【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：7.1.1 数系的扩充和复数的概念

[例3] 已知x2－x＋x－1 6＋(x2－2x－3)i＝0，求实数x的值．
[分析] 先利用复数相等的定义列出关于x的实数方程组，
然后解方程组求x的值． [解] ∵x∈R，∴由复数相等的定义得x2－x＋x－1 6＝0， x2－2x－3＝0，
即xx＝＝33或或xx＝＝－－12.且x≠－1， ∴x＝3.
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不 为0.
2m2＋m－3＝0， 故若使z为纯虚数，则m＋3≠0， m2－3m－18≠0， 解得m＝－32或m＝1. 所以当m＝－32或m＝1时，z为纯虚数．
——本课须掌握的三大问题 1．数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系． 2．虚数单位i性质的两个关注点 (1)i2＝－1的理解：并没有规定i＝± －1还是i＝ －1或i＝ － －1 ，在今后的学习中，我们将知道 －1 ＝±i，但不能说i ＝± －1.
4．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数， 则实数a的值是( B )
A．a＝0或a＝2 B．a＝0 C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2
解析：因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2 －2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.
5．实数m分别为何值时，复数z＝
[变式训练2]
已知m∈R，复数z＝
mm＋2 m－1
＋(m2＋2m－
3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；(2)z是虚数；
(3)z是纯虚数；(4)z＝12－4i.
解：(1)∵z∈R， ∴mm－2＋12≠m0－，3＝0， 即mm＝≠11或. m＝－3， ∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数， ∴mm－2＋12≠m0－，3≠0， 即mm≠ ≠11且. m≠－3， ∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．
2m2＋m－3 m＋3
＋(m2－3m－
18)i是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解：(1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则mm＋2－33≠m0－，18＝0， 解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0. 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
典例讲练破题型
类型一
复数的概念
[例1] 分别指出下列复数的实部和虚部．
3＋2i， 2－i，－3i＋5， 23，－5i，i2,0. [分析] 先把复数写成a＋bi(a，b∈R)的形式，然后根据实 部和虚部的定义解题．
[解] 3＋2i的实部是3，虚部是2. 2－i＝ 2＋(－1)i，故 2－i的实部是 2，虚部是－1.
提示：(1)这种说法不正确，复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，当 b＝0时为实数；当a＝0时z不一定为虚数，因为当a＝b＝0时，z ＝0是实数，而不是虚数．
(2)不一定，只有在bi中，当b∈R且b≠0时它才是纯虚数， 当b＝0时，bi＝0不是纯虚数，当b∉R时，也不是纯虚数．
4．两个复数能否比较大小？
第七章
复数
7．1 复数的概念
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
[目标] 1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念以及 复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法．
[重点] 复数的概念及复数相等的条件． [难点] 复数的理解与引入．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
2．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝0，y＝0时，x＋yi是实数．
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为
( C) A．1
B．1或－4
C．－4
D．0或－4
解析：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相 等，排除A、B、D.
[变式训练1] 给出下列几个命题： ①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于 零； ④－1没有平方根； ⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ⑥两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为__2___.
解析：因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯 虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为 ±i，故④错；当a＝－1时，(a＋1)i是实数0，故⑤错；⑥正确．
(2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充的 原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并不 是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运算时， 只对加法、乘法法则作出规定，而把减法、除法作为加法、乘 法的逆运算的做法相一致．
3．实部与虚部的要求：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a 才是z的实部，b才是z的虚部．
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，如图 所示：
2．复数相等 a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等当且仅当_a_＝__c_且__b_＝__d_.
[答一答] 3．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时为实数，当a＝0 时为虚数，这种说法正确吗？ (2)形如bi的数一定是纯虚数吗？
要点整合夯基础
知识点一
复数的概念
1．复数与复数集
[填一填]
我们把形如_a_＋__b_i_(a_，__b_∈__R__) 的数叫做复数，其中i叫做 _虚__数__单__位____，__全__体__复__数___所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}
叫做复数集．
2．复数的代数形式 复数通常用z表示，z＝_a_＋__b_i_(a_，__b_∈__R__) __，叫做复数的代 数形式．其中a与b分别叫复数z的____实__部_____与___虚__部______
(3)∵z是纯虚数，
m2＋2m－3≠0， ∴mmm－＋12＝0，
即 mm≠ ＝10且 或mm≠ ＝－ －32， ，
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．
(4)∵z＝12－4i，
∴mmm－＋12＝12， m2＋2m－3＝－4.
即m＝－1或－12， m＝－1.
∴当m＝－1时，z＝12－4i.
类型三
复数相等
－3i＋5＝5－3i，故－3i＋5的实部是5，虚部是－3.
23＝ 23＋0i，故 23的实部是 23，虚部是0. －5i＝0－5i，故－5i的实部是0，虚部是－5. i2＝－1＝－1＋0i，故i2的实部是－1，虚部是0. 0＝0＋0i，故0的实部和虚部都是0.
首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部 与虚部的概念确定实部、虚部.)
解：∵x，y为实数， ∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数． 由复数相等的定义知2y＋x－11＝＝－x－x－y，y， ∴xy＝ ＝－ 3，2.
课堂达标练经典
1．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋
b的值为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3， 所以a＋b＝4.
提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部 为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判定这两 个复数相等或者不相等．这是因为虚数单位i与实数0的大小关 系不确定，若i>0，则两边同乘以i，有i2>0，即－1>0，这是不 可能的．若i<0，则两边同时平方得i2>0，即－1>0，这也不可 能.
应用复数相等的充要条件时，要注意：1必须是复数的代 数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程 组.2利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转wk.baidu.com为两个 实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题 实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.
[变式训练3] 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实 数x，y的值．
(2)当z为虚数时， 则aa22－－51a≠－06，≠0， ∴aa≠≠－±11. 且a≠6， ∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
a2－5a－6≠0， 则a2－1≠0，
a2－7a＋6＝0，
a≠－1且a≠6， ∴a≠±1， a＝6或a＝1.
∴不存在实数a使z为纯虚数．
利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准 列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数 时，注意考虑问题要全面.
类型二
复数的分类
[例2] 已知复数z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求
实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚
数．
[分析] 根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方
程(不等式)组求解．
[解] (1)当z为实数时， 则aa22－ －51a≠－06，＝0， ∴aa＝ ≠－±11，或a＝6， ∴当a＝6时，z为实数．
[答一答] 1．如何理解虚数单位i?
提示：①i2＝－1；②i可与实数进行四则运算，且原有的 加、乘运算律仍成立．
2．能说形如a＋bi(其中i为虚数单位)的数叫做复数？ 提示：不能．只有当a，b∈R时，结论才成立．
知识点二
复数的分类与复数相等
[填一填] 1．复数的分类 (1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当____b_＝__0____时，它 是实数，当____b_≠__0____时，它叫做虚数，当_a_＝__0_且__b_≠__0_时， 它叫做纯虚数．