《误差理论与数据处理》考试题试题及答案

《误差理论与数据处理》考试题( 卷)
一、填空题（每空１分,共计２5分)
1．误差的表示方法有 绝对误差 、 相对误差 、 引用误差 。

2．随机误差的大小，可用测量值的 标准差 来衡量,其值越小，测量值越 集中 ,测量 精密度 越高。

3.按有效数字舍入规则，将下列各数保留三位有效数字：6.3５48— ６.35 ；8.8７5０— 8.88 ；7．6451—
7.65 ；5.4450— ５.44 ;547３０0— 5．4７×10５。

４.系统误差是在同一条件下,多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号 保持不变，或者在条件改
变时，误差 按一定规律变化 。

系统误差产生的原因有(1)测量装置方面的因素、(２） 环境方面的因素 、（3) 测量方法的因素 、(4） 测量人员方面的因素 。

5．误差分配的步骤是： 按等作用原则分配误差 ； 按等可能性调整误差 ； 验算调整后的总误差 。

6．微小误差的取舍准则是 被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3~1/10 。

7．测量的不确定度与自由度有密切关系，自由度愈大,不确定度愈 小 ，测量结果的可信赖程度愈 高 。

8．某一单次测量列的极限误差lim 0.06mm σ=±,若置信系数为3,则该次测量的标准差σ= 0．02m ｍ 。

9.对某一几何量进行了两组不等精度测量，已知10.05x mm σ=，20.04x mm σ=,则测量结果中各组的权之比为 １6:25 。

1０．对某次测量来说，其算术平均值为15.12５3,合成标准不确定度为0.０15，若要求不确定度保留两
位有效数字,则测量结果可表示为 １５.12５（15） 。

二、是非题(每小题１分，共计１０分) 1.标准量具不存在误差。

（ × ）
2.在测量结果中，小数点的位数越多测量精度越高。

（ × )
３.测量结果的最佳估计值常用算术平均值表示。

（ √ )
4．极限误差就是指在测量中，所有的测量列中的任一误差值都不会超过此极限误差。

( × ）
5．系统误差可以通过增加测量次数而减小。

( × )
６．在测量次数很小的情况下,可以用3σ准则来进行粗大误差的判别。

( × ) ７.随机误差的合成方法是方和根。

( √ ） 8．测量不确定度是无符号的参数,用标准差或标准差的倍数，或置信区间的半宽表示。

（ √ ）
9.用不同的计算方法得到的标准不确定度A 类评定的自由度相同。

（ × )
１０．以标准差表示的不确定度称为展伸不确定度。

（ × )
三、简答题（每题４分,共计2０分) 1.误差计算：
(1） 检定2.5级(即引用误差为2.5%)、量程为100V 的电压表,发现在50V 刻度点的示值误差为3V 为最大误差,问该电压表是否合格。

解:由引用误差的定义，引用误差=示值误差/测量范围上限(量程），则
3100%3% 2.5%100V
V
⨯=>
因此，该电压表不合格。

(2）用两种方法测量150L mm =，280L mm =,实际测得的值分别为50.004mm ,80.006mm 。

试评定两种测量方法精度的高低。

解：第一种方法测量的相对误差:
(50.00450)
100%0.008%50
-⨯=
第二种方法测量的相对误差：
(80.00680)
100%0.0075%80
-⨯=
第二种方法测量的相对误差小,因此其测量精度高。

2．试述正态分布的随机误差所具有的特点。

答:服从正态分布的随机误差具有以下四个特点:
（１)单峰性:小误差出现的概率比大误差出现的概率大;
（2）对称性：正误差出现的概率与负误差出现的概率相等； (３）抵偿性：随测量次数增加，算术平均值趋于零； （4)有界性:误差的分布具有大致的范围。

3．试述等精度测量时标准差的不同计算方法,并写出计算公式。

答：(１)贝塞尔公式：σ=
（２）别捷尔斯公式：1
1.2533n
i
i V
σ==⨯∑(3）极差法:n n d σω= （４)最大误差法:max max
i n i
n
k V σδ'=
= 4.用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差为0.001mm σ=,若测量服从正态分布，要求测量的允许
极限误差为0.0015±
解：置信概率0.95P =,由于2()P t =Φ，则()0.475t Φ=,查表得 1.96t =
lim 1.960.0015x x t δσ=±=±=±=±
2
0.0011.96 1.7070.0015n ⎛
⎫⨯= ⎪⎝
⎭≥
因此，取2n =。

５.测量不确定度与误差的区别是什么？
答:(1）测量不确定度是一个无正负的参数，用标准差或标准差的倍数表示。

误差则可正可负，其值为测量结果减去被测量的真值。

(２)测量不确定度表示测量值的分散性。

误差表明测量结果偏离真值的大小及方向。

(3)测量不确定度受人们对被测量、影响量及测量过程的认识程度影响。

误差是客观存在的,不以人的认
识程度而改变。

（4）测量不确定度可由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，可以定量确定。

由于真值未知，误差往往不能准确得,只有用约定真值代替真值时，才可以得到误差的估计值。

（5)评定不确定度各分量时,一般不必区分其性质。

误差按性质分为随机误差和系统误差。

（6)不能用不确定度对测量结果进行修正，对已修正的测量结果进行不确定度评定时应考虑修正不完善而引入的不确定度。

四、计算题（共计4５分)
1． 对某一温度值T 等精度测量15次，测得值如下（单位：℃）：2０．５3,２0．52,20．5０,２０.５2,2０.５3,20.53,20.５０,20.4９,20.49，20.51,20．53,20.５2，20.49，20.４0，２0.50。

已知温度计的系统误差为-0.0５℃，除此以外不再含有其它的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大误差，并求温度的测量结果及其标准差。

(可能用到的数据0(15,0.05) 2.41g =，0(15,0.05)0.525r =)(1５分) 解:
(1）判别粗大误差:
① 算
术
平
均
值
:
15
1
120.504i i T T C n ===∑
（１分）
② 残余误差i i v T T =-：分别为（℃）：0.026,０．016，-0.004，0.016,0.0２6,0.026，-０.004,-0.01４，
－０.０14，0.006，０.０26,0.016,－０．014,-０.104，-0.004。

（1分)
③ 测量列单次测量的标准差
：
0.033C σ=
=
=
（1分)
④根据3σ准则:330.0330.099σ=⨯=，第14测得值的残余误差140.1050.099v =>,则第１4个数
据20.４0为粗大误差,应剔除。

（1分)
将剔除后的数据继续进行粗大误差的判断，未发现再有粗大误差。

（1分）
（2）计算剔除粗大误差后的算术平均值的极限误差:
计算
剔
除
后
的
算
术
平
均
值
:
14
1
120.5114i i T T C ===∑
(1分)
对测量结果进行系统误差的修正:20.510.0520.56T C '=+= (2分)
单次测量标准差
：
0.016C σ=
=
=
（１分）
算
术
平
均
值
的
标
准
差
：
0.0043T C σ=
=
=
（２分）
算术平均值的极限误差：t=3,P=99.73%，
lim 30.00430.013T T t C
δσ=±=±⨯=±
（２分）
(3）测量结果：
lim (20.560.013)T T T C
δ'=±=±
（2分）
2. 为求长方体的体积V ，直接测量其各边长为161.6a mm =,44.5b mm =，11.2c mm =,已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=,0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为
0.8a mm δ=±,0.5b mm δ=±,0.5c mm δ=±。

试求长方体的体积及体积的极限误差。

解:
长方体的体积
V abc =
直接测量结果:
30161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯= （２分）
由于
22244.511.2498.4161.611.21809.92161.644.57191.2V
bc mm a V
ac mm b V
ab mm c
∂==⨯=∂∂==⨯=∂∂==⨯=∂ 则，长方体体积的系统误差
3
498.4 1.21809.92(0.8)7191.20.52745.744V V V V a b c
a b c
mm ∂∂∂∆=
∆+∆+∆∂∂∂=⨯+⨯-+⨯= （3分） 因此，长方体的体积
3080541.442745.74477795.696V V V mm =-∆=-= (2分）
极限误差为
3
3729.11V mm δ===± （3分) 因此，长方体的体积是3
77795.696mm ,体积的极限误差是3
3729.11mm ±。

3. 测量某电路电阻R 两端的电压U ，由公式I U R =算出电路电流I 。

若测得
(16.500.05)U U V σ±=±,(4.260.02)R R σ±=±Ω,相关系数0.36UR ρ=-。

试求标准不确定度表示的电路电流I 。

解：
不考虑误差下的电路电流
16.54.26 3.87I U R A === (2
分）
电流的标准不确定度
0.025I u A
=== （5分)
不确
定
度
报
告
：
(3.870.025)I A =±
(3分）
４． 已知测量方程为：1122312y x y x y x x
=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩，而y １,y 2，y 3的测量结果分别为1 5.26l mm =,2 4.94l mm =，
310.14l mm =,试求1x 与2x 的最小二乘估计及其精度估计。

（1０分）
解：
(1）求最小二乘估计
建立方程组，11223
12y x y x y x x
=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，写为矩阵的形式：ˆL AX =，即 11223100111l x l x l ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(3分） 则
1
1121
10 5.26101101ˆ()01 4.9401101
11110.145.26 5.26211012110114.94 4.941201112011310.1410.141T T x X A A A L x ---⎛⎫
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
= 5.2621115.72 5.2414.9412114.76 4.923310.14⎡⎤
-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
即，12 5.244.92x x ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ 1x 与2x 的最小二乘估计值分别为1 5.24x mm =，2 4.92x mm =。

（2分)
（2)计算精度
a.测量值的精度:
111222
3312()l x l x l x x ννν=-=-=-+,得1230.02
0.020.02
ννν===- 则
,0.035mm σ=== (2分)
ｂ.估计值的精度为: 正规方程为
由,2
22
1111221111
222
21122221
11i i i i i i
i i i i i i i i i i i i a a x a a x a l a a x a a x a l
======⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑∑,得正规方程,1212215.40215.08x x x x +=⎧⎨+=⎩
1112111221
20
d d d d +=⎧⎨
+=⎩,得,110.67d =
同理,
1222122221
20
d d d d +=⎧⎨
+=⎩,得，220.67d = 则
,
1
0.0350.028x mm σ===
2
0.0350.028x mm σ=== （３分）。