

a n ax

b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦

+

五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c =⑵()1

d x

x

dx μ

μμ-=⑶()sin cos d x xdx =

⑷()cos sin d x xdx =-⑸()2

tan sec d x xdx =⑹()2

cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x

x

d e

e dx =⑽()ln x

x

d a a

adx =⑾()1

ln d x dx x

=

⑿(

)1

log

ln x

a

d dx x a =

⒀()arcsin d x dx =

⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =

+⒃()2

1

arccot 1d x dx x

=-+ 六、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=±⑵()d cu cdu = ⑶()d uv vdu udv =+⑷2

u vdu udv

d v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭

七、基本积分公式

⑴kdx kx c =+⎰⑵11x x dx c μμ

μ+=++⎰⑶ln dx x c x

=+⎰ ⑷ln x

x

a a dx c a

=+⎰⑸x x e dx e c =+⎰⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰

⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼2

21csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰

⑽21arctan 1dx x c x =++⎰ ⑾

arcsin x c =+

八、补充积分公式

tan ln cos xdx x c =-+⎰cot ln sin xdx x c =+⎰

sec ln sec tan xdx x x c =++⎰csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰

22

11arctan x

dx c a x a a

=++⎰2211ln 2x a dx c x a a x a -=+-+⎰

arcsin

x c a

=+ln x c =++⎰

十、分部积分法公式

⑴形如n ax x e dx ⎰

，令n u x =，ax

dv e dx =

形如sin n x xdx ⎰令n

u x =，sin dv xdx =

形如cos n x xdx ⎰

令n

u x =，cos dv xdx = ⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，n

dv x dx =

形如ln n x xdx ⎰，令ln u x =，n

dv x dx =

⑶形如sin ax e xdx ⎰

，cos ax e xdx ⎰

令,sin ,cos ax

u e x x =均可。

十一、第二换元积分法中的三角换元公式

sin x a t = tan x a t = sec x a t = 【特殊角的三角函数值】

（1）sin 00= （2）1sin

6

2π

=

（3）sin 32π= （4）sin 12

π

=） （5）sin 0π=

（1）cos01= （2）cos

6

π

=

（3）1cos 32π= （4）cos 02π

=） （5）cos 1π=-

（1）tan 00= （2）tan

6

π

=

（3）tan 3π=（4）tan 2

π

不存在 （5）tan 0π=

（1）cot 0不存在 （2）cot

6

π

= （3）cot

3

3π

=

（4）cot 02

π

=（5）cot π不存在