2025版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第1课时函数的零点与方程的解课件

3
= ln .作出函数 =
1
和
3
1
e
= ln 的图象如图所示.显然 = 在( ,1)内无零点，在 1, e 内
有零点.
1
e
1
3
1

（方法二）当 ∈ ( ,e)时，函数图象是连续的，且′ = − =
1
e
在( ，e)上单调递减.又
1
e
1
e
=
1
3e
1
3
−3
3
< 0，所以函数
10

− 的零点个数，即函数
10

图象的交点个数，作出图象如图所示.
10

，当
10
= 0时， = 0；当 = 10时，
= 1；当 > 10时， > 1.
所以在轴非负半轴上两个函数图象有4个交点.
由对称性，知在轴负半轴上两个函数图象有3个交点.
综上，函数 = sin −

的零点个数为7.故填7.
图4
变式1（1） 方程 2 = 4 − ln 的解所在的区间是(
A. 0,1
B. 1,2
√
C. 2,3
)
D. 3,4
解：令 = 2 − 4 + ln , > 0，易知 单调递增.又 1 = −3 < 0，
2 = ln 2 > 0，故其唯一零点在 1,2 内.故选B.
（2）设函数 =
√
∪
1
( ,+∞)
5
D. −∞, −1
解：显然 ≠ 0.因为 在 −1,1 上为单调函数，且在区间 −1,1 上存在一个零点，
所以 −1 1 < 0，即 + 1 −5 + 1 < 0，解得 >
1
或
5
< −1.故选B.
ln − , < 0,
（2）已知函数 = ቐ
若关于的方程 − − 1 = 0恰有三个不同
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）函数的零点就是函数的图象与轴的交点. ( × )
（2）函数 = 在区间 , 内有零点（函数图象连续不断），则 < 0.
( ×)
（3）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.
( ×)
（4）二次函数 = 2 + + ≠ 0 在 2 − 4 < 0时没有零点. ( √ )
可得 1 2 < 0，
所以函数的零点所在区间为 1,2 .故选B.
)
D. 3,4
2 + 2 − 3, ≤ 0,
4.函数 = ቊ
的零点个数为(
−2 + ln , > 0
A.0
B.1
)
C.2
√
≤ 0,
解：由ቊ 2
得 = −3.
+ 2 − 3 = 0,
> 0,
2 = ln 2 − 2 < 0， 3 = ln 3 − 1 > 0，所以函数的零点所在的区间是 2,3 .故选B.
（2）若 < < ，则函数 = − − + − − + − − 的
两个零点分别位于区间 (
A. , 和 , 内
若关于的方程 + − = 0有且只有一个实
3 , ≤ 0,
1, +∞
数根，则实数的取值范围是________．
解：由题意，知函数 = 的图象与 = − + 的图象有且只有一个交点.如图，结
合函数图象，可知 > 1,故填 1, +∞ .
【点拨】 含参的零点分布问题，通常考虑分离参数，将零点问题转化为两个函
（2）偶函数 满足 − 1 = + 1 ，且在 ∈ [0,1]时， = ，则关于的
3
方程 = lg 在[0,4]上的解的个数是___.
解：由 − 1 = ( + 1)，得 = + 2 ，所以函数
是周期为2的周期函数.又函数 为偶函数，且在 ∈ [0,1]
=0
（1）零点的定义:对于一般函数 = ，我们把使_________的实数叫做函数
零点
= 的______.
实数解
（2）方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系:方程 = 0有________
公共点
⇔ 函数 = 有零点⇔ 函数 = 的图象与轴有________.
< 0
①确定零点0 的初始区间[, ]，验证______________.
②求区间 , 的中点.
③计算 ，并进一步确定零点所在的区间：
i 若 = 0（此时0 = ），则就是函数的零点；
ii 若 < 0（此时0 ∈ , ），则令 = ；
(
)
A. 1,3
B. 1,2
C. 0,3
√
D. 0,2
解：因为函数 在区间 1,2 上单调递增，且一个零点在区间 1,2 内，所以 1 < 0
且 2 > 0，即ቊ
− < 0,
所以0 < < 3.故选C.
3 − > 0.
log 2 , > 0,
（2）已知函数 = ቊ
iii 若 < 0（此时0 ∈ , ），则令 = .
− <
④判断是否达到精确度：若___________，则得到零点近似值（或）；否则重
复步骤②～④.
常用结论
零点相关结论
（1）对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，
也可能有零点.
（2）周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点.
√
C. , 和 , +∞ 内
)
B. −∞, 和 , 内
D. −∞, 和 , +∞ 内
解：易知 = − − ， = − − ， = − − .因为
< < ，所以 > 0， < 0， > 0.又该函数是二次函数，且图象开口向
由ቊ
得 = e2 .所以 的零点个数为2.故选C.
−2 + ln = 0,
D.3
考点一 判断函数零点所在区间
例1（1） 函数 = ln
2
−
−1
A. 1,2
B. 2,3
√
解：函数 = ln
2
−
在
−1
> 1 的零点所在的区间是 (
C. 3,4
)
D. 4,5
1, +∞ 上单调递增，且在 1, +∞ 上连续.因为
2.用二分法求方程的近似解
（1）二分法:对于在区间[, ]上图象连续不断且 < 0的函数 = ，
通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进
而得到零点近似值的方法叫做二分法.
（2）给定精确度，用二分法求函数 = 零点0 的近似值的一般步骤如下：
1
3
+ 1 > 0， 1 = > 0， e = e − 1 < 0，
所以函数在区间( ，1)内无零点，在区间 1, e 内有零点．故选D.
考点二 零点个数的判断
例2（1） 函数 = sin −
解：函数 = sin
= sin 与 =
对于函数 =
=
10
10

7
的零点个数为___．
连续不
（3）函数零点存在定理:如果函数 = 在区间[, ]上的图象是一条________
<0
断
___的曲线，且有_____________，那么，函数
= 在区间 , 内至少有一个零
点，即存在 ∈ , ，使得 = 0，这个也就是方程 = 0的解.
1

3
− ln ，则函数 = (
1
e
A.在区间( ,1)， 1, e 内均有零点
1
B.在区间( ,1)，
e
1, e 内均无零点
1
e
C.在区间( ,1)内有零点，在区间 1, e 内无零点
1
e
D.在区间( ,1)内无零点，在区间 1, e 内有零点
√
)
解：（方法一）令 =
1
0，得
（5）已知函数 在[, ]内图象连续且单调,若 < 0，则函数 在[, ]上
有且只有一个零点. ( √ )
2.下列函数的图象均与轴有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是(
A.
B.
√
C.
)
D.
解：利用二分法求函数图象与轴交点的横坐标,该函数的零点必须是变号零点，所以
2.7 函数的应用
第1课时 函数的零点与方程的解
1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求
方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用
二分法求方程近似解具有一般性.
【教材梳理】
1.函数的零点与方程的解
时， + 1 > 2 2，解得 > 2 2 − 1.
所以实数的取值范围为 2 2 − 1, +∞ .故选C.
D. 2 2, +∞
课外阅读·二次方程根的分布
设1 ,2 是实系数一元二次方程 2 + + = 0 > 0 的两个不同实数根，则1 ,2
时， = ，则函数 与 = lg 的图象如图所示.
对于 = lg ，有lg 10 = 1,当 > 10时， = lg 的图象才会在直线 = 1的上方.易知
两函数图象有3个交点，故关于的方程 = lg 的解的个数是3.故填3.
考点三 函数零点的应用
2

例3（1） 函数 = 2 − − 的一个零点在区间 1,2 内，则实数的取值范围是
10
（2）若定义在上的偶函数 满足 + 2 = ，当 ∈ [0,1]时， = ，则
函数 = − log 3 的零点个数是(
)
A.5
C.3
B.4
√
D.2
解：由题意，知 是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函
数 = 及 = log 3 的图象，如图所示.
的零点个数是___.
4 + 1, 2.
画出 与ℎ 的图象如图所示.
两图象有2个交点，则 有2个零点.
1
4
当 ≤ 0时，由4 + 1 = 0，得 = − .
综上,函数 的零点个数为3.故填3.
上，所以两个零点分别位于区间 , 和 , 内.故选A.
【点拨】 理解函数零点存在定理要注意三点.
①“函数 = 在区间[, ]上的图象是一条连续不断的曲线”和“ < 0”
这两个条件缺一不可.如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点.
图1
图2
②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，
但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件.如图3中
> 0，但函数有零点.
③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.至
图3
少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一
个零点，但不一定只有一个零点，可能有其他更多的零点，如图4.但若
该函数是单调函数，则有唯一零点.
数图象的交点问题，从而求解参数.分离参数的过程中需要考虑函数的实际情况拆分
成便于分析的两个函数.有时还可以通过画函数图象来解决参数问题.
变式3（1） 若函数 = 3 + 1 − 2在区间 −1,1 上存在一个零点，则实数的取
值范围是(
1
A.( ,+∞)
5
1
C.(−1, )
5
)
B. −∞, −1
观察图象，可以发现它们有4个交点，即函数 = − log 3
有4个零点.故选B.
【点拨】判断函数零点个数的主要方法：①解方程法；②数形结合法，即转化为
两个函数图象的交点个数；③零点存在性定理结合函数的性质.
ln − 2 + 2, > 0,
3
变式2（1） 函数 = ቊ
根据这个条件可知，不宜用二分法求交点横坐标的是选项C的图象.故选C.
3.函数 = e + 3 − 9的零点所在的区间为(
A. 0,1
B. 1,2
√
C. 2,3
解：函数 = e + 3 − 9是连续递增函数，
1 = e + 1 − 9 < 0， 2 = e2 + 8 − 9 > 0，
2
+ , > 0,

的实数解，则实数的取值范围是 (
)
A.(−∞, 2 2]
C. 2
√
B. −∞, 2 2 − 1
2 − 1, +∞
解： − − 1 = 0恰有三个不同的实数解等价于函数
= 的图象与直线 = + 1有三个交点.作出 的图象
如图所示.
由图，可知当 = 的图象与直线 = + 1有三个交点