高中数学第2章参数方程44.1平摆线4.2渐开线课件北师大版选修4_4

关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号)． ①只有圆才有渐开线； ②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所 以才得到了不同的图形； ③正方形也可以有渐开线； ④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出 的渐开线形状就不同．
[解析] 对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也 有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们 的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一 个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都 是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数)．
当 φ＝π2时，
x＝cosπ2＋π2sinπ2＝2π， y＝sin2π－π2cosπ2＝1，
所以 Aπ2，1. 当 φ＝32π时， x＝cos32π＋32π·sin32π＝－32π，
φ＋3φsin φ－3φcos
φ， φ
(φ 为参
数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．
[解析] 圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ
(φ 为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆
的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径 r＝3.
x＝21kπα－sinα，

y＝21kπ1－cosα
(α 为参数，k∈N＋)．
Baidu Nhomakorabea
根据圆的摆线的参数方程
x＝rα－sin α， y＝r1－cos α
(α 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆
线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径
唯一确定的．
[答案] 3
5．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大 时该平摆线的参数方程．
[解] 令 y＝0， 可得 r(1－cos α)＝0. ∵r＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(α－sin α)， 得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)．
又∵x＝2，∴r(2kπ－sin 2kπ)＝2，得 r＝k1π(k∈Z)． 又由实际可知 r＞0，所以 r＝k1π(k∈N＋)，易知当 k＝1 时，r 取 最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程
φ＋4φsin φ－4φcos
φ， φ
(φ 为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
________，当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是________．
[解析] 所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝4cos φ＋φsin φ， y＝4sin φ－φcos φ，
所以基圆半径 r＝4.然后把 φ＝π2代入方程，

y＝sin32π－32π·cos32π＝－1， 所以 B 点坐标为－32π，－1.
所以|AB|＝ ＝2 π2＋1.
π2＋32π2＋1＋12
利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数 方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求．
2．给出圆的渐开线的参数方程xy＝ ＝44csions
C．(6，－12π)
D．(－π，12π)
[解析] 当 φ＝2π 时，代入圆的渐开线方程． ∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6， y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
[答案] C
3．半径为 3 的圆的平摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标
可能是( )
A．π
B．2π
x＝1πα－sin α， y＝1π1－cos α
(α 为参数)．
教材整理 2 渐开线的参数方程
1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头 __离__开__圆__周__，保持线与圆相切， 线头 的轨迹就叫作圆的渐开线，相 应的 定圆 叫作渐开线的 基圆 ．
2．设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是 x＝rcos φ＋φsin φ， _y_＝__r_s_i_n_φ_－__φ_c_o_s__φ_____(φ__是__参__数__)_．
圆的渐开线参数方程及其应用
【例 2】 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的 曲线上两点 A，B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离．
[精彩点拨] 根据渐开线的参数方程，分别求出 A，B 两点的坐 标，再由 A，B 两点间的距离公式求出．
[尝试解答] 由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
可得x＝4cosπ2＋π2sinπ2， y＝4sinπ2－π2cosπ2，
即xy＝ ＝24π. ，
所以当参数 φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4)．
[答案] 4 (2π，4)
当堂达标 固双基
1．给出下列说法： ①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程； ②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普 通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方 程研究圆的渐开线问题． ③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标 轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
1．平摆线xy＝ ＝22α1－－csions
α， α
(0≤α≤2π)与直线 y＝2 的交点的直
角坐标是( )
A．(π－2,2)，(3π＋2,2)
B．(π－3,2)，(3π＋3,2)
C．(π，2)，(－π，2)
D．(2π－2,2)，(2π＋2,2)
[解析] y＝2 时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0. ∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π， ∴x1＝2π2－sinπ2＝π－2， x2＝232π－sin32π＝3π＋2. ∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选 A. [答案] A
④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
[解析] 结合圆的渐开线的知识可知②③正确．
[答案] C
2．当
φ＝2π
时，圆的渐开线xy＝ ＝66csions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
上的点是
() A．(6,0)
B．(6,6π)
第二章 参数方程
§4 平摆线和渐开线 4.1 平摆线 4.2 渐开线
学习目标：1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和 渐开线的参数方程．(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应 用．(重点)
自主预习 探新知
教材整理 1 平摆线及其参数方程 1．一个圆在平面上沿着一条定直线 无滑动地 滚动时，圆周上 _一__定__点__的__运__动__轨__迹__叫作平摆线，简称摆线，又叫作 旋轮线 ．
C．12π
D．14π
[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为
x＝3α－3sin α， y＝3－3cos α
(α 为参数)．把 y＝0 代入可得 cos α＝1，所以 α＝
2kπ(k∈Z)．而 x＝3α－3sin α＝6kπ(k∈Z)．故应选 C.
[答案] C
4．已知圆的渐开线的参数方程xy＝ ＝33csions
[答案] ③
合作探究 提素养
圆的平摆线参数方程及其应用
【例 1】 已知一个圆的平摆线过一定点(1,0)，请写出该平摆线 的参数方程．
[精彩点拨] 定点1，0 ―→ 滚动圆的半径 ―→ 平摆线的参数方程
[尝试解答] 令 r(1－cos α)＝0，可得 cos α＝1. ∴α＝2kπ(k∈Z)， ∴x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝21kπ. 又由题意可知，r 是圆的半径，故 r＞0. ∴应有 k＞0 且 k∈Z，即 k∈N＋. ∴所求平摆线的参数方程是
2．设圆的半径为 r，圆滚动的角为 α，那么摆线的参数方程是 _xy_＝＝__rr__α1_－－__csio_ns_α_α_，____(－__∞__<_α__<_＋__∞__)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆圈上一个定点的轨迹．( ) (2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方 程．( ) [答案] (1)√ (2)√