华东师大版八年级数学下册 17.5 实践与探索(共3课时) 导学案

17．5 实践与探索（1）

知识与技能

1. 通过图形获取函数相关信息，提出更高要求．

2. 在实践中体会方程和函数的联系．

3. 灵活应用函数的基本性质． 过程与方法

通过实例说明函数的图象与性质、表示方法的应用． 情感、态度与价值观

感受函数与方程、函数与不等式在生活中的广泛应用，体验数学的实际价值．

要点1 一次函数与一元一次方程的关系

在一次函数y ＝kx ＋b 中，给定了一个变量的值，求另一个变量的值，就是解关于另一个变量的一元一次方程．体现在函数图象上，就是知道了一次函数图象上一个点的横坐标或纵坐标，求另一个坐标．

特别地，当y ＝0时，一元一次方程kx ＋b ＝0中x 的解，就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标；当x ＝0时，y ＝b 就是一次函数图象与y 轴交点的纵坐标．

例1 先作出一次函数y ＝－2x ＋3的图象，然后利用图象求：

(1)方程－2x ＋3＝0的解；(2)方程－2x ＋3＝2的解．

精析：先作出函数y ＝－2x ＋3的图象，然后利用一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系求解．

解答：一次函数y ＝－2x ＋3的图象如图所示．

(1)方程－2x ＋3＝0的解，对应着函数y ＝－2x ＋3的图象与x 轴交点的横坐标．由图象知，方程－2x

＋3＝0的解是x ＝3

2

.

(2)过y 轴上的点(0,2)作x 轴的平行线，这条平行线表示为y ＝2，设y ＝2与直线y ＝－2x ＋3交于点B ，

则方程－2x ＋3＝2的解为点B 的横坐标，由图象知－2x ＋3＝2的解为x ＝1

2

.

探索与发现：理解一次函数与一元一次方程的关系，善于借助图象来分析方程的解． 要点2 一次函数与二元一次方程(组)的关系

一次函数y ＝kx ＋b ，如果从方程的角度看，就是一个以变量x ，y 为未知数的二元一次方程，一次函数y ＝kx ＋b 的图象上任意一个点的坐标就对应着这个方程的一个解．因此，一次函数图象上的无穷多个点，就对应着相应的二元一次方程的无穷多个解．

根据一次函数与二元一次方程的关系，两个含有相同未知数x ，y 的二元一次方程组成的方程组

⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝k 1x ＋b 1，

y ＝k 2x ＋b 2(可以化成⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1x ＋

b 1y ＝

c 1，a 2x ＋b 2y ＝c 2

的形式)的解，就对应着两个一次函数y ＝k 1x ＋b 1，y ＝k 2x ＋b 2

图象的交点坐标．所以求两条直线交点的坐标，就转化为解二元一次方程组的解．

例2 小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1，l 2，如图所示，他解的这个方程组是( )．

A. ⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2x ＋2，y ＝12x －1

B. ⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2x ＋2，y ＝－x

C. ⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝3x －8，y ＝12x －3 D. ⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝－2x ＋2，

y ＝－12x －1

精析：由图象知，l 1，l 2的交点坐标是(2，－2)，根据一次函数与二元一次方程组的关系知，⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2，

y ＝－2应该是这个方程组的解．把⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝2，

y ＝－2代入各选项中的方程组检验，其中B 、C 、D 方程组都适合，但是B

选项中的方程y ＝－x 对应的图象过原点，不符合图象，C 选项中的方程对应的图象为递增的，不符合图

象．所以，本题选D.

解答：D.

探索与发现：本题用检验的方法极易选出错误的答案B.解题中，要注意仔细分析，排除假象的干扰． 要点3 一次函数与一元一次不等式的关系

一元一次不等式kx ＋b ＞0(或kx ＋b ＜0)的解集，就对应着一次函数y ＝kx ＋b 在函数值y ＞0(或y ＜0)时，对应自变量x 的范围，体现在函数图象上，就是x 轴的上方(或下方)的射线(不含端点)对应的x 的取值范围．

例3 如图，直线y ＝kx ＋b 交坐标轴于A (－3,0)、B (0,5)两点，则不等式－kx －b ＜0的解集为( )．

A. x ＞－3

B. x ＜－3

C. x ＞3

D. x ＜3

精析：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝－kx －b 关于x 轴对称，所以直线y ＝－kx －b 与x 、y 轴的交点坐标是(－3,0)，(0, －5)，－kx －b ＜0，即y ＜0，所以x ＞－3.

解答：A.

探索与发现：本题主要是考查直线的对称与一次函数图象的应用，通过对称性确定函数与坐标轴的交点，然后根据图象确定x 的取值范围．

要点4 数形结合的数学思想

用一次函数来研究一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式问题，主要就是借助于图形的直观性解题，所以理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程(组)、一元一次不等式的关系是解题的关键．同时，在一次函数这个高观点之下，重新来审视一元一次方程、二元一次方程(组)的解和一元一次不等式的解集，理解它们的几何意义，对于弄清知识之间的内在联系，使知识形成体系有着重要的意义．

与不等式的意义一样，对于两个函数y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x ＋b 2(或y 2＝k 2

x

)，要找出y 1＞y 2的自变量的取

值范围，可以先用解方程组的办法求出图象的交点坐标．当y 1＞y 2时，即k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2(或k 1x ＋b 1＞k 2

x

)，

在图象上对应着交点的一侧，函数图象y 1＝k 1x ＋b 1高于y 2＝k 2x ＋b 2(或y 2＝k 2

x

)的部分的自变量的取值范围．