信号系统(第3版)习题解答

文档
《信号与系统》（第3版）
习题解析
高等教育出版社
目录
第1章习题解析 (2)
第2章习题解析 (6)
第3章习题解析 (16)
第4章习题解析 (23)
第5章习题解析 (31)
第6章习题解析 (41)
第7章习题解析 (49)
第8章习题解析 (55)
第1章习题解析
1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？
(c) (d)
题1-1图
解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。

1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。

[提示：f ( 2t )表示将f ( t )
波形压缩，f (2
t
)表示将f ( t )波形展宽。

]
(a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )
(c) f ( 2t
)
(d) f ( -t +1 )
题1-2图
解 以上各函数的波形如图p1-2所示。

图p1-2
1-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。

题1-3图
解 各系统响应与输入的关系可分别表示为
)()(t i R t u R R ⋅= t
t i L
t u L L d )
(d )(= ⎰∞-=
t
C C i C
t u ττd )(1)(
1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。

S R
S L
S C
题1-4图
解 系统为反馈联接形式。

设加法器的输出为x ( t )，由于
)()()()(t y a t f t x -+=
且
)()(,
d )()(t y t x t t x t y '==⎰
故有
)()()(t ay t f t y -='
即
)()()(t f t ay t y =+'
1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？
解 设T 为系统的运算子，则可以表示为
)()]([)(t f t f T t y ==
不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则
)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==
故有
)()()()]([21t y t f t f t f T =+=
显然
)()()()(2121t f t f t f t f +≠+
即不满足可加性，故为非线性时不变系统。

1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。

(1) ⎰+=
t
f t t f t y 0d )(d )(d )(ττ (2) )()(3)()(t f t y t y t y '=+'+''
(3) )(3)()(2t f t y t y t =+' (4) )()()]([2t f t y t y =+'
解 (1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。

1-7 试证明方程
)()()(t f t ay t y =+'
所描述的系统为线性系统。

式中a 为常量。

证明 不失一般性，设输入有两个分量，且
)()()()(2211t y t f t y t f →→，
则有
)()()(111
t f t ay t y =+' )()()(222
t f t ay t y =+' 相加得
)()()()()()(212211
t f t f t ay t y t ay t y +=+'++' 即
[][])()()()()()(d d
212121t f t f t y t y a t y t y t
+=+++ 可见
)()()()(2121t y t y t f t f +→+
即满足可加性，齐次性是显然的。

故系统为线性的。

1-8 若有线性时不变系统的方程为
)()()(t f t ay t y =+'
若在非零f ( t )作用下其响应t t y --=e 1)(，试求方程
)()(2)()(t f t f t ay t y '+=+'
的响应。

解 因为f ( t ) →t t y --=e 1)(，由线性关系，则
)e 1(2)(2)(2t t y t f --=→
由线性系统的微分特性，有
t t y t f -='→'e )()(
故响应
t t t t y t f t f ----=+-=→'+e 2e )e 1(2)()()(2
第2章习题解析
2-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。

题2-1图
解 由图示，有
t
u C R u i d d C C L +=
又
⎰-=
t
t u u L
i 0C S L d )(1 故
C
C C S )(1
u C R
u u u L ''+'=- 从而得
)(1
)(1)(1)(S C C C
t u LC
t u LC t u RC t u =+'+''
2-2 设有二阶系统方程
0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y
在某起始状态下的0+起始值为
2)0(,1)0(='=++y y
试求零输入响应。

解 由特征方程
λ2 + 4λ + 4 =0
得 λ1 = λ2 = -2 则零输入响应形式为
t e t A A t y 221zi )()(-+=
由于
y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2
所以
A 2 = 4
故有
0,
)41()(2zi ≥+=-t e t t y t
2-3 设有如下函数f ( t )，试分别画出它们的波形。

(a) f ( t ) = 2ε( t -1 ) - 2ε( t -2 ) (b) f ( t ) = sin πt [ε( t ) - ε( t -6 )]
解 (a)和(b)的波形如图p2-3所示。

图p2-3
2-4 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。

题2-4图
解 (a) f ( t ) = ε( t ) - 2ε( t -1 ) + ε( t -2 ) (b) f ( t ) = ε( t ) + ε( t -T ) + ε( t -2T )
2-5 试计算下列结果。

(1) t δ( t - 1 ) (2) ⎰∞
∞--t t t d )1(δ
(3) ⎰∞-
-0d )()3πcos(t t t δω
(4) ⎰+---003d )(e t t t δ
解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 ) (2) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞
∞-∞
∞-t t t t t δδ
(3) 21d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞-
-t t t t t δδω
(4) 1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+
-
+
-
+
-
--t t t t t t t t δδδ
2-6 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

题2-6图
解 (a)
20,2
1
≤≤t
f ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2
-2δ( t - 4 )， t = 4
(b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )
图p2-6
2-7 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。

题2-7图
解 由图(a)有
Ri t u t
i
L
-=)(d d S 即
)(1
d d S t u L
i L R t i =+ 当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应
)(e 1)()(t L
t i t h t
L R
ε⋅==-
则电压冲激响应
)(e )(d d )()(L t L
R t t i L t u t h t
L R
εδ⋅-===-
对于图(b)RC 电路，有方程
R
u i t u C
C S C d d -=
即
S C C
1
1i C
u RC u =+' 当i S = δ( t )时，则
)(e 1)()(C t C
t u t h RC t
ε⋅==-
同时，电流
)(e 1)(d d C C t RC
t t u C i RC
t
εδ⋅-==-
2-8 设有一阶系统方程
)()()(3)(t f t f t y t y +'=+'
试求其冲激响应h ( t )和阶跃响应s ( t )。

解 因方程的特征根λ = -3，故有
)(e )(31t t x t ε⋅=-
当h ( t ) = δ( t )时，则冲激响应
)(e 2)()]()([)()(31t t t t t x t h t εδδδ⋅-=+'*=-
阶跃响应
)()e 21(3
1
d )()(30t h t s t t εττ-+==⎰
2-9 试求下列卷积。

(a) δ( t ) * 2
(b) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t )
解 (a) 由δ( t )的特点，故
δ( t ) * 2 = 2
(b) 按定义
ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) = ⎰∞
∞---+ττετεd )5()3(t
考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故
ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,
2d 5
3>-=⎰--t t t τ
也可以利用迟延性质计算该卷积。

因为
ε( t ) * ε( t ) = tε( t )
f
( t-t1 ) * f2( t-t2 ) = f( t-t1-t2 )
1
故对本题，有
ε( t + 3 ) * ε( t- 5 ) = ( t + 3 - 5 )ε( t + 3 - 5 ) = ( t- 2 )ε( t- 2 ) 两种方法结果一致。

(c) t e-t⋅ε( t ) * δ'( t ) = [t e-tε( t )]' = ( e-t-t e-t )ε( t )
2-10对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。

题2-10图
解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即
f
( t ) = 2ε( t ) - 2ε( t- 1 )
1
f
( t ) = ε( t ) -ε( t- 2 )
2
故
f
( t ) * f2( t ) = [2ε( t ) - 2ε( t- 1 )] * [ε( t ) -ε( t- 2 )]
1
因为
ε( t ) * ε( t ) = ⎰t0d1τ= tε( t )
故有
f
( t ) * f2( t ) = 2tε( t ) - 2( t- 1 )ε( t- 1 ) -2( t- 2 )ε( t- 2 ) + 2( t-1
3 )ε( t- 3 )
读者也可以用图形扫描法计算之。

结果见图p2-10(a)所示。

(b)根据δ ( t )的特点，则
f 1( t ) * f 2( t ) = f 1( t ) *[δ ( t ) + δ ( t - 2 ) + δ ( t + 2 )]
= f 1( t ) + f 1( t - 2 ) + f 1( t + 2 ) 结果见图p2-10(b)所示。

图p2-10
2-11 试求下列卷积。

(a) )()()()e 1(2t t t t εδε*'*--
(b) )](e [d d
)(e 3t t
t t t δε--*
解 (a)因为)()()()(t t t t δεεδ='=*'，故
)()e 1()()()e 1()()()()e 1(222t t t t t t t t t εδεεδε----=*-=*'*-
(b)因为)()(e t t t δδ=-，故
t
t t
t t t t t t t 333e 3)()()(e )](e [d d )(e -----='*=*
δδεδε
2-12 设有二阶系统方程
)(4)(2)(3)(t t y t y t y δ'=+'+''
试求零状态响应
解 因系统的特征方程为
λ2 + 3λ + 2 =0
解得特征根
λ1 = -1， λ2 = -2
故特征函数
)()e e (e e )(2221t t x t t t t ελλ--*=*=
零状态响应
)()e e ()(4)()(4)(22t t t x t t y t t εδδ--**'=*'=
= )()4e e 8(2t t t ε---
2-13 如图系统，已知
)()(),1()(21t t h t t h εδ=-=
试求系统的冲激响应h ( t )。

题2-13图
解 由图关系，有
)1()()1()()()()()()(1--=-*-=*-=t t t t t t h t f t f t x δδδδδ
所以冲激响应
)1()()()]1()([)()()()(2--=*--=*==t t t t t t h t x t y t h εεεδδ
即该系统输出一个方波。

2-14 如图系统，已知R 1 = R 2 =1Ω，L = 1H ，C = 1F 。

试求冲激响应u C ( t )。

题2-14图
解 由KCL 和KVL ，可得电路方程为
)()(1
)1()1(2C 2C 2C
t L
R R t R u L R R L u L C R R u C δδ+'=++'++''
代入数据得
)()(22C C C
t t u u u δδ+'=+'+'' 特征根
λ1,2 = -1 ± j1
故冲激响应u C ( t )为
)]()([*)e e ()(11C t t t u t λt λδδ+'*=
)(sin e )()sin (cos e t t t t t t t εε⋅+⋅-=--
V )(cos e t t t ε⋅=-
2-15 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f ( t ) = ε( t )时，全响应
y 1( t ) = 3e -3t ⋅ε( t )；当输入f ( t ) = -ε( t )时，全响应y 2( t ) = e -3t ⋅ε( t )，试求该系统的冲激响应h ( t )。

解 因为零状态响应
ε( t ) → s ( t )，-ε( t ) → -s ( t )
故有
y 1( t ) = y zi ( t ) + s ( t ) = 3e -3t ⋅ε( t ) y 2( t ) = y zi ( t ) - s ( t ) = e -3t ⋅ε( t )
从而有
y 1( t ) - y 2( t ) = 2s ( t ) = 2e -3t ⋅ε( t )
即
s ( t ) = e -3t ⋅ε( t )
故冲激响应
h ( t ) = s ' ( t ) = δ( t ) - 3e -3t ⋅ε( t )
2-16 若系统的零状态响应
y ( t ) = f ( t ) * h ( t )
试证明： (1) ⎰∞-*=
*t
h t
t f t h t f ττd )(d )(d )()( (2) 利用(1)的结果，证明阶跃响应
⎰∞-=t
h t s ττd )()(
证 （1）因为
y ( t ) = f ( t ) * h ( t )
由微分性质，有
y ' ( t ) = f ' ( t ) * h ( t )
再由积分性质，有
⎰∞-*'=t
h t f t y ττd )()()(
（2）因为
s ( t ) = ε( t ) * h ( t )
由（1）的结果，得
⎰∞-*'=t
h t t s ττεd )()()(
⎰∞
-*=t
h t ττδd )()(
⎰∞
-=t
h ττd )(
第3章习题解析
3-1 求题3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。

题3-1图
解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
t T A t f =)(
系数
2
d 1d )(1000A
t T At T t t f T a T T ===
⎰⎰ ⎰⎰⋅==T
T t t n t T A t t n t f T a 0
1201n d cos 2d cos )(2ωω
0sin 20112=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡=T
n t n t T A ωω ⎰⎰⋅==T
T t t n t T A t t n t f T A b 0
1201n d sin 2d sin )(2ωω
πcos 20112n A
n t n t T A T
-=⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=ωω 所以三角级数为
∑∞=-=11sin π
2)(n t n n A
A t f ω
3-2 求周期冲激序列信号
∑∞
-∞
=-=
n nT t t )()(T δδ
的指数形式的傅里叶级数表示式，它是否具有收敛性？
解 冲激串信号的复系数为
T
t t T F T
T t n 1d e )(122j n 1==⎰--ωδ
所以
∑∞-∞
==n t n T t 1j T e 1)(ωδ
因F n 为常数，故无收敛性。

3-3 设有周期方波信号f ( t )，其脉冲宽度τ = 1ms ，问该信号的频带宽度（带宽）为多少？若τ压缩为0.2ms ，其带宽又为多少？
解 对方波信号，其带宽为τ
1
=∆f Hz ，
当τ1 = 1ms 时，则
Hz 1000001
.01
1
1
1==
=
∆τf 当τ2 = 0.2ms 时，则
Hz 50000002
.01
1
2
2==
=
∆τf
3-4 求题3-4图示信号的傅里叶变换。

题3-4图
解 (a)因为
ττ
<t t
,
τ>t ,
为奇函数，故
t t t F d sin 2j )(0
ωτ
ωτ
⎰
-=
]cos [sin 2
j
2
ωτωτωττω--=
)](Sa [cos 2
j ωτωτω
-=
或用微分定理求解亦可。

(b) f ( t )为奇函数，故
t t F d sin )1(2j )(0
ωωτ
⎰--=
)2
(sin 4j ]1[cos j 22ωτωωτω=-=
若用微分-积分定理求解，可先求出f ' ( t )，即
f ' ( t ) = δ( t + τ ) + δ( t - τ ) - 2δ( t )
所以
2cos 22e e )j ()(j j 1-=-+=↔'-ωτωωτωτF t f
又因为F 1( 0 ) = 0，故
)1(cos j 2
)(j 1)(1-==
ωτω
ωωωF F
3-5 试求下列信号的频谱函数。

(1) t t f 2e )(-=
(2) )(sin e )(0t t t f at εω⋅=-
解 (1) ⎰⎰⎰∞
--∞
--∞∞
--+==0
j 20
j 2j d e e d e
e d e
)()(t t t t f F t t t
t t
ωωωω
2
44j 21j 21ωωω+=++-=
(2) ⎰⎰∞---∞∞---⋅==0j j j j d )e e (e 2j 1
e d e )()(00t t t
f F t t t at t ωωωωω
⎰∞
-----⋅-⋅=0
)j (j )j (j ]d e e e [e 2j 100t t a t t a t ωωωω ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++--+=00j )j (1
j )j (12j 1ωωαωωα 2
2022000)j ()j (j 22j 1
ωωαωωωαω++=
++⋅=
3-6 对于如题3-6图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为
)(
Sa )(2ωτ
τωA F =
题3-6图
证 因为
(ττ
<-t t
A ),1(
0，| t | >
τ 则
⎰-=τωτ
ω0
d cos )1(2)(t t t
A F
)cos 1(22
ωττ
ω-=
A
)2(sin 422
ωτ
τ
ωA
=
)2
(
Sa 2ωτ
τA =
3-7 试求信号f ( t ) = 1 + 2cos t + 3cos3t 的傅里叶变换。

解 因为
1 ↔ 2πδ(ω)
2cos t ↔ 2π[δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] 3cos3t ↔ 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ]
故有
F (ω ) = 2π[δ(ω) + δ(ω - 1) + δ(ω + 1) ] + 3π[δ(ω - 3) + δ(ω + 3) ]
3-8 试利用傅里叶变换的性质，求题3-8图所示信号f 2( t )的频谱函数。

f ( t ) =
题3-8图
解 由于f 1( t )的A = 2，τ = 2，故其变换
)(Sa 4)2
(
Sa )(221ωωτ
τω==A F
根据尺度特性，有
)2(Sa 8)2(2)2
(211ωω=↔F t
f 再由调制定理得
)(πcos )2
()(212ωF t t
f t f ↔=
)]π22(Sa 8)π22(Sa 8[2
1
)(222++-=ωωωF
)π22(Sa 4)π22(Sa 422++-=ωω 2
222)
π()
2(sin )π()2(sin ++-=ωωωω
3-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。

(1) f ( t ) = A cos(ω0t ) * ε( t ) (2) f ( t ) = A sin(ω0t )ε( t )
解 （1）因为
)]()([π)cos(000ωωδωωδω-++↔A t A
ω
ωδεj 1
)(π)(+↔t
所以由时域卷积定理
]j 1)(π[)]()([π)(00ω
ωδωωδωωδω+
⋅-++=A F
)]()([j π
00ωωδωωδω
-++=
A （2）因为
)]()([πj )sin(000ωωδωωδω--+↔A t A
ω
ωδεj 1
)(π)(+↔t
由频域卷积定理
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+*--+=
]j 1)(π[)]()([πj π21)(0
0ωωδωωδωωδωA F 20
2000)]()([2π
j ωωωωωδωωδ----+=A A
3-10 设有信号
f 1( t ) = cos4πt
τ<t ,
1 τ>t ,
试求f 1( t ) f 2( t )的频谱函数。

解 设f 1( t ) ↔ F 1(ω)，由调制定理
)()]π4()π4([21
π4cos )(111ωωωF F F t t f =-++↔
而
)(Sa 2)2
(
Sa )(1ωωτ
τω==F
故
)π4(Sa )π4(Sa )(-++=ωωωF
3-11 设有如下信号f ( t )，分别求其频谱函数。

(1) )(e )()4j 3(t t f t ε⋅=+- (2) )2()()(--=t t t f εε
解 (1) 因 ω
ααj 1
e +↔-t
故
)
4j(31
j )4j 3(1e )4j 3(ωω++=++↔
+-t
(2) 因 2),1()()2()(τ=-=--τεεεt t G t t
故
ωωωωτ
τωj j e )(Sa 2e )2
(
Sa )(--==F
3-12 设信号
40,
2≤≤t 其他,
试求f 2( t ) = f 1( t )cos50t 的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。

解 因
ωωωωτ
τωj2j2e )2(Sa 8e )2
(
Sa 2)(--==F
故
)]50()50([2
1
)(112-++=ωωωF F F
)50j2()50j2(e )]50(Sa[24e )]50(Sa[24--+--++=ωωωω
幅度频谱见图p3-12。

图
p3-12
50
50
| F 2(ω) |
第4章习题解析
4-1 如题4-1图示RC 系统，输入为方波u 1( t )，试用卷积定理求响应u 2( t )。

题4-1图
解 因为RC 电路的频率响应为
1
j 1
)j (+=
ωωH 而响应
u 2( t ) = u 1( t ) * h ( t )
故由卷积定理，得
U 2(ω ) = U 1(ω ) * H ( j ω )
而已知)e 1(j 1
)(j 1ωω
ω--=
U ，故 )e 1(j 1
1j 1)(j 2ωω
ωω--⋅+=
U 反变换得
)1(]e 1[)()e 1()()1(2----=---t t t u t t εε
4-2 一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f ( t )信号时，求相应的输出y ( t )。

题4-2图
解 因为输入f ( t )为周期冲激信号，故
π2π2,111n ====T T F ω
所以f ( t )的频谱
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=-=-=n n n n F F )π2(π2)(π2)(1n ωδωωδω
当n = 0，±1，±2时，对应H ( j ω )才有输出，故
Y (ω ) = F (ω ) H ( j ω )
= 2π[2δ(ω) + δ(ω - 2π) + δ(ω + 2π)]
反变换得
y ( t ) = 2( 1 + cos2πt )
4-3 设系统的频率特性为
2
j 2
)j (+=
ωωH 试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。

解 冲激响应，故
)(e 2)]j ([)(21t H t h t εω⋅==--F
而阶跃响应频域函数应为
2
j 2]j 1)(π[)j ()]([)(+⋅+
=⋅=ωωωδωεωH t S F 2j 2j 1)(π+⋅+
=ωωωδ 2j 1
j 1)(π+-+=ωωωδ
所以阶跃响应
)()e 1()(2t t s t ε⋅-=-
4-4 如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H ( j ω )。

题4-4图
解 由图可知输出
⎰--=t
t t t f t f t y 00d )]()([)(
取上式的傅氏变换，得
)e 1(j )
()(0j t F Y ωω
ωω--=
故频率特性
)e 1(j 1
)()()j (0j t F Y H ωω
ωωω--==
4-5 设信号f ( t )为包含0 ~ ωm 分量的频带有限信号，试确定f ( 3t )的奈奎斯特采样频率。

解 由尺度特性，有
)3
(31)3(ωF t f ↔
即f ( 3t )的带宽比f ( t )增加了3倍，即∆ω = 3ωm 。

从而最低的抽样频率ωs = 6ωm 。

故采样周期和采样频率分别为
m
S 61f T =
m S 6f f =
4-6 若电视信号占有的频带为0 ~ 6MHz ，电视台每秒发送25幅图像，每幅图像又分为625条水平扫描线，问每条水平线至少要有多少个采样点？
解 设采样点数为x ，则最低采样频率应为
x f ⨯⨯=625252m
所以
768625
2510626252526
m =⨯⨯⨯=⨯=f x
4-7 设f ( t )为调制信号，其频谱F ( ω )如题图4-7所示，cos ω0t 为高频载波，则广播发射的调幅信号x ( t )可表示为
x ( t ) = A [ 1 + m f ( t )] cos ω0t
式中，m 为调制系数。

试求x ( t )的频谱，并大致画出其图形。

题4-7图
解 因为调幅信号
x ( t ) = A cos ω0t + mA f ( t )cos ω0t
故其变换
)]()([2
)]()([π)(0000ωωωωωωδωωδω++-+
++-=F F mA
A X 式中，F (ω )为f ( t )的频谱。

x ( t )的频谱图如图p4-7所示。

图p4-7
4-8 题4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。

已知输入f (t )的频谱和频率特性H 1( j ω )、H 2( j ω )如图所示，试画出x (t )和y (t )的频谱图。

X (ω)
F (ω)
F (ω)
题4-8图 题4-8图
解 由调制定理知
)]()([2
1
)(cos )()(C C 1C 1ωωωωωω-++=↔=F F F t t f t f
而x (t )的频谱
)()()(11ωωωj H F X ⋅=
又因为
)]()([2
1
)(cos )()(C C 2C 2ωωωωωω-++=↔=X X F t t x t f
所以
)()()(22ωωωj H F Y ⋅=
它们的频谱变化分别如图p4-8所示，设ωC > ω2。

图p4-8
F 1(ω)
F 2(ω)
X (ω)
Y (ω)
4-9 如题4-9图所示系统，设输入信号f (t )的频谱F (ω )和系统特性H 1( j ω )、H 2( j ω )均给定，试画出y (t )的频谱。

题4-9图
解 设t t f t f 50cos )()(1=，故由调制定理，得
)]50()50([21
)(1-++=ωωωF F F
从而
)()()()(1122ωωωF H F t f ⋅=↔
它仅在| ω | = ( 30 ~ 50 )内有值。

再设
t t f t f 30cos )()(23=
则有
)]30()30([2
1
)(223-++=ωωωF F F
即F 3(ω )是F 2(ω )的再频移。

进而得响应的频谱为
)()()(23ωωωj H F Y ⋅=
其结果仅截取 -20 < ω < 20的部分。

以上过程的频谱变化如图p4-9所示。

F (ω) H 1(j ω) H 2(j ω)
图p4-9
4-10 设信号f (t )的频谱F (ω )如题4-10图(a)所示，当该信号通过图(b)系统后，证明y (t )恢复为f (t )。

题4-10图
证明 因为
F 2(ω)
F 3(ω)
Y (ω)
F 1(ω)
F (ω)
j2ω1t
)2(e )(112j 1ωωω-↔F t f t
故通过高通滤波器后，频谱F 1(ω )为
)2()2()j ()(111ωωωωωω-=-=F F H F
所以输出
)()22()()(11ωωωωωF F Y t y =+-=↔
即y (t )包含了f (t )的全部信息F (ω )，故恢复了f (t )。

第5章习题解析
5-1 求下列函数的单边拉氏变换。

(1) t --e 2 (2) t t 3e )(-+δ (3) t t cos e 2-
解 (1) )1(2112d e )e 2()(0++=+-=
-=⎰∞
--s s s s s t s F st t
(2) 3
1
1d e ]e )([)(03++=+=⎰∞---
s t t s F st t δ
(3) ⎰⎰∞---∞--⋅+==02j j 02d e e )e (e 21
d e )cos (e )(t t t s F st t t t st t
1
)2(2
j 21j 21212+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+=s s s s
5-2 求下列题5-2图示各信号的拉氏变换。

题5-2图
解 (a) 因为)()()(01t t t t f --=εε
而0e 1
)(1)(0st s t t s t -→-→εε，
故
)e 1(1
)(01st s
t f --→
(b) 因为)()()]()([)(00
000t t t t
t t t t t t t t t f --=--=εεεε
1
f 2( t )
f 1( t )
t 0 t
1
(b)
又因为
201)(t s t t t →ε 0s 0
200)1
1()(t e t s s t t t t -+→-ε 故有
0s 02
22e )1
1(1)(t t s s t s t f -+-→
00s s 0
2e 1
)e 1(1t t s t s ----=
5-3 利用微积分性质，求题5-3所示信号的拉氏变换。

题5-3图
解 先对f ( t )求导，则
)4()3(2)1(2)()(---+--='t t t t t f εεεε
故对应的变换
)e e 2e 21(1
)(431s s s s
s F ----+-=
所以
2
431e e 2e 21)()(s
s s F s F s
s s ----+-==
5-4 用部分分式法求下列象函数的拉氏反变换。

(1) 6
51
)(2+++=s s s s F
(2) )
1(2
2)(22+++=s s s s s F
(3) 2
31
)(2
++=
s s s F
(4) 2
)2(4
)(+=s s s F
解 (1) 3
2)3)(2(1
651)(212
+++=+++=+++=
s k s k s s s s s s s F 1)()2(21-=+=-=s s F s k
2)()3(32=+=-=s s F s k
故有
3
2
21)(++
+-=
s s s F 所以
)()e 2e ()(32t t f t t ε--+-=
(2) 1
)1(22)(222+++=+++=s C
Bs s A s s s s s F 可得
2)(0===s s F s A
又 Cs Bs A As s s +++=++22222 可得
B = 0，
C = 1
1
1
2)(2
++=
s s s F 所以
)()sin 2()(t t t f ε+=
(3) 2
1)2)(1(1
231)(212+++=++=++=
s k s k s s s s s F
1)()1(11=+=-=s s F s k
1)()2(22-=+=-=s s F s k
故有
2
111)(+-++=
s s s F 故
)()e e ()(2t t f t t ε---=
(4) 2
)2()2(4
)(1221112++++=+=s k s k s k s s s F
故
1)(01===s s F s k
24
)()2(2
2211-==
+=-=-=s s s s F s k 1)4(d d )]()2[(d d 2
2212-==+=-=-=s s s s s F s s k
故有
2
)
2(2
211)(+-+-+=s s s s F 所以
)()e 2e 1()(22t t t f t t ε----=
5-5 求下列象函数的拉氏反变换。

(1) s s F --=e 1)(
(2) 2e 1)(+-=-s s F s
(3) )
e 1(e 1)(2s s
s s F ----=
解 (1) )1()()(--=t t t f δδ (2) )1(e )(e )()1(22--=---t t t f t t εε
(3) +---+---+--=)5()2()3()1()2()()(t t t t t t t f εεεεεε
5-6 设系统微分方程为
)()(2)(3)(4)(t f t f t y t y t y +'=+'+''
已知)(e )(,1)0(,1)0(2t t f y y t ε⋅=='=---。

试用s 域方法求零输入响应和零状态响应。

解 对系统方程取拉氏变换，得
)()(2)(3)0(4)(4)0()0()(2s F s sF s Y y s sY y sy s Y s +=+-+'-----
从而
)(3
41
234)0(4)0()0()(22s F s s s s s y y sy s Y ⋅+++++++'+=
---
由于
2
1)(+=
s s F 故
)
()34)(2(1
2)(345)(zs 2
zi 2s Y s s s s s Y s s s s Y ++++++++=
求反变换得
t t t y 3zi e 25
e 27)(---=
t t t t y 32zs e 2
5
3e e 21)(----+-=
全响应为
0,
e 5e 3e 3)(32≥-+=---t t y t t t
5-7 设某LTI 系统的微分方程为
)(3)(6)(5)(t f t y t y t y =+'+''
试求其冲激响应和阶跃响应。

解 对方程取拉氏变换，得系统函数 )3)(2(3
653)(2++=++=s s s s s H
当f ( t ) = δ( t )时，F ( s ) =1，得
)
3)(2(3
)()(++=
=s s s H s Y
从而
0,
e 3e 3)(32≥-=--t t h t t
当f ( t ) = ε( t )时，s
s F 1
)(=，得
)3)(2(3)(1)(++==s s s s H s s Y
3
125.15.0+++-+=s s s 故得
0,
e e 5.15.0)()(32≥+-==--t t s t y t t
5-8 试求题5-8图示电路中的电压u ( t )。

题5-8图
解 对应的s 域模型如图p5-8所示，则
422)22(221)
22(22)()()(2++=+⋅++⋅==s s s s
s s
s s s s s s F s U s H
而s
s F 1
)(=，故有
2
22)3()1(2
422)()()(++=++==s s s s H s F s U 所以
0,V )(3sin e 3
2)(≥⋅⋅=
-t t t t u t
ε
图p5-8
5-9 如题5-9图所示电路，试求冲激响应u C ( t )。

题5-9图
解 以U C ( s )为变量列节点方程
)(21)()105.2121(S C s U s U s s =++ 因U C ( s ) =1，则
)
4)(1(5)(C ++=
s s s
s U
4320135+++-
=s s 故
)()e 3
20e 35()()(4C t t u t h t
t ε⋅+-==--
5-10 如题5-10图所示电路，已知U S = 28V ，L = 4H ，C =
4
1
F ，R 1 = 12Ω，R 2 = R 3 =2Ω。

当t = 0时S 断开，设开关断开前电路已稳定，求t ≥ 0后响应u C ( t )。

题5-10图
解 初始状态在t = 0-时求得
A 2)0(2
1S
L =+=
-R R U i
V 4)0(22
1S
C =⋅+=-R R R U u
对于图(b)S 域模型，列出关于U C ( s )的节点方程，即
14128
28)()4144121(C +++=+++s
s s U s s 解得
2
22C )
2(837)44()75(4)(++-=++++=s s s s s s s s s U 可得
)0(e )5.1(27)(2C ≥+-=-t t t u t
5-11 设有
)()(e )(3t t t y t δε'*=-
试用卷积定理求y ( t )。

解 3
1e 3+↔
-s t s t ↔')(δ
所以
3
3
1331)(+-
=+=⋅+=
s s s s s s Y 故
)(e 3)()(3t t t y t εδ⋅-=-
5-12 如题5-12图所示RLC 电路，已知u s ( t ) = 5ε( t )，i ( 0- ) = 2A ，u ( 0- ) = 2V 。

试用S 域方法求全响应u ( t )。

题5-12图
解 由该电路对应的S 域模型（此处略），可得
233223)0()0(5
)(2
C +++=+
+-+=-
-s s s s
s s u Li s s I )23()
32(221)()0()(2++++=⋅+=-s s s s s sC s I s u s U
2
1
125+-
+-=s s s 得
)0(e e 25)(2≥--=--t t u t
t
5-13 若有系统方程
)()(6)(5)(t t y t y t y δ=+'+''
且0)0()0(='=--y y ，试求y ( 0+ )和y ' ( 0+ )。

解 取拉氏变换，得系统函数
)
3)(2(1
251)(2
++=++=
s s s s s H 3
1
21+-
+=s s 所以
0,
e e )(32≥-=--t t h t t
故
h ( 0+ ) = y ( 0+ ) = 0， h ' ( 0+ ) = y ' ( 0+ ) =1
5-14 设有系统函数
2
3
)(++=
s s s H 试求系统的冲激响应和阶跃响应。

解 因为
2
1
1212223)(++=++++=++=
s s s s s s s H 故
)(e )()(2t t t h t εδ-+=
ττd h t s t
⎰-
=0)()(
)()e 2
1
23(2t t ε--=
5-15 如题5-15图所示二阶系统，已知L = 1H ，C = 1F ，R = 1Ω，u S ( t ) = δ( t )。

试求以u C ( t )为响应时的冲激响应h ( t )。

题5-15图
解 列S 域节点方程
sL
s U s U sC R sL )()()1
1(
S C =++ 可得
)()(S 2
C s U R Ls LCRs R
s U ++=
因U S ( s ) = 1，故有
2
22C )2
3()21(1
1
1
)(++=
++=
s s s s U
故
)()23
sin(e 3
2)()(2C t t t h t u t
ε⋅==-
第6章习题解析
6-1 在题6-1图示系统中，已知)2()()(),1()(b a --=-=t t t h t t h εεδ，试求系统函数H ( s )和冲激响应h ( t )，并画出其波形。

题6-1图
解 因为
)()()()(a 1t f t h t f t y +*=
故
)()](1[)()()()(a a 1s F s H s F s H s F s Y +=+=
而
)()()()(b a 1s H s H s Y s Y ⋅=
其中
)e 1(1
)(,e )(2b a s s s
s H s H ---==
所以
)()e 1(1
e )e 1()(2s F s
s Y s s s ⋅-⋅+=---
故
s s F s Y s H s
s s ---⋅-+==e )e 1)(e 1()()()(2
)e e e e (1
432s s s s s
------+=
所以冲激响应
)4()3()2()1()(-----+-=t t t t t h εεεε
h ( t )的波形如图p6-1所示。

图p6-1
6-2 试画出题6-2图所示网络的系统函数)
()
()(12s U s U s H =的波特图。

(a) (b)
题6-2图
解 (a) 由图可得系统函数
1
1
5.01)(1)(212++=+++=
s s C R R s C sR s H
可见其超前环节s /rad 25
.01
1==ω，滞后环节s /rad 12=ω，故得波特图如图p6-2(a)所示。

图p6-2(a)
(b) 由图可得系统函数
1
1
1
)(2121211
22++⋅+=
++
=
ττs s R R R C sR R R R s H
其中
C R R C R )//(,21211==ττ
故
1
5.0)
1(5.0)(++=
s s s H
从而得波特图如图p6-2(b)所示。

图p6-2(a)
6-3 已知某系统函数H ( s )的零、极点分布如题6-3图所示，若冲激响应的初值h (0+) = 2，求系统函数H ( s )，并求出h ( t )。

题6-3图
解 由图示零、极点分布，应有
2
2
023)1()(⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=
s s H s H
又因为
2)0()(lim )0(===∞
→+H s sH h s
故有
2
223)1(2)(⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=
s s s H
进一步可表示为
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=2222
23)1(1
23)1(12)(s s s s H 223)1(233223)1()1(22
2
22⨯⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=s s s 所以
0),23sin 3
223(cos
e 2)(≥-=-t t t t h t
6-4 某系统函数H ( s )的零、极点分布如题6-4图所示，且H 0 = 5，试写出H ( s )的表达式。

题6-4图
解 从图可知系统的零点为
z 1 = 0，z 2 = -2，z 3 = -3
极点为
S 1 = -1， S 2，3 = -2 ± j2
故系统函数
)
2j 2)(2j 2)(1()
3)(2(5)()()(0-++++++⋅=⋅
=s s s s s s s D s N H s H )
84)(1()
65(52
2+++++=s s s s s s
6-5 设系统函数
)
5)(2()
1(5)(+++=
s s s s s H
试画出其S 域模拟框图。

解 H ( s )可改写为
s
s s s s s s s s H 1075
5)5)(2()1(5)(23+++=+++=
2132107155----+++=s
s s s 从而得模拟图如图p6-5所示。

图p6-5
6-6 如题6-6图所示为二阶有源带通系统的模型，设R = 1Ω，C = 1F ， K = 3，试求
系统函数)()
()(12s U s U s H =。

题6-6图
解 对于电路的S 域模型，可列节点方程
R s U sC
s U R s U s U R s U s U )
(1)()()()()(b a a 2a 1+
=-+- R
s U U U sC )
()(b b a =- )()(b 2s KU s U =
代入数据后，可得
2
3)()()(212++==
s s s
s U s U s H
6-7 试判定下列系统的稳定性。

(1) 6
81
)(2+++=
s s s s H
(2) 2
341
3)(2
3+-++=s s s s s H (3) )
34)(1(4
2)(2
++++=s s s s s H
解 (1) 因H ( s )分母多项式各项系数均为正，故稳定。

(2) 因H ( s )分母多项式有负系数，故不稳定。

(3) 因
)
3)(1)(1(4
2)34)(1(42)(2++++=++++=
s s s s s s s s s H
其极点均在左半平面，故系统稳定。

6-8 已知系统的微分方程为
)()(6)()(t f t y t y t y '=+'+'''
试求系统函数H ( s )，系统是否稳定？
解 因系统函数为
6
)(2++=
s s s
s H
则二阶系统之D ( s )的各项系数均为正，故系统稳定。

6-9 如题6-9图所示系统，试判定其稳定性。

题6-9图
解 由图可得系统函数
104542)
4)(1(1101)
4)(1(110)(2
3++++=++⋅
+++⋅
=s s s s s s s s s s s H 因为a 1a 2 = 20，a 0a 3 = 10，故满足
a 1a 2 > a 0a 3
故系统稳定。

6-10 如题6-10图示反馈系统，为使其稳定，试确定K 值。

题6-10图
解 该系统的H ( s )为
K s s s K s s s s K s s s s K s s H ++++=+⋅
++++⋅
++=332
1)1(12
1
)1()(2
3 从必要条件考虑，应当K > 0，再由
a 1a 2 > a 0a 3
考虑，应满足K < 9，故当
0 < K < 9
时系统稳定。

也可以从劳斯阵列判定。

因为阵列：
039331K
K K -
为使第一列元素不变号，即应
0,03
9>>-K K
即
0 < K < 9
时系统稳定。

第7章习题解析
7-1 试画出下列离散信号的图形。

(a) )()2
1
()(1n n f n ε=
(b) )2()(2n n f -=ε (c) )2()(3n n f --=ε (d) )()5.01(2)(4n n f n ε-=
解 各信号的图形分别如图p7-1所示。

图p7-1
7-2 试画出下列序列的图形。

(a) )6()2()(1---=n n n f εε
(b) )()2()(2n n n f -++=εε (c) )]5()([)()(3--⋅=n n n n n f εεε
(d) )4()3(2)2(2)1()()(4-+-+-+-+=n n n n n n f δδδδδ
解 各序列的图形分别如图p7-2所示。