高中数学第二章统计2.3变量的相关性2.3.1-2.3.2变量间的相关关系两个变量的线性相关教学案新人教B版必修3

2．3.1 & 2.3.2 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
习课本P73～78，思考并完成以下问题预
(1)相关关系是函数关系吗？
(2)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？
(3)回归直线方程是什么？如何求回归系数？
(4)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？
[新知初探]
1．两个变量的关系
分类
函数关系
相关关系 特征
两变量关系确定
两变量关系带有随机性
2．散点图
将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关
(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．
(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
4．最小二乘法
设x ，Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^
＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^
i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值
y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝
i ＝1
n
(y i －a
－bx i)2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一
条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．5．回归直线方程的系数计算公式
回归直线方程回归系数
系数a
^
的
计算公式
方程或
公式
y
^
＝a
^
＋b
^
x b
^
＝
∑
i＝1
n
xiyi－n x
－
y
－
∑
i＝1
n
x2i－n x2
a
^
＝y－b
^
x
－
上方加
记号“^ ”
的意义
区分y的估计值y
^
与
实际值y
a，b上方加“^ ”表示由观察值按最小二乘
法求得的估计值
[小试身手]
1．下列命题正确的是( )
①任何两个变量都具有相关关系；
②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；
③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；
④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；
⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行
研究．
A．①③④
B．②③④
C．③④⑤
D．②④⑤
解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．
v
，
u
；对变量
1
，得散点图图
10)
，
…
，
1,2
＝
i
)(
i
y
，
i
x(
有观测数据
y
，
x
．对变量
2
)
(
由这两个散点图可以判断
2.
，得散点图图
10)
，
…
，
1,2
＝
i
)(
i
v
，
i
u(
有观测数据
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．
80
，当施肥量为250＋x 5＝y ^
归方程为的线性回(kg)y 与水稻产量(kg)x ．若施肥量3kg 时，预计水稻产量约为________kg.
．
650(kg)＝250＋5×80＝y ^
代入回归方程可得其预测值80＝x 解析：把 答案：650
4．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示.
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
若已求得它们的回直线的方程为
______________________．
，
5＝2＋4＋5＋6＋8
5
＝
x 解析：由题意可知 y
50.＝30＋40＋60＋50＋70
5
＝
即样本中心为(5,50)．
，a ^
＋x 6.5＝y ^设回归直线方程为 ，
)y ，x (回归直线过样本中心∵ ，7.51＝a ^
，即a ^＋6.5×5＝50∴ 17.5
＋x 6.5＝y ^
回归直线方程为∴ 17.5
＋x 6.5＝y ^
答案：
相关关系的判断
[典例] (1) ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． (2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.
年龄x (岁)
1
2
3
4
5
6
身高y (cm)
78 87 98 108 115 120
①画出散点图；
②判断y 与x 是否具有线性相关关系．
[解析] (1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
答案：②④
(2)解：①散点图如图所示．
②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y 与x 具有线性相关关系．
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判
断．
[活学活用]
如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号)．
解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布
在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系．
答案：①④
求回归方程
[典例] (1)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y ^
＝0.4x ＋2.3
B.y ^
＝2x －2.4
C.y ^
＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x (转/秒)
16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y (件)
11
9
8
5
①画出散点图；
②如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； ③在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝
5170x －6
7
，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析] (1)依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A 、B 得A 正确．
答案：A
(2)解：①散点图如图所示：
②近似直线如图所示：
秒/转14，所以机器的运转速度应控制在≤14.9x ，解得≤106
7
－x 5170得
≤10y 由③内．
求回归直线方程的步骤
．
)数据一般由题目给出)(n ，…，1,2＝i )(i y ，i x (收集样本数据，设为(1) (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系．
.
i y i x ，2i x ，i y ，i x 把数据制成表格(3)
.
i
y i ∑i ＝1
n
x ，2i ∑i ＝1n x ，y ，x 计算(4) ⎩⎪⎨⎪⎧
b ^＝∑i ＝1n
xiyi －n x y ∑i ＝1n x2
i －n x 2，
a ^＝y －
b ^ x .
，公式为a ^
，b ^代入公式计算(5)
.a ^
＋x b ^＝y ^写出回归直线方程(6) [活学活用]
已知变量x ，y 有如下对应数据：
x 1 2 3 4 y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示．
，5
2
＝1＋2＋3＋44＝x (2) y ，134
＝1＋3＋4＋54＝
∑
i
＝14
x 39.＝20＋12＋6＋1＝i y i ∑
i ＝14
x 2i ，30＝16＋9＋4＋1＝ b
^
，1310＝39－4×52×
13
430－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫522＝
a
^，0＝52
×13
10－134＝ .
为所求的回归直线方程x 13
10
＝y ^所以 利用线性回归方程对总体进行估计
[典例x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：
x 3 4 5 6 y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^
；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？
[解] (1)散点图如图：
，3.5＝2.5＋3＋4＋4.5
4
＝y ，4.5＝3＋4＋5＋64＝
x (2) ∑
i
＝14
x ，66.5＝6×4.5＋5×4＋4×3＋3×2.5＝i y i ∑
i
＝14
x 2i ，86＝2
6＋2
5＋2
4＋2
3＝ ∑i ＝14
xiyi －4x
y
∑i ＝1
4
x2i －4x 2
＝
b ^所以 ，
0.7＝66.5－4×4.5×3.5
86－4×4.52
＝
a ^
0.35.＝0.7×4.5－3.5＝
x b ^－y ＝ 0.35.
＋x 0.7＝y ^
所以所求的线性回归方程为 ，
)吨标准煤70.35(＝0.35＋0.7×100＝y ^
时，100＝x 当(3) 90－70.35＝19.65(吨标准煤)．即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了
19.65吨标准煤．
只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．
[活学活用]
(重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)
5
6
7
8
10
(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^
；
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 解：(1)列表计算如下：
i
t i
y i
t 2i
t i y i
1 1 5 1 5
2 2 6 4 12
3 3 7 9 21
4 4 8 16 32
5 5 10 25 50 ∑
15
36
55
120
这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1
n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.
又∑i ＝1
n
t2i －n t －2＝55－5×32
＝10，
i ＝1
n t i y i －n t
－y －
＝120－5×3×7.2＝12，
从而b ^
＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －
＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y ^
＝1.2t ＋3.6.
(2)将t ＝
6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^
＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
[层级一 学业水平达标]
1．下列变量具有相关关系的是( )
A ．人的体重与视力
B ．圆心角的大小与所对的圆弧长
C ．收入水平与购买能力
D ．人的年龄与体重
解析：选C B 为确定性关系；A ，D 不具有相关关系，故选C.
2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为
2＋x 1.5＝y ^
A. 2＋x 1.5＝－y ^
B. 2－x 1.5＝y ^
C. 2
－x 1.5＝－y ^
D. 之间负相关，回归直线
y ，x ，由散点图可知变量a ^
＋x b ^＝y ^设回归方程为 B 解析：选 2.
＋x 1.5＝－y ^
，因此方程可能为>0a ^，<0b ^轴上的截距为正数，所以y 在 个样本点，n 的y 和x 是变量)n y ，n x (，…，)2y ，2x (，)1y ，1x (设3.直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，
则以下结论正确的是( )
)
y ，x (过点l ．直线A B ．回归直线必通过散点图中的多个点
C ．直线l 的斜率必在(0,1)
D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同
解析：选A A 是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B 错误；回归直
线的斜率不确定，故C 错误；分布在l 两侧的样本点的个数不一定相同，故D 错误． 4．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的
，
x 0.006 2＋9.5＝y ^
的回归方程为x 关于吨位y 人，船员人数32～5人数 (1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；
(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．
，则2x ，1x 设两艘船的吨位分别为(1)解： y
^)2x 6 20.00＋(9.5－1x 0.006 2＋9.5＝2y ^－1 ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．
，0.006 2×192≈11＋9.5＝y ^
时，192＝x 当(2) 0.006 2×3 246≈30.
＋9.5＝y ^
时，3 246＝x 当 即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．
[层级二 应试能力达标]
1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5
次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( ) A ．确定性关系 B ．相关关系 C ．函数关系
D ．无任何关系 解析：选 B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与
球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．
，下
x 80＋50＝y ^
变化的回归直线方程为)千元(x 依劳动生产率)元(y ．农民工月工资2列判断正确的是( )
A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元
C ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元
D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
的单
x ，但要注意80增加y ，1每增加x 知，x 80＋50＝y ^
由回归直线方程 B 解析：选位是千元，y 的单位是元．
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
则y 对x 的线性回归方程为( )
A ．y ＝x －1
B ．y ＝x ＋1
x 1
2
＋88＝y ．C
176＝y ．D ＝
y ，176＝174＋176＋176＋176＋178
5
＝x 计算得， C 解析：选符合．
C 检验知，)y ，x (，根据回归直线经过样本中心176＝175＋175＋176＋177＋177
5
4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
，若某同学根据上表中的前两组
a ^
＋x b ^＝y ^假设根据上表数据所得线性回归直线方程为数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
′a <a ^，′b >y ^′ B.a >a ^，′b >b ^A. ′
a <a ^，′
b <y ^′ D.a >a ^，′b <b ^C. 解析：选C 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′.
2.
＝－2×1－0＝′a ，2＝2－0
2－1
＝′b ，
58＝24＋15＋12＋3＋4＋0＝i y i ∑i ＝1
6
x 时，a ^
，b ^求 x ，136
＝
y ，3.5＝ ∑
i
＝16
x 2i ，91＝36＋25＋16＋9＋4＋1＝ ，
57＝58－6×3.5×
13
691－6×3.52＝b ^
∴ a
^
，13
＝－52－136＝×3.557－136＝ ′.
a >a ^
，′b <b ^∴ ＝
y ^
的回归方程为(cm)x 对身高(kg)y 岁的人，体重38岁到18．正常情况下，年龄在5
0.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg 左右． ＝
y ^
时，178＝x 的人的体重进行预测，当178 cm 解析：用回归方程对身高为0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
答案：69.96
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试
销，得到如下数据：
________.
＝a ，则a ＋x 4＝－y 由表中数据，求得线性回归方程为 ，
13
2＝4＋5＋6＋7＋8＋96＝x 解析： y
，80＝92＋82＋80＋80＋78＋68
6
＝
)
y ，x (由回归方程过样本中心点 .
a ^
＋1324×＝－80得 106.
＝132
4×＋80＝a ^
即 答案：106
7．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知x ，y ，估计该台机器最为划算的使用年限为
x 1.3－10.47＝y ^
具备线性相关关系，回归方程为________年．
解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，
解得x ≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．
答案：8
8．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y (元)与该周每天销售这种服装的件
数x (件)之间有一组数据如下表：
；
y ，x 求(1) (2)若纯利y 与每天销售这种服装的件数x 之间是线性相关的，求回归直线方程； (3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？
3 487)
＝i y i ∑i ＝1
7
x ，45 309＝2i ∑i ＝17y ，280＝2i ∑i ＝17x 提示：( ，
6＝3＋4＋
5＋6＋7＋8＋9
7
＝
x (1)解： y
≈79.86.66＋69＋73＋81＋89＋90＋917
＝ ，
≈4.753 487－7×6×79.86
280－7×62
＝b ^∵(2) a
^
，51.36＝4.75×6－79.86＝ .
x 4.75＋51.36＝y ^
之间的回归直线方程为x 纯利与每天销售件数∴ ≈31.29.
x ，所以651.3＋x 4.75＝200时，200＝y ^
当(3) 因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．
9．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支
出的统计资料如下表：
年收入
x (万元)
2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食 支出y
(万元)
0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．
406)
＝2i ∑i ＝1
10
x ，117.7＝i y i ∑i ＝110x 参考数据：( 解：依题意可计算得：
x
，10.98＝y x ，36＝2
x ，1.83＝y ，6＝ ，
406＝2i ∑i ＝1
10
x ，117.7＝i y i ∑i ＝110x ∵又
，
≈0.17∑i
＝110
xiyi －10x y ∑i ＝1
10
x2i －10x 2＝b ^∴ a
^
0.81.＋x 0.17＝y ^∴，0.81＝x b ^－y ＝ 1.
0.8＋x 0.17＝y ^
所求的回归方程为∴ ．
)万元2.34(＝0.81＋0.17×9＝y ^
时，9＝x 当(2) 可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．下列三个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②在某公司的50名工人中，依次抽取工号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的10名工人进行健康检查；③某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查．则应采用的抽样方法依
次为( )
A ．简单随机抽样；分层抽样；系统抽样
B ．分层抽样；简单随机抽样；系统抽样
C ．分层抽样；系统抽样；简单随机抽样
D ．系统抽样；分层抽样；简单随机抽样
解析：选 C ①中商店的规模不同，所以应利用分层抽样；②中抽取的学号具有等距性，所以应是系统抽样；③中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用
简单随机抽样．故选C.
2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5
的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )
A ．09,14,19,24
B ．16,28,40,52
C ．10,16,22,28
D ．08,12,16,20 解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．
3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )
A ．193
B ．192
C ．191
D ．190 192.
＝n ，求得80＝n
200＋1 200＋1 000
1 000× B 解析：选 4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
200＋x 10＝y ^
200 B.＋x 10＝－y ^A. 200
－x 10＝y ^
200 D.－x 10＝－y ^C. 解析：选A 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B ，D.又因为销售价格x ＞
0，则C 中销售量全小于0，不符合题意，故选A.
，则
y 和x ，它们的平均数分别是n y ，…，2y ，1y 与n x ，…，2x ，1x ．设有两组数据5)
(的平均数是1＋n y 3－n x 2，…，1＋2y 3－2x 1,2＋1y 3－1x 2新的一组数据 y 3－x 2．A 1＋y 3－x 2．B
y 9－x 4．C
1＋y 9－x 4．D ，
)n ，…，1,2＝i 1(＋i y 3－i x 2＝i z 设 B 解析：选 ＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1＋…＋1n ＋)n y ＋…＋2y ＋1y (3n －)n x ＋…＋2x ＋1x (2n ＝)n z ＋…＋2z ＋1z (1n ＝z 则 1.
＋y 3－x 2 6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12
[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
则总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为( )
211
A.
1
3B. 12
C.
23
D. 解析：选B 由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本个数为12＋7
.
1
3
＝2266的数据约占31.5，故总体中大于或等于22＝3＋ 7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众
数、中位数分别是( )
A ．85,85,85
B ．87,85,86
C ．87,85,85
D ．87,85,90 解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，
∴众数为85，中位数为85，
87.
＝75)＋80＋85×4＋90×2＋95＋(1001
10
平均数为 8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这
50名出租车司机该月平均违章的次数为( )
A ．1
B ．1.8
C ．2.4
D ．3 1.8.
＝5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×4
50
B 解析：选 9．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据
月份x 1 2 3 4
用水量y 4.5 4 3 2.5
的
a ，则a ＋x 0.7＝－y 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为x 与月份y 用水量值为( )
A ．5.25
B ．5
C ．2.5
D ．3.5 解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为
(2.5,3.5)，所以a ＝5.25.
10.如图是在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平
均数和方差分别为( )
A ．84,4.84
B ．84,1.6
C ．85,1.2
D ．85,4 ＋
5＋6＋3＋(51
5
＋80，平均数为77，去掉一个最低分95去掉一个最高分 C 解析：选
，因此
1.2＝]2
86)－(85＋285)－(85＋286)－(85＋283)－(85＋285)－[(8515
，方差为85＝6)选C.
，
…，2＋2x 2,3＋1x 3，则2
s ，方差是x 的平均数是n x ，…，3x ，2x ，1x ．如果数据11)
(的平均数和方差分别是2＋n x 3
2
s 和x A.
2
s 9和x 3．B
2
s 9和2＋x 3．C
4＋2
s 12和2＋x 3．D n
x …，2x ，1x ，由于数据2＋x 3的平均数是2＋n x 3，…，2＋2x 2,3＋1x 3 C 解析：选.
2
s 9的方差为2＋n x 3，…，2＋2x 2,3＋1x 3，所以2
s 的方差为 12.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误
的是( ) A ．x ＝9 B ．y ＝8
C ．乙的成绩的中位数为26
D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差
解析：选B 因为甲的成绩的极差为31，所以其最高成绩为39，所以x ＝9；因为乙的成绩的平均值为24，所以y ＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙的成绩的
中位数为26；对比甲、乙的成绩分布发现，乙的成绩比较集中，故其方差较小． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据
的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．
∴
，2；又方差为20＝y ＋x ，则10＝1
59)×＋11＋10＋y ＋x (，得10解析：由平均数为＝
xy 208,2＝2
y ＋2x ，得2＝15
]×210)－(9＋210)－(11＋210)－(10＋210)－y (＋210)－x [( 4.
＝x2＋y2－2xy ＝x －y 2＝
|y －x |∴，192 答案：4
14．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全
体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．
12.
＝×4821
48＋36
解析：抽取的男运动员的人数为 答案：12
15．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，
________，________，________.
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
59408 66368 36016 26247 25965 49487 26968 86021 77681 83458 21540 62651 69424 78197 20643 67297 76413 66306 51671 54964 87683 30372 39469 97434
解析：以3开始向右读，每次读取三位，重复和不在范围内的不读，依次为
368,360,162,494,021.
答案：368,360,162,494,021
16．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在
[140,150]的学生中选取的人数应为________．
解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，
∴a ＝0.030.
设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，
10.＝z ，20＝y 同理，30.＝x ，解得0.030×10＝x
100
则
3.
＝×1810
30＋20＋10的学生中选取的人数为
[140,150]故从 答案：0.030 3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ，应如何
1
10
名学生中抽取50为调查某班学生的平均身高，从)分10本小题满分(．17抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？ 抽签法或随机数(人，采用简单随机抽样法5，即抽取1
10
名学生中抽取
50解：从法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为
30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．
18.(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某
日加工零件个数的茎叶图如图所示． (1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工
人中有几名优秀工人？
22.
＝132
6
＝17＋19＋20＋21＋25＋306样本均值为1)(解： 4
＝1
3
12×名工人中有12，故推断该车间13＝26知样本中优秀工人所占比例为(1)由(2)名优秀工人．
19．(本小题满分12分)2016年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外出务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让返乡过年的摩托车驾乘人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍
询问，询问结果如图所示：
(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？
(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四
川籍的应抽取几人？
解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样法．
(2)从题图可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝
100(人)；
四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)．
2
，即四川籍的应抽取2＝x ，解得x
40
＝5100人，依题意得x 设四川籍的驾驶人员应抽取人．
20．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每
隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：
甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110.
(1)这种抽样方法是哪一种方法？
(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？
解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样．
，
100＝99)＋98＋103＋98＋99＋101＋(1021
7＝甲x (2) x
，100＝110)＋115＋75＋85＋90＋115＋(1101
7
＝乙 ，
1)≈3.43＋4＋9＋4＋1＋1＋(41
7
＝2甲s ，
228.57＝100)＋225＋625＋225＋100＋225＋(1001
7
＝2乙s ，故甲车间产品比较稳定．
2乙s ＜2甲s ∴ 21．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的
统计表和频率分布直方图如下：
分组
频数 频率
[10,15) 10 0.25
[15,20) 25
n [20,25) m
p
[25,30] 2
0.05 合计
M
1
(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；
(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间
[10,15)的人数．
解：(1)由分组[10,15)的频数是10， 40.
＝M ，所以0.25＝10
M
知，0.25频率是 因为频数之和为40，
所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.
0.075.＝340
＝p 故 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，
125.0.＝2540×5
＝a 所以 (2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生
参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.
22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入
i
y i ∑i ＝1
10
x ，20＝i ∑i ＝110y ，80＝i ∑i ＝110x 的数据资料，算得)单位：千元(i y 与月储蓄)单位：千元(i x 720.
＝2i ∑i ＝1
10
x ，184＝ ；
a ^＋x
b ^＝y ^的线性回归方程x 对月收入y 求家庭的月储蓄(1) (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
，8＝8010＝i ∑i ＝1
n x 1n ＝x ，10＝n 由题意知(1)解： y ，2＝2010＝i ∑i ＝1
n y 1n ＝ ，
80＝210×8－720＝2x 10－2i ∑i ＝1
10
x 又 ∑
i
＝110
x ，24＝10×8×2－184＝y x 10－i y i ，0.3＝2480＝∑i ＝110
xiyi －10x y
∑i ＝1
10
x2
i －10x 2＝b ^由此得 a
^，0.4＝－0.3×8－2＝x b ^－y ＝ 0.4.
－x 0.3＝y ^故所求回归方程为 (2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．
(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7千元.。