初中数学全国竞赛各省市试题汇编附答案

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初中数学全国竞赛各省市试题汇编(附答
案)
2012全国初中数学竞赛各省市试题汇编重排版
目录
一2012广东初中数学竞赛预赛1
二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案(河南赛区)4
三2012年北京市初二数学竞赛试题9
四2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)10
五2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考答案13
六2012年全国初中数学竞赛试卷答案(福建赛区)14
七2012年全国初中数学竞赛试题19
八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷20
九2012年全国初中数学联赛(浙江赛区)试题及参考答案26
十2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷28
十一2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】29
十二2012届湖北省黄冈地区九年级四科联赛数学试题34 十三2012年全国初中数学竞赛试题(副题)38
十四2012年全国初中数学竞赛试题(副题)参考答案40
十五2012年全国初中数学竞赛试题(正题)49
十六2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案54 小贴士:word目录发生下列问题ctrl+左键显示“由于本机的限制,该操作已被取消,请与系统管理员联系”请按下列步骤自行解决
1.开始,运行里输入regedit,回车
2.在注册表中,找到
HKEY_CURRENT_USERSoftwareClasses.html项
3.在默认项上点右键选择修改
4.将Max2.Association.HTML改为Htmlfile,确认,然后退出注册表
5.重启正在使用的Office程序,然后再次点Office里面超链接,ok了
一2012广东初中数学竞赛预赛
二2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案(河南赛区)
一、选择题(共6小题,每小题6分,共36分.
1.在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】
(A)2,3,1(B)2,2,1(C)1,2,1(D)2,3,2
【答】A.解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3.
2.已知一次函数的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【】(A)(B)(C)(D)
【答】C.解:一次函数的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y轴的交点位于y轴的正半轴,且y随x的增大而增大,所以解得.
3.如图,在⊙O中,,给出下列三个
结论:(1)DC=AB;(2)AO⊥BD;(3)当∠BDC=30°时,∠DAB=80°.其中正确的个数是【】
(A)0(B)1
(C)2(D)3
【答】D.解:因为,所以DC=AB;因为,AO是半径,所以AO⊥BD;设∠DAB=x度,则由△DAB的内角和为180°得:,解得.
4.有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从
中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【】(A)(B)(C)(D)
【答】B.解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4种可能,所以摸出花色不一样的概率是.
5.在平面直角坐标系中,点A的坐标是,点B的坐标是,点C是y轴上一动点,要使△ABC为等腰三角形,则符合
要求的点C的位置共
有【】(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个
【答】D.解:由题意可求出AB=5,如图,以点A为圆心AB
的长为半径画弧,交y轴于C1和C2,利用勾股定理可求出OC1=OC2=,可得,
以点B为圆心BA的长为半径画弧,交y轴于点C3和C4,可得,AB的中垂线交y轴于点C5,利用
三角形相似或一次函数的知识可求出.
6.已知二次函数(为常数),当取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型
抛物线),这条抛物线的解析式是【】
(A)(B)
(C)(D)
【答】A.解:的顶点坐标是,设,,由得,所以.
二、填空题(共6小题,每小题6分,共36分)7.若,则的值为.
【答】7.解:.
8.方程的解是.
【答】.解:
.∴,解得.
9.如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标是(1,0),若点A的坐标为(a,b),将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段,则点的坐标是.
【答】.解:分别过点A、作x轴的垂线,垂足分别
为C、D.显然Rt△ABC≌Rt△BD.由于点A的
坐标是,所以,,所以点的坐标是.
10.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=3,AM=1,是以点A
为圆心2为半径的圆弧,是以点M为圆心2为半径的圆弧,则图中两段弧之间的阴影部分的面积为.
【答】2.解:连接MN,显然将扇形AED向右平移
可与扇形MBN重合,图中阴影部分的面积等于
矩形AMND的面积,等于.
11.已知α、β是方程的两根,则的值为.
【答】.解:∵α是方程的根,∴.
∴,又∵
∴=.
12.现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有个.
【答】36.解:利用抽屉原理分析,设最多有x个小朋友,这相当于x个抽屉,问题变为把145颗糖放进x个抽屉,
至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则≤145,解得≤36,所以小朋友的人数最多有36个.
三、解答题(第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分)
13.王亮的爷爷今年(2012年)80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可
能是多少周岁?
解:设王亮出生年份的十位数字为,个位数字为(x、y
均为0~9的整数).∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前.故应分两种情况:…………………2分
(1)若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为,依题意,得,
整理,得x、y均为0~9的整数,
∴此时
∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁.…………………8分
(2)若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为,依题意,得,
整理,得,故x为偶数,又
∴∴此时
∴王亮的出生年份是1987年,今年25周
岁.…………………14分
综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁.……………15分
14.如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A、B的坐标分别是、,点D在线段OA上,BD=BA,点Q 是线段BD上一个动点,点P的坐标是,设直线PQ的解析式为.
(1)求k的取值范围;
(2)当k为取值范围内的最大整数时,若抛物线的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部,求a的取值范围.
解:(1)直线经过P,∴.
∵B,A,BD=BA,∴点D的坐标是,
∴BD的解析式是,
依题意,得,∴
∴解得……………………………………………7分
(2)且k为最大整数,∴.
则直线PQ的解析式为.……………………………………………9分
又因为抛物线的顶点坐标是,对称轴为.
解方程组得即直线PQ与对称轴为的交点坐标为,
∴.解得.……………………………………15分
15.如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°.点B是上一动点,
BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q.(1)求证:四边形EPGQ是平行四边形;(2)探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;(3)连结PQ,试说明是定值.
解:(1)证明:如图①,
∵∠AOC=90°,BA⊥OM,BC⊥ON,
∴四边形OABC是矩形.
∴.
∵E、G分别是AB、CO的中点,

∴四边形AECG为平行四边形. ∴……………………………4分
连接OB,
∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,∴GF∥OB,DE∥OB,∴PG∥EQ,
∴四边形EPGQ是平行四边形.………………………………………………6分
(2)如图②,当∠CED=90°时,□EPGQ是矩形.
此时∠AED+∠CEB=90°.
又∵∠DAE=∠EBC=90°,∴∠AED=∠BCE.
∴△AED∽△BCE.………………………………8分
∴.
设OA=x,AB=y,则∶=∶,得.…10分
又,即.
∴,解得.
∴当OA的长为时,四边形EPGQ是矩形.………………………………12分
(3)如图③,连结GE交PQ于,则.过点P作OC的平行线分别交BC、GE于点、.
由△PCF∽△PEG得,
∴==AB,=GE=OA,
∴.
在Rt△中,,
即,又,
∴,
∴.……………………………………18分
三2012年北京市初二数学竞赛试题
.选择题(每小题5分,共25分)
.方程|2x-4|=5的所有根的和等于().
A.-0.5B.4.5C.5D.4
.在直角坐标系xOy中,直线y=ax+24与两个坐标轴的
正半轴形成的三角形的面积等于72,则不在直线y=ax
+24上的点的坐标是().
A.(3,12)B.(1,20)C.(-0.5,26)D.(-2.5,32) .两个正数的算术平均数等于,它们乘积的算术平方根
等于,则期中的大数比小数大().A.4B.C.6D.3
.在△ABC中,M是AB的中点,N是BC边上一点,且CN =2BN,连接AN与MC交于点O,四边形BMON的面积为
14cm2,则△ABC的面积为().
A.56cm2B.60cm2C.64cm2D.68cm2
.当a=1.67,b=1.71,c=0.46时,等于().
A.20B.15C.10D.5.55
.填空题(每小题7分,共35分)
.计算:1×2-3×4+5×6-7×8+…+2009×2010-2011×2012=___.
.由1到10这十个正整数按某个次序写成一行,记为a1,a2,…,a10,S1=a1,S2=a1+a2,…,S10=a1+a2+…+a10,则在S1,S2,…,S10中,最多能有__个质数.
.△ABC中,AB=12cm,AC=9cm,BC=13cm,自A分别
作∠C平分线的垂线,垂足为M,作∠B的平分线的垂线,垂足为N,连接MN,则____.
.实数x和y满足x2+12xy+52y2-8y+1=0,则x2-
y2=___.
.P为等边△ABC内一点,AP=3cm,BP=4cm,CP=5cm,则四边形ABCP的面积等于__cm2.
(满分10分).求证:对任意两两不等的三个数a,b,c,是常数.
(满分15分).已知正整数n可以表示为2011个数字和相同的自然数之和,同时也能表示为2012个数字和相同的
自然数之和,试确定n的最小值.
(满分15分).如图,在△ABC中,∠ABC=∠BAC=70°,P为形内一点,∠PAB=40°,∠PBA=20°,求证:PA
+PB=PC.
四2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷
(本试卷共4页,满分120分,考试时间:3月11日
8:30——10:30)
一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)
1、下列运算正确的是()
A.x2‧x3=x6B.2x3x=5x2C.(x2)3=x6D .x6x2=x3
2、有大小两种游艇,2艘大游艇与3艘小游艇一次可载
游客57人,3艘大游艇与2艘小游艇一次可载游客68人,则3艘大游艇与6艘小游艇一次可载游客的人数为()A.129B.120C.108D.96
3、实数a=20123-2012,下列各数中不能整除a的是()A.2013B.2012C.2011D.2010
4、如图1所示的两个圆盘中,指针落在每一个数所在的区域上的机会均等,则两个指针同时落在数“1”所在的区域上的概率是()
A.B.C.D.
5、一辆公共汽车从车站开出,加速行驶一段时间后匀速行驶,过了一段时间,汽车到达下一个车站.乘客上下
车后汽车开始加速,一段时间后又开始匀速行驶,下面
可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的
图象是()
6、要使有意义,则的取值范围为
A.B.C.D.
7、菱形的两条对角线之和为L、面积为S,则它的边长
为()
A.B.C.D.
8、如图2,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC 边上的点F处,
且DE∥BC,下列结论中,一定正确的个数是()
①△CEF是等腰三角形②四边形ADFE是菱形
③四边形BFED是平行四边形④∠BDF+∠CEF=2∠A
A.1B.2C.3D.4
9、如图3,直线x=1是二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴,则有()
A.a+b+c=0B.b>a+cC.b=2aD.abc>0
10、铁板甲形状为直角梯形,两底边长分别为4cm,
10cm,且有一内角为60°;铁板乙形状为等腰三角形,
其顶角为45°,腰长12cm.在不改变形状的前提下,试图分别把它们从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过,结果
是()
A.甲板能穿过,乙板不能穿过B.甲板不能穿过,乙板
能穿过
C.甲、乙两板都能穿过D.甲、乙两板都不能穿过
二、填空题(本大题满分40分,每小题5分)
11、x与y互为相反数,且,那么的值为__________.
12、一次函数y=ax+b的图象如图4所示,则化简得
________.
13、若x=-1是关于x的方程a2x2+2011ax-2012=0的一个根,则a的值为__________.
14、一只船从A码头顺水航行到B码头用6小时,由B
码头逆水航行到A码头需8小时,则一块塑料泡沫从A
码头顺水漂流到B码头要用______小时(设水流速度和船在静水中的速度不变).
15、如图5,边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O,
过点O的直线分别交AD、BC于E、F,则阴影部分的面积是.
16、如图6,直线l平行于射线AM,要在直线l与射线AM上各找一点B和C,使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形,这样的三角形最多能画_______个.17、如图7,△ABC与△CDE均是等边三角形,若
∠AEB=145°,则∠DBE的度数是________.
18、如图8所示,矩形纸片ABCD中,AB=4cm,BC=3cm,把∠B、∠D分别沿CE、AG翻折,点B、D分别落在对角
线
AC的点B'和D'上,则线段EG的长度是________.
三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)
19、某市道路改造工程,如果让甲工程队单独工作,需
要30天完成,如果让乙工程队单独工作,则需要60天方可完成;甲工程队施工每天需付施工费2.5万元,乙工
程队施工每天需付施工费1万元.请解答下列问题:
(1)甲、乙两个工程队一起合作几天就可以完成此项工程?
(2)甲、乙两个工程队一起合作10天后,甲工程队因另有任务调离,剩下的部分由乙工程队单独做,请问共需
多少天才能完成此项工程?
(3)如果要使整个工程施工费不超过65万元,甲、乙两
个工程队最多能合作几天?
(4)如果工程必须在24天内(含24天)完成,你如何
安排两个工程队施工,才能使施工费最少?请说出你的
安排方法,并求出所需要的施工费.
20、如图9,四边形ABCD是矩形,点P是直线AD与BC
外的任意一点,连接PA、PB、PC、PD.请解答下列问题:(1)如图9(1),当点P在线段BC的垂直平分线MN上(对角线AC与BD的交点Q除外)时,证明△PAC≌△PDB;(2)如图9(2),当点P在矩形ABCD内部时,求证:PA2+PC2=PB2+PD2;
(3)若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中,点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3),如图9(3)所示,设△PBC的面积为y,△PAD的面积为x,求y与x之间的函数关系式.
五2012年全国初中数学竞赛(海南赛区)初赛试卷参考
答案
一、选择题(本大题满分50分,每小题5分)
题号12345678910
答案CDDACBABDB
7、提示:可设菱形的两条对角线长分别为a、b,利用
对角线互相垂直进行解答.
9、分析:由函数的图象可知:当x=1时有a+b+c<0,当
x=-1时有a-b+c>0,即a+c>b,即b<a+c,函数的对
称轴为,则b=-2a,因为抛物线的开口向上,所以a>0,抛物线与y轴的交点在负半轴,所以c<0,由b=-
2a可得b<0.所以abc>0,因而正确答案为D
10、分析:分别计算铁板的最窄处便可知,如图A,直
角梯形,AD=4cm,BC=10cm,∠C=60°,过点A过AE//CD,交BC于点E,过点B作BE⊥CD于点F,可求得AB=cm>8.5cm,BE=cm>8.5cm铁板甲不能穿过,如图B,等腰
三角形ABC中,
顶角∠A=45°,作腰上的高线BD,可求得BD=cm<8.5cm,所以铁板乙可以穿过;所以选择B
二、填空题(本大题满分40分,每小题5分)
11、12、a+113、a1=2012,a2=-114、48
15、单位面积16、3个17、85°18、
17、分析:易证△CEA与△CDB全等,从而有
∠DBC=∠EAC,因为,
∠ABE+∠BAE=180°-145°=35°所以有
∠EAC+∠EBC=120°-35°=85°,
所以∠EBD=∠EBC+∠DBC=85°
18、分析:AB=4cm,BC=3cm,可求得AC=5cm,由题意
可知
CB'=BC=3cm,AB'=2cm设BE=x,则AE=4-x,则有
(4-x)2-x2=22,
x=1.5cm,即BE=DG=1.5cm,过点G作GF⊥AB于点F,则
可求出EF=1cm,所以EG=
三、解答题(本大题满分30分,每小题15分)
19、本题满分15分,第(1)、(2)、(3)小题,每小题4分,第(4)小题3分.
解:(1)设甲、乙两个工程队一起合作x天就可以完成
此项工程,依题意得:
,解得:x=20答:甲、乙两个工程队一起合作20天就可以完成此项工程.
(2)设完成这项道路改造工程共需y天,依题意得:,
解得y=40。

答:完成这项道路改造工程共需40天.另:也可列方程:(3)因为甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元,乙工程队单独完成工程需1×60=60万元,要想使施工费尽
可能少,甲工程队要少参与,即合作的时间要尽可能少,剩下的由乙单独完成,设甲、乙两个工程队合作a天,
则由题意可知乙工程队还需单独做(60-3a)天,得:
(1+2.5)a+1×(60-3a)≤65
3.5a+60-3a≤65a≤10答:甲、乙两个工程队最多能合
作10天.
(4)由题意知,甲、乙两个工程队单独做都不可能在规
定时间内完成,必须合作,又甲工程队单独完成工程需2.5×30=75万元,乙工程队单独完成工程需1×60=60万元,75>60,因而应安排乙工程队在工程期限内尽可能多做,即做满24天。

设应安排他们合作m天,由题意可得:
解得:m=18.即,安排甲、乙两工程队合作18天,剩下的部分乙工程队单独做6天.施工费为:
2.5×18+1×24=69(万元).
20、本题满分15分,第(1)、(2)、(3)小题各5分.
解:(1)作BC的中垂线MN,在MN上取点P,连接PA、PB、PC、PD,
如图9(1)所示,∵MN是BC的中垂线,所以有PA=PD,PC=PB,
又四边形ABCD是矩形,∴AC=DB
∴△PAC≌△PDB(SSS)
(2)证明:过点P作KG//BC,如图9(2)
∵四边形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,DC⊥BC
∴AB⊥KG,DC⊥KG,∴在Rt△PAK中,PA2=AK2+PK2
同理,PC2=CG2+PG2;PB2=BK2+PK2,PD2=+DG2+PG2
PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2,,
PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2
AB⊥KG,DC⊥KG,AD⊥AB,可证得四边形ADGK是矩形,∴AK=DG,同理CG=BK,
∴AK2=DG2,CG2=BK2∴PA2+PC2=PB2+PD2
(3)∵点B的坐标为(1,1),点D的坐标为(5,3)∴BC=4,AB=2∴=4×2=8
作直线HI垂直BC于点I,交AD于点H
①当点P在直线AD与BC之间时
即x+y=4,因而y与x的函数关系式为y=4-x
②当点P在直线AD上方时,
即y-x=4,因而y与x的函数关系式为y=4+x
③当点P在直线BC下方时,
即x-y=4,因而y与x的函数关系式为y=x-4
六2012年全国初中数学竞赛试卷答案(福建赛区)一、选择题(每小题7分,共35分)
1.如果实数,,在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为(C)
A.B.C.D.
解:由实数,,在数轴上的位置可知,且,所以
2.在平面直角坐标系中,满足不等式的整数点坐标的个数为(B)A.10B.9C.7D.5
解:由题设,得.因为,均为整数,所以有
,,,
解得,,,,,,,,,以上共计9对
3.如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.,AD=3,BD=5,则CD的长为(B)A.B.4C.D.解:如图,以CD为边作等边△CDE,连接AE.由于AC=BC,CD=CE,

所以△BCD≌△ACE,BD=AE.又因为,所以.
在△中,,于是DE=,所以CD=DE=4.
4.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小
倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是(D)A.1B.2C.3D.4
解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,均为非负整数.
由题设可得.消去x得,,.
因为为正整数,所以的值分别为1,3,5,15.y的值只
能为4,5,6,11.
从而n的值分别为8,3,2,1.所以x的值分别为14,7,6,7.
5.黑板上写有共100个数字.每次操作先从黑板上的数
中选取2个数,然后删去,并在黑板上写上数,则经过
99次操作后,黑板上剩下的数是(C)
A.2012B.101C.100D.99
解:因为,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变.
设经过99次操作后黑板上剩下的数为,则,
解得,,.
二、填空题(每小题7分,共35分)
6.按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487?”为一次操作.如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是.
解:前四次操作的结果分别为
,,,.由已知得,.解得.
容易验证,当,,,故x的取值范围是.
7.如图,⊙的半径为20,是⊙上一点.以为对角线作矩形,且.延长,与⊙分别交于两点,则的值等于.解:如图,设的中点为,连接,则.
因为,所以,


8.如果关于x的方程的两个实数根分别为,,那么的值为.
解:根据题意,关于x的方程有,由此得.
又,所以,.
此时方程为,解得.故
9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分
规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分.比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且
平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为8.
解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知.由此得.又,所以.
于是,.
由此得或.
当时,,;当时,,,.不合题设.故.
10.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,.分别
延长,,交点为.作,并与的延长线交于点.若,,则
的长为.
解:如图,连接,,.由是⊙O的直径知.
依题设,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
所以.所以,因此.
因为是⊙O的半径,,
所以垂直平分,,于是.
因此.由,知.
因为,所以,.
故.
三、解答题(每题20分,共80分)
11.如图,在平面直角坐标系中,,,.与轴交于点,且.已知经过B,C,E三点的图象是一条抛物线,求这条抛物线对应的二次函数的解析式.
解:因为sin∠ABC=,,所以AB=10.
由勾股定理,得.易知,
因此CO=BO=6.于是,,.
设点D的坐标为.由,得.
所以,.解得.
因此D为AB的中点,点D的坐标为.因此CD,AO分别为AB,BC的两条中线,
点E为△A BC的重心,所以点E的坐标为.
设经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.将点E的坐标代入,解得a=.故经过B,C,E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为.
12.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.
求证:(1)OI是△IBD的外接圆的切线;(2).
解:(1)如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知
,.
所以,CI=CD.
同理,CI=CB.故点C是△IBD的外心.连接OA,OC,因
为I是AC的中点,
且OA=OC,所以OI⊥AC,即OI⊥CI.故OI是△IBD外接
圆的切线.
(2)如图,过点I作IE⊥AD于点E,设OC与BD交于点F.
由,知OC⊥BD.
因为∠CBF=∠IAE,BC=CI=AI,所以.所以BF=AE.
又因为I是△ABD的内心,所以.
故.
13.已知整数,满足:是素数,且是完全平方数.当时,求的最小值.
【解答1】设(是素数),(n是正整数).
因为,所以,.
因为与都是正整数,且(m为素数),
所以,.
解得,.于是.又,即.
又因为m是素数,解得.此时,=2025.当时,,,.因此,a的最小值为2025.
【解答2】设(是素数),(n是非负整数)。

由于,,,,,
因此,,,,,都不是质数。

5分
由于,且不能被2,3,4,…,44整除,
因此,是质数。

…………10分
(1)当,即时,由以及是素数知,的最小值为。

…………15分
(2)当时,,,
由于,,,都不是质数,而2017是质数。

当时,,不是完全平方数。

所以,此时。

由(!)、(2)可知,的最小值为。

……………20分14.将()任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数(可以相同)使得,求的最小值.
解:当时,把分成如下两个数组:和.
在数组中,由于,所以其中不存在数,使得.
在数组中,由于,所以其中不存在数,使得.
所以,.
下面证明当时,满足题设条件.不妨设2在第一组,若
也在第一组,则结论已经成立.故不妨设在第二组.同
理可设在第一组,在第二组.
此时考虑数8.如果8在第一组,我们取,此时;如果8
在第二组,我们取,此时.综上,满足题设条件.所以,的最小值为.
注:也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况
得到n最小值为65536.
七2012年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.
1.如果那么的值为().
(A)(B)(C)(D)
2.在平面直角坐标系xOy中,满足不等式≤2x+2y的整数点坐标(x,y)的个数为()(A)10(B)9(C)8(D)7
3.如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().
(A)1(B)(C)(D)
4.如果关于x的方程(p、q是正整数)的正根小于3,那么这样的方程的个数是().(A)5(B)6(C)7(D)8
5.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,则中最大的是().
(A)(B)(C)(D)
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6.如果a、b、c是正数,且满足,,那么
的值为.
7.如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC
的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则△DMN的面积是.
8.如果关于x的方程x2+kx+k2-3k+=0的两个实数根分别为,,那么的值为.
9.2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场.记分
规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分.比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为.
10.已知n是偶数,且1≤n≤100,若有唯一的正整数对(a,b)使得成立,则这样的n的个数为.
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.二次函数,当时,恒有;关于x的方程的两个实数
根的倒数和小于.求的范围.
12.如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:
(1)OI是△IBD的接圆的切线;
(2)AB+AD=2BD.
13.已知整数a,b满足:a-b是素数,且ab是完全平
方数.当a≥2012时,求a的最小值.
14.将2,3,…,n(n≥2)任意分成两组,如果总可以
在其中一组中找到数a,b,c(可以相同)使得,求n的最小值.
八2012年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试卷
一、选择题
⑴若四个互不相等的正实数满足,,则的值为()
⑵一个袋子中装有个相同的小球,它们分别标有号码.摇匀后随机取出一球,记下号码后放回;再将小球摇匀,并从袋中随机取出一球,则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为()
⑶如图,矩形纸片中,,,将其折叠,使点与点重合,得折痕,则的长为()(A)(B)(C)(D)
⑷在正就变形中,若对角线,则的值等于()
(A)(B)(C)(D)
⑸有个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动,规定每人至少参加1项比赛,至多参加2项比赛,但乙、丙两项比赛不能同时兼报,若在所有的报名方式中,必存在一种方式至少有20个人报名,则的最小值等于()()171()172()180()181
二、填空题
⑹若,则的值为
⑺若四条直线所围成的凸四边形的面积等于,则的值为__________.
⑻如图,半径为的沿折线作无滑动的滚动,如果,,那么,自点至点转动了__________周.
(9)如图,已知中,为中点,为边三等分点,分别交于点,则等于¬____若平面内有一正方形,是该平面内任意点,则的最小值为______.
三、解答题
⑾已知抛物线经过点,且与轴交于两点,若点为该抛物
线的顶点,求使面积最小时抛物线的解析式。

⑿如图,分别以边长1为的等边三角形的顶点为圆心,
以其边长为半径作三个等圆,得交点,连接交于点,以
点为圆心,长为半径画弧,交边于点,求的长。

⒀已知与同为质数,求的值。

⒁已知关于的不等式组的解集中的整数恰好有2个,求
实数的取值范围。

答案及详解
1、答案:。

可将与看做方程的两个解,则化为,因为,所以原式
2、答案:D。

可以分四种情况讨论:若第一次抽出1号球,则第二次抽出任一球都可满足条件,概率为;若第
一次抽出2号球,则第二次抽出号球可满足要求,概率为;若第一次抽出3号球,则第二次抽出号球可满足要求,概率为;若第一次抽出4号球,则第二次抽出4号球
可满足要求,概率为;加和得到最后概率为
3、答案:。

因为,所以,根据勾股定理得到,得到,易得,过点作于,,
4、答案:。

如图,设为正九边形的中心,连结,则,,
又易得,,在上截取连结,,,,又,,,又
5、答案:。

对于一个人来说,他的报名方式有两种:报
一项或两项。

报一项比赛的方式有4种,报两项比赛的
方式有种,每个人报名方式有9种,要求有20人相同,
可以让每一种方式都有19个人,然后只要任意一种再加
一个人即可。

所以应该为
6、答案:。

,展开后,,即,,
7、答案:或。

无论为正或负,围成的图形均为直角梯形
或直角三角形,面积都等于中位线乘以高,高为4,则
中位线为3。

中位线一定在这条直线上,则可得到中点
坐标为或,则代入得到或
8、答案:。

的长度刚好为圆的一个周长,4段线段长度
和为4倍周长,也就是圆转了4周,但经过点从到时,从与相切到与相切转动了一个补角的度数,同理两点都要
转一个补角度数,总共转了,即周长
9、答案:。

如图,作,,,,,,,,,
10、答案:。

如图,通过勾股定理易得,,,,,,又,所以当最小时,这个值最小,所以当时最小,即点与点。

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