(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解

一元二次不等式专题练习
例1 解不等式：（1）01522
3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3
2
<-++x x x ．
例2 解下列分式不等式： （1）
2
2
123+-≤-x x （2）
1
2
731
422<+-+-x x x x
例3 解不等式242+<-x x
例4 解不等式
04125
622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x x
x x x <-+-+2
2232
2． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．
例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．
例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02
>++c bx ax 的解集是
{})0(><<αβαx x ．求不等式
02>++a bx cx 的解集．
例11 若不等式
1
12
2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31
(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．
例1解：（1）原不等式可化为
0)3)(52(>-+x x x
把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2
5
,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．
∴原不等式解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于
⎩⎨
⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(0
50
)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}
2455>-<<--<x x x x 或或
说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或
奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．
分析：当分式不等式化为
)0(0)
()
(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①
0)()(0)
()
(<⋅⇔<x g x f x g x f ②
0)()(0)(0)()(0
)(0)()(0)()
(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或
例2（1）解：原不等式等价于
⎩⎨
⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔
≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0
)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()
1)(6(0
)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x
用“穿根法”
∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

（2）解法一：原不等式等价于 02
731
322
2>+-+-x x x x 2
12
1
310
2730132027301320
)273)(132(222222><<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+-<+-⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-⇔>+-+-⇔x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2
1
()31,(+∞⋃⋃-∞。

解法二：原不等式等价于
0)
2)(13()
1)(12(>----x x x x
0)2()13)(1)(12(>-⋅---⇔x x x x
用“穿根法”
∴原不等式解集为),2()1,2
1()31,(+∞⋂⋃-∞
例3分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义⎩⎨
⎧<-≥=)
0()
0(a a a a a
二是根据绝对值的性质：a x a x a x a a x >⇔<<-⇔<.,或a x -<，因此本题有如下两种解法．
解法一：原不等式⎪⎩⎪⎨⎧+<-<-⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥-⇔2
40
424042
222x x x x x x 或 即⎩⎨⎧>-<<<-⎩⎨
⎧<<--≤≥1
222222x x x x x x x 或或或
∴32<≤x 或21<<x
故原不等式的解集为{}
31<<x x ．
解法二：原不等式等价于 24)2(2
+<-<+-x x x
即⎪⎩⎪⎨⎧+->-+<-)
2(4242
2x x x x ∴312132<<⎩⎨⎧-<><<-x x x x 故或．
例4分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 二次式的商，由商的符号法则，它等价
于下列两个不等式组：
⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-041205622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0
4120
562
2x x x x 所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集．也可用数轴标根法求解． 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：
⎪⎩⎪⎨⎧>-+<+-0412,05622x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+-0
412,
0562
2x x x x ⎩⎨⎧<-+<--⇔;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x 或⎩
⎨⎧>-+>--;0)6)(2(,0)5)(1(x x x x
；
⎩⎨⎧<<-<<⇔62,51x x 或⎩⎨⎧>-<><6
,2,
5,1x x x x 或或 ,51<<⇔x 或2-<x 或6>x ．
∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．
解法二：原不等式化为
0)
6)(2()
5)(1(>-+--x x x x ．
画数轴，找因式根，分区间，定符号．
)
6)(2()
5)(1(-+--x x x x 符号
∴原不等式解集是}6512{><<-<x x x x ，或，或．
说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解． 解法二中，“定符号”是关键．当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含０的区间符号，其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
例5分析：不等式左右两边都是含有x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．
解：移项整理，将原不等式化为
0)
1)(3()
1)(2(2>+-++-x x x x x ． 由012>++x x 恒成立，知原不等式等价于
0)
1)(3()
2(>+--x x x ．
解之，得原不等式的解集为}321{><<-x x x 或．
说明：此题易出现去分母得)23(2222x x x x x -+<-+的错误解法．避免误解的方法是移项使一边为０再解．
另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理．
例6分析：进行分类讨论求解．
解：当0=m 时，因03<-一定成立，故原不等式的解集为R ． 当0≠m 时，原不等式化为0)1)(3(<-+mx mx ；
当0>m 时，解得m x m 13<<-
； 当0<m 时，解得m
x m 3
1-<<．
∴当0>m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧<<-m x m x 13；
当0<m 时，原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<m x m
x
31． 说明：解不等式时，由于R m ∈，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当
0=m 时，原不等式化为03<-，此时不等式的解集为R ，所以解题时应分0=m 与0≠m 两种情况来讨论．
在解出03222=-+mx x m 的两根为m x 31-
=，m x 12=后，认为m m 1
3<-，这也是易出现的错
误之处．这时也应分情况来讨论：当0>m 时，m
m 13<-；当0<m 时，m m 1
3>-．
例7分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解．
解：原不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧->-≥->-⇔;)1(2,01,
02)1(2
22x a ax x a ax 或⎩⎨⎧<-≥-.01,02)2(2x a x
由0>a ，得：⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<+++-≤>⇔;01)1(2,1,2)1(2
2a x a x x a x ⎪⎩⎪⎨⎧>≥⇔.1,
2)2(x a x
由判别式08)1(4)1(422>=+-+=∆a a a ，故不等式01)1(222<+++-a x a x 的解是
a a x a a 2121++<<-+．
当20≤<a 时，
1212
≤-+≤a a a
，121>++a a ，不等式组(1)的解是121≤<-+x a a ，不等式组(2)的解是1>x ．
当2>a 时，不等式组(1)无解，(2)的解是2
a x ≥
． 综上可知，当20≤<a 时，原不等式的解集是[)
+∞-+,21a a ；当2>a 时，原不等式
的解集是⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞,2a ．
说明：本题分类讨论标准“20≤<a ，2>a ”是依据“已知0>a 及(1)中‘2
a
x >，1≤x ’，(2)中‘2
a
x ≥
，1>x ’”确定的．解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点．一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定．
本题易误把原不等式等价于不等式)1(22x a ax ->-．纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法．
例8分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得3310432<--<-x x ， ∴原不等式等价于不等式组
⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-->-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<----<-0
61040
104331043104322
2
2x x x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
<<-><⇒⎩⎨
⎧<+->-.
32
1,2500)12)(3(20)52(2x x x x x x x 或 ∴原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧<<<<-325
021x x x 或．
说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．
例9分析：不等式中含有字母a ，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程0)(322=++-a x a a x 的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ，故需比较两根的大小，从而引出讨论．
解：原不等式可化为0))((2>--a x a x ．
(1)当2a a <（即1>a 或0<a ）时，不等式的解集为：
{}2a x a x x ><或；
(2)当2a a >（即10<<a ）时，不等式的解集为：
{}
a x a x x
><或2；
(3)当2a a =（即0=a 或1）时，不等式的解集为：
{}a x R x x
≠∈且．
说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根a x =1，22a x =，因此不等式的解就是x 小于小根或x 大于大根．但a 与2a 两根的大小不能确定，因此需要讨论2a a <，
2a a >，2a a =三种情况．
分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c 的正负，然后求出方程
02=++a bx cx 的两根即可解之．
例10解：(解法1)由题可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根， ∴a
b -
=β+α，a c =β⋅α．
又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ．
而0>α，0>β000<⇒>⇒
>αβ⇒c a c
， ∴0022<++⇔>++c
a
x c b x a bx cx ．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧--==--=+-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+),1)(1(1,11βααβ
βααββαβαβαa c c b a c a
b ∴02<++c
a
x c b x ，即0)1)(1()11(2<β-α-+β-α-+x x ，
即0)1
)(1(<β
-α-x x ．
又β<α<0，∴β
>α1
1，
∴0)1)(1(<β-α-
x x 的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧α<<β11x x ． (解法2)由题意可判断出α，β是方程02=++c bx ax 的两根，
∴a
c
=
β⋅α． 又02>++c bx ax 的解集是{}β<<αx x ，说明0<a ． 而0>α，0>β000<⇒>⇒
>αβ⇒c a
c
． 对方程02=++a bx cx 两边同除以2x 得
0)1
()1(2=+⋅+⋅c x b x a ．
令x
t 1
=，该方程即为
02=++c t b t a ，它的两根为α=1t ，β=2t ，
∴
α=11x ，β=21x ．∴α
=1
1x ，β=12x ，
∴方程02=++a bx cx 的两根为α1
，β
1． ∵β<α<0，∴
β
>α11． ∴不等式02>++a bx cx 的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧α<<β11x x
． 说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)
结合使用韦达定理，本题中只有α，β是已知量，故所求不等式解集也用α，β表示，不等式系数a ，b ，c 的关系也用α，β表示出来；(3)注意解法2中用“变换”的方法求方程的根．
例11分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a 、
b 式子．
解：∵043
)21(122>+
+=++x x x ，
04
3
)21(122>+-=+-x x x ，
∴原不等式化为0)()2(2>-++--+b a x b a x b a ．
依题意⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
=-++=-+->-+3
423
1202b a b a b a b
a b a ，
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==2325b a ． 说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解．
例12分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式
022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．
解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x ，2x ，由韦达定理得：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=⋅-=+a x x a
b x x 22121 由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-2
1221a
a b
∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-⨯-=∆a b ． 解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式：
0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故需满足：
2
2
11--=
-=b a ∴1=a ，1-=b ． 说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力．对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好．
例13分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．
解：分以下情况讨论
(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x (2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①
①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a
x ，∴不等式的解为1>x 或a x 1
<
． ②当0>a 时，①式变为0)1)(1
(<--x a
x ． ②
∵a
a a -=-111，∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为a x 1
1<<．当1=a 时，11=a ，
此时②的解为11
<<x a
．
说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．
例14分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，
)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：
⎩⎨
⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩
⎪
⎨⎧>≥≥2
)]([)(0)(0
)(x g x f x g x f ． 解：原不等式等价于下面两个不等式组：
①⎩⎨⎧≥--<-0103082x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧->--≥--≥-222)
8(10301030
8x x x x x x
由①得⎩
⎨
⎧-≤≥>258
x x x 或，∴8>x
由②得∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≥≤.
1374
258x x x x 或 81374
≤<x ，
所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>≤<881374x x x 或，即为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
>1374x x ． 说明：本题也可以转化为
)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f ， 这里，设全集}52{}0103{2≥-≤=≥--=x x x x x x U 或，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≤--=x x x x A 81032，
则所求不等式的解集为A 的补集A ，
由2)8(10301030
881032
222-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤--≥--≥-⇔-≤--x x x x x x x x x x 或1374
5≤≤x ．
即⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤≤≤=137452x x x A 或，∴原不等式的解集是
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>=1374x x A ．
分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或
0)(<x f ）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．
均值不等式专题
均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。

下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。

一、几个重要的均值不等式
①，、)(2
22
22
2
R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，
、)(222
+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3
33
333
3
3
+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”
号成立；
④)(333
3+
∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”
号成立.
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；
② 熟悉一个重要的不等式链：b
a 112
+2a b +≤≤≤
2
2
2b a +。

二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。

例1、求函数2
1
(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

解析：
21(1)2(1)y x x x =+
>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2
111
1(1)222(1)
x x x x --=+++>-
1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5
2。

评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。

通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。

2、求几个正数积的最大值。

例2、求下列函数的最大值： ①23
(32)(0)2
y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<
解析：
①
30,3202x x <<
->∴，∴23
(32)(0)(32)2
y x x x x x x =-<<=⋅⋅- 3
(32)[]13
x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，
“=”号成立，故此函数最大值是1。

②
0,sin 0,cos 02
x x x π
<<
>>∴，
则0y >，欲求y 的最大值，可先求y 2
的最大值。

242sin cos y x x =⋅222sin sin cos x x x =⋅⋅2221
(sin sin 2cos )2
x x x =⋅⋅
222
31sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤⋅=,当且仅当22sin 2cos x x =(0)2
x π<<tan x ⇒=，即
x arc ==”号成立，故此函数最大值是9。

评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。

通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。

3、用均值不等式求最值等号不成立。

例3、若x 、y +
∈R ，求4
()f x x x
=+
)10(≤<x 的最小值。

解法一：（单调性法）由函数()(0)b
f x ax a b x
=+>、图象及性质知，当(0,1]x ∈时，函数4
()f x x x
=+
是减函数。

证明：
任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤，则121212
44()()()(
)f x f x x x x x -=-+- 211212()4x x x x x x -=-+⋅
121212
4
()x x x x x x -=-⋅， ∵1201x x <<≤，∴12
12124
0,0x x x x x x --<<， 则1212()()0()()f x f x f x f x ->⇒>，即4
()f x x x
=+
在(0,1]上是减函数。

故当1x =时，4
()f x x x
=+
在(0,1]上有最小值5。

解法二：（配方法）因01x <≤，则有4
()f x x x =
+24=+，易知当01x <≤时，
0μ=
且单调递减，则2()4f x =+在(0,1]上也是减函数，即4()f x x x =+在
(0,1]上是减函数，当1x =时，4
()f x x x =+在(0,1]上有最小值5。

解法三：（导数法）由4()f x x x =+得24()1f x x '=-，当(0,1]x ∈时，24
()10f x x
'=-<，
则函数4()f x x x =+在(0,1]上是减函数。

故当1x =时，4
()f x x x
=+在(0,1]上有最小值5。

解法四：（拆分法）4()f x x x =+)10(≤<x 13()x x x =+
+3
1
≥5=，当且仅当1
x =时“=”号成立，故此函数最小值是5。

评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

4、条件最值问题。

例4、已知正数x 、y 满足
81
1x y
+=，求2x y +的最小值。

解法一：（利用均值不等式）
2x y +8116()(2)10x y x y x y y x =++=+
+1018≥+,当且仅当81
116x y x y
y
x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即12,3x y ==时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）
由
81
1x y
+=得8
x
y x =
-，由
00088
x
y x x x >⇒
>>⇒>-又则
2x y +22(8)161616
2(8)108888
x x x x x x x x x x -+=+
=+=++=-++---
-1018≥=。

当且仅当16
88x x -=-即12,3x y ==此时时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法三：（三角换元法）
令228sin 1cos x x x y
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则有228sin 1cos x x y x ⎧=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩ 则22
822sin cos x y x x
+=+222222
8csc 2sec 8(1cot )2(1tan )108cot 2tan x x x x x x =+=+++=++
10≥+18≥，易求得12,3x y ==此时时“=”号成立，故最小值是18。

评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：
8
12()(2)8x y x y x y +=++≥。

原因就是等号成立的条件不一致。

5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例5、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。

解法一：
由0,0x y >>，则3xy x y =+
+3xy x y ⇒-=+≥
2
30-≥
解得
13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

又2
3()2
x y x y xy +++=≤2()4()120x y x y ⇒+-+-≥2()6x y x y ⇒+≤-+≥舍或，当且
仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故x y +的取值范围是[6,)+∞
解法二：
由0,0x y >>，3(1)3xy x y x y x =++⇒-=+知1x ≠，
则31x y x +=
-，由3
0011
x y x x +>⇒>⇒>-，则： 2233(1)5(1)44
(1)51111
x x x x x xy x x x x x x ++-+-+=⋅===-++---
-59≥=，当且仅当4
1(0)31
x x x x -=>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

314441(1)2261111x x x y x x x x x x x x +-++=+
=+=++=-++≥=----，当且仅当4
1(0)31
x x x x -=
>=-即，并求得3y =时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

三、用均值不等式求最值的常见的技巧 1、 添、减项（配常数项）
例1 求函数
2216
32y x x =+
+的最小值.
分析：
221632x x +
+是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而2
1
2x +可与22
x +相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即2216
3662y x x =++
-+，再用均值不等
式.
222
22
1620,3216
3(2)6266
x y x x x x +>=++=++
-+≥=解：
当且仅当
22
163(2)2x x +=
+
，即2
2x =-时,等号成立. 所以y
的最小值是
6.
评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不
变，添项后一定要再减去同一项. 2、 配系数（乘、除项）
例2 已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.
分析 lg lg lg()x y xy +=, xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y +是否定值，
而已知是3x 与2y 的和为定值12，故应先配系数，即将xy 变形为326x y
⋅，再用均值不
等式.
220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.
评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用
2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪
⎝⎭来解决.
3、 裂项
例3 已知1x >-，求函数
()()521
x x y x ++=
+的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.
()(
)141110,14(1)5519
x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦+>=+=++
+≥+=解：
当且仅当4
11x x +=
+，即1x =时，取等号. 所以min 9y =.
4、 取倒数
例4 已知
102x <<
，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
解 由
1
02x <<
，得10x +>，120x ->.
取倒数，得
22
1(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x
x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤
+
⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当且仅当31211x x x
x -=
++，即1
5x =时，取等号. 故y 的最小值是12. 5、 平方
例5 已知0,0x y >>且2
2
283y x +=
求.
分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.
初看似乎无从下手，但若把所求式等式来解决
.
2
2
2
2
2
2
222((62)32(1)
3
2(1)9333()
22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当且仅当
22
2(1)3y x =+，即3
2x =
，2y =时，等号成立.
故
评注 本题也可将x
纳入根号内，即将所求式化为等式的变式.
6、 换元（整体思想）
例6
求函数
y =
的最大值.
分析
t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
22,0,2,(0)
21
00;1014
212=.
23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=
≤
=+
==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时
7、 逆用条件
例7 已知19
1(0,0)
x y
x y
+=>>
,则
x y
+的最小值是（） .
分析直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求x y
+的最小值.这时可逆用
条件，即由
19
1
x y
=+
，得
19
()()
x y x y
x y
+=++
，然后展开即可解决问题.
19
0,0,1
199
()()10
1016
9
,4,12.
16.
x y
x y
y x
x y x y
x y x y
y x
x y
x y
x y
>>+=
+=++=++
≥=
===
+
解：由，得
当且仅当即时，等号成立
故的最小值是
评注若已知
0,0,
x y
>>1
x y
+= (或其他定值)，要求
19
x y
+
的最大值，则同样可运用此法.
8、巧组合
例8 若
,,0
a b c>
且
()4
a a
b
c bc
+++=-求2a b c
++的最小值 .
分析
初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用
a b
+≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c
++重新组合，变成()()
a b a c
+++，而()()
a b a c
++
等于定值
4-，于是就可以利用均值不等式了
.
,,0,2()()
2,,
1.
2 2.
a b c a b c a b a c
b c
b c a
a b c
>++=+++
≥=
===
==-
++
解：由知
当且仅当
即时，等号成立
故的最小值为
9、消元
例9、设
,,
x y z为正实数，230
x y z
-+=，则
2
y
xz的最小值是.
分析本题也是三元式的最值问题.由题意得
3
2
x z
y
+
=
，则可对
2
y
xz进行消元，用,x z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=
+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.
故的最小值为
练习： 1、试填写两个正整数，满足条件
41
1[ ][ ]
+＝，且使这两个正整数的和最小。

2、试分别求：2
1
(1)1x y x x x -=
>-+；
y =最大值。

3、求222log (2)log (3)1y x x =---+最小值。

不等式恒成立、能成立、恰成立专题
一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：
（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()
f x 的
下界大于A
（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界
小于A
例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),
22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;
例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛∈2,0πθ时，有
()
()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.
例4、已知函数
)0(ln )(4
4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；
（3）若对任意0>x ，不等式2
2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法
例5、若不等式a 10x -<对[]
1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围
例6、若对于任意1
a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围
例7、已知函数
32
3()(1)1
32a f x x x a x =
-+++，其中a 为实数．若不等式
2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，
都成立，求实数x 的取值范围．
3、分离参数法
（1） 将参数与变量分离，即化为()()
g f x λ≥（或
()()
g f x λ≤）恒成立的形式；
（2） 求
()
f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式
()max
()g f x λ≥(或
()()min
g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。

例8、当(1,2)x ∈时，不等式2
40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .
例9、已知函数321
()3
3f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取
得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围.
4、数形结合
例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________
例11、当x ∈(1,2)时，不等式2
(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A
>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.
例12、已知不等式
a
x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围
______
例13、若关于x 的不等式32
-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．
例14、已知函数()21
ln 22f x x ax x
=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围
三、不等式恰好成立问题的处理方法
例15、不等式2ax bx 10++>的解集为
1|13x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________
例16、已知(),
22x a
x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.
例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。

（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；
（3）对任意x1、x2∈[-3，3]，都有f （x1)≤g(x2)，求k 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
（请做在另外作业纸上）
1、若不等式
2
(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 2、已知不等式22
6
22kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围
3、设函数329
()62f x x x x a
=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。

4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式2
12x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

5、已知不等式[]
22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。

求实数a 的取值范围。

6、对任意的
[]
2,2a ∈-，函数2
()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值范围
7、 若不等式2
log 0m x x -<在10,2⎛⎫
⎪
⎝⎭内恒成立，则实数m 的取值范围 。

8、不等式
)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

9、不等式2
20kx k +-<有解，求k 的取值范围。

10、对于不等式
21x x a
-++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对于
任意[05]x ∈，
，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，． 11、①对一切实数x,不等式32x x a
--+>恒成立，求实数a 的范围。

②若不等式32x x a
--+>有解，求实数a 的范围。

③若方程
32x x a
--+=有解，求实数a 的范围。

12、 ①若x,y 满足方程
22
(1)1x y +-=，不等式0x y c ++≥恒成立，求实数c 的范围。

②若x,y 满足方程
22(1)1x y +-=，0x y c ++=，求实数c 的范围。

13、设函数432
()2()f x x ax x b x R =+++∈，其中,a b R ∈．若对于任意的[]22a ∈-，，不
等式()1f x ≤在
[]11-，上恒成立，求b 的取值范围．
14、设函数321
()(1)4243f x x a x ax a
=-+++，其中常数1a >，若当0x ≥时，()0f x >恒
成立，求a 的取值范围。

15、已知向量a =(2
x ，x+1)，b = (1-x ，t)。

若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函
数，求t 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案
例1、解：a 的取值范围为[-3，1]
例2、解：等价于
()022
≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.
由于
()()112
-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,
03-≥≥+a a
例3、解：由
()
()022sin 2cos 2
>--++m f m f θθ得到：()
()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，
故有
()
()22sin 2cos 2
+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2
+<+m m θθ对
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛∈2,0πθ恒成立
设t =θsin ，则01222
>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，
在设函数
()1222
++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，
即
21-
≥m ，又0<m ∴0
21
<≤-m (如图1)
②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,
()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,
∴2121+
<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)
③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)
故由①②③可知：
21-
≥m .
例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小
2
值也是最小值.要使
)0(2)(2
>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ， 从而0)1)(32(≥+-c c . 解得
23≥
c 或1-≤c . ∴c 的取值范围为)
,23
[]1,(+∞--∞ .
例5、解：
1
2a <
例6、解：(,1)(3,)x ∈-∞⋃+∞
例7、解析：由题设知“
223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。

设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），
则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。

220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上
的单调递增函数。

所以对∀(0)a ∈+∞，
，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。

例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由2
40x mx ++<得24x m x +<-.令244
()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时
()(1)5max
f x f ==，则
2min 4
()5
x x +->-∴5m ≤-.
例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增
⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔
1,(0,1]22ax b x x ≥-
-∈恒成立⇔max
1
()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈。

设
1()22ax g x x =--，2221()
1'()222a x a a g x x x -=-+=-， 令'()0g x =
得
x =
或x =舍去)，
当1>a 时,101a <<
，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--
单调增函数；
当
x ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--
单调减函数,
∴
max ()g x
=
g =。

∴b ≥
当01a <≤
1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立，所以
1()22ax g x x =--
在区间(0,1]上单调递增，∴max
()g x =1(1)2a g +=-，∴1
2a b +≥-。

综上，当1>a 时
, b ≥ 当01a <≤时，
b ≥例10、解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立
则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤。

例11、解：1<a ≤2. 例12、解：1a >
例13、第二个填空是不等式能成立的问题. 设
()a ax x x f --=2
.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f , 即(),
3442
min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥
例14、解：x
ax x x h b 221ln )(,22
--==时，则.1221)(2x x ax ax x x h -+-=--='
因为函数
()
h x 存在单调递减区间，所以()0h x '
<有解.由题设可知,()x h 的定义域是
()+∞,0 ,
而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'
x h 在区间()+∞,0能成立,即
x x
a 2
12
->
, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中
()x x x u 2
12-=
.
由()x x x u 212-=1
112
-⎪⎭⎫
⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,
由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1
ax
x
例15、解：6
例16、解：是一个恰成立问题,这相当于()0
22≥++=x a x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时, ()3
222≥++=++=x a
x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()2
22++=++=x a
x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数,所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a
例17、解析：（1）设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k ，问题转化为x ∈[-3，3]时，h(x)≥0恒成立，故h min (x)≥0.令h′ (x)=6x2-6x-12=0，得x= -1或2。

由h(-1)=7+k ，h(2)=-20+k ，h(-3)=k-45，h(3)=k-9，故h min (x)=-45+k ，由k-45≥0，得k≥45. （2）据题意：存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，即为：h(x)=g(x)-f(x)≥0在x ∈[-3，3]有解，故h max (x)≥0，由（1）知h max （x ）=k+7，于是得k≥-7。

（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2∈[-3，3]，
都有f （x1)≤g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1，x2的取值在[-3，3]上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：
]
3,3[,)()(min max ••x •x g x f -∈≤，由g′(x)=6x2+10x+4=0，得x=-32
或-1，易得21)3()(min -=-=g x g ，又f(x)=8(x+1)2-8-k ，]3,3[•
x -∈. 故.120)3()(max k f x f -==令120-k≤-21，得k≥141。

专项练习：
1、解：
)
1113,(-
-∞ 2、解：)10,2[
3、解析：
'2
()396f x x x =-+
, 对∀x R ∈,'()f x m ≥, 即
239(6)0x x m -+-≥在x R ∈上恒成立, ∴8112(6)0m ∆=--≤, 得
34m ≤-
，即m 的最大值为3
4-。

4、解：不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧
>->+-0103422
x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或
5、解：0>a
6、解：),4()0,(+∞⋃-∞∈x
7、解：)
1,161[
8、解：画出两个凼数ax y =和
)4(x x y -=在]3,0[∈x
上的图象如图知当3=x 时3=
y ，
33=
a
当
33≤
a ]3,0[∈x 时总有)4(x x ax -≤所以33
≤
a
9、解：不等式2
20kx k +-<有解2
(1)2k x ⇔+<有解
22
1k x ⇔<
+有解
2max
22
1k x ⎛⎫
⇔<= ⎪+⎝⎭，所以(2)k ∈-∞，。

10、解：由21(1)()213(12)21(2).x x f x x x x x x -+<-=-++=-->⎧⎪
⎨⎪⎩≤≤，，
又()a f x >有解min ()3a f x ⇔>=，
所以
{3}
M a a =>．令()
g x 21[05]()
x x x a g x =-++∈>，，，恒成立
max ()(5)9
a g x g ⇔>==．所以
{9}
N a a =>
11、解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a 12、解：①12-≥c ②]21,21[+---∈c
13、解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++由条件[]22a ∈-，可知
29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，
()0f x '>．因此函数()f x 在[]11
-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意
[]
22a ∈-，，不等式()1f x ≤在
[]11-，上恒成立，当且仅当max ()1f x ≤，
即(1)1(1)1f f ≤-≤⎧⎨⎩，即22b a
b a ≤--≤-+⎧⎨⎩在[]22a ∈-，上恒成立．即min min (2)(2)b a b a ≤--≤-+⎧⎨⎩，[]22a ∈-，
所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是
(]4--∞，．
14、解：（II ）由（I ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值。

a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=a
a a 24434
23++-=；a f 24)0(=
则由题意得
⎪⎩
⎪
⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>>-+->.
024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得 16a << ∴ (1,6)a ∈。

15、解：依定义t tx x x x t x x x f +++-=++-=2
3
2
)1()1()(
'2
若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上可设)('x f ∴0)(≥'x f x x t 232-≥⇔在（-1，1）上恒成立。

考虑函数x x x g 23)(2
-=，（如图）
由于)(x g 的图象是对称轴为
31=
x ，开口向上的抛物线， 故要使x x t 232
-≥在（-1，1）上恒成立)1(-≥⇔g t ，即5≥t 。

而当5≥t 时，)(x f '在（-1，1）上满足)(x f '>0，
即)(x f 在（-1，1）上是增函数。

故t 的取值范围是5≥t .。