内蒙古科技大学线性代数考试标准答案及评分标准

内蒙古科技大学考试标准答案及评分标准
内蒙古科技大学2006 /2007 学年第二学期 课程名称：《线性代数》B 卷 考试班级：06级(本科) 工科各专业
课程号：10132105
考试方式： 闭卷
考试时间：2007年 月 日 时 分至 时 分 标准制订人 :何林山
一 填空（每空3分共24分）
1若A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=12
1001202300
2323
，则行列式|A|= 12 ，|T
A A|= 144 ；
2 向量组：),1,1,1(1=T
e )1,1,0(2=T
e ，)1,0,0(3
=T e 是线性 无 关的，而向量组：),1,1,1(1
=T
e )1,1,0(2=T
e ，)1,0,0(3
=T e ， ),,(321b b b T =β是线性 相 关的。

3 设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n a a a a ...............1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=n b b b 1
如果行列式|A|0≠，则秩R （A ，b ）= n ，并且非齐次线性方程组b Ax =有 唯一 解（填唯一或无穷多）。

4.设两向量：),1,4,2(),,2,1(-==T T x βα=x T T 线性相关，则，如果βα2
1
-
， =x T T 正交，则，如果βα 10 。

二 选择题（共4题，每题4分，共16分）
1 设A 是可逆n 阶方阵，下面结论不正确的是： B 。

A. 行列式0≠A
B. 相似于对角矩阵A
C. E BA B =使存在
D. A 的n 个列向量线性无关
2设A 、B 是已知的n 阶方矩阵，X 是未知矩阵，且|A|0≠ ，则矩阵方程AX=B 中的未知矩阵X= B 。

A.1-BA
B.B A 1-
C.A B 1-
D.1-A 3设齐次线性方程组O x A =⨯5４ 的基础解系含有2个向量， 则秩R （A ）= D 。

A.0
B. 1
C.2 D .3 .
4设A 是的矩阵，n m ⨯齐次线性方程组O Ax =只有零解的充要条件是 A A ． A 的n 个列向量线性无关 B. A 的n 个列向量线性相关 C. A 的m 个行向量线性无关 D. A 的m 个行向量线性相关 三 计算题（共2题，每题10分,共20分）
1设A ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=123120100 求 A+A T , 1-A 。

解
()分所以 分 ，
5001
021213131
00010212131310100010001001011110100020003001011101100020023001010100100120
123100010001123120100,5234340
400111220300123120100121312121323113 A E A A A r r r r r r r r r r T
⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+----↔
2 设,2001,1141⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=D P 矩阵A 由方程。

确定，求3
1A D AP P =- 分 于是其中））（）（（，得右乘两边左乘解　由10431211129363331114181321311141
3180011141114131114180012001400120012001200131
13
1
31113111 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=====---------A P D P PD PDP PDP PDP A PDP A P P D AP P
四 解答题（共2题，每题10分,共20分）
1 设向量组 ),01,2,1(1
，-=T α),10,1,2(2，-=T
α)13,0,1(3-=，T α,)1,6,4,0(-=T β 问T
T T T 3
21αααβ，，能否由线性表示？若能，求出表示式。

⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==+++-↔-+000011
00111001
211100440011100121423062201110012111106220423001
2111106301401
2012124231
21312322332211r r r r r r r r r r B x x x ，则增广矩阵
解　设βααα可以线性表示。

（（因为,3),,,),,321321==βααααααR R
分
所以102300001100
2010
300100001100201010210000110011100121321221323
1 αααβ++=⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-r r r r r r
2 λ为何值时齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+-=++03020
323
21321321x x x x x x x x x λ 有非零解，并且求全部解。

⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-−→−
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-=⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000210101000105032142440065032
1105065032111312321r r r A R A 为
上面代入齐次线性组有非零解。

）（时解　系数阵λλλλλλ,1212333231ξνξc x x x x x x =⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎩⎪
⎨⎧=-==，全部解取基础解为得其中c 为任意常数。

….10分
五（本题（1）4分，（2）10分，共14分）
设A= ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321120210002x x x x ，
()分
，
，），，（）解　（4422221202100021322
3222132132321321321 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Ax x T
+++=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，
(2) 解 求A 的特征值
[]
[]
3
210)2)(3)(1(32)2(4
)1()2(12
21000222==-==--+=---=---=---=
-λλλλλλλλλλλλ
λλ
λ，，得特征值E A
）。

（向量为的特征向量，全部特征也是，得基础解的系数阵
）　时对应的齐次方程（0
11100001100012202200030111≠-=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=--=k k E A x E A r ξλξλλ
）（向量为的特征向量，全部特征也是，得基础解的系数阵
）　时对应的齐次方程（0
200110001000030021000012021000020222≠=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-=k k E A x E A r r ξλξλλ
分）。

（向量为的特征向量，全部特征也是，得基础解的系数阵
）　时对应的齐次方程（100
311000011000122022000130333 ≠=⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-=k k E A x E A r ξλξλλ
六（本题6分）n 阶方阵A 的特征值,λ对应两个线性无关的特征向量是21p p 、， 证明212211,(k k p k p k +是不同时为零的任意常数）也是λ对应的特征向量。

分
对应的特征向量。

也是所以）（ ）（）（）（那么　，解　由题意知6211121112111211121112112
211 λλλλλλp k p k p k p k p k p k Ap k Ap k p k A p k A p k p k A p Ap p Ap ++=+=+=+=+==
内蒙古科技大学2007/2008学年第二学期《线性代数》考试试题
课程号：10132105
考试方式：闭卷
使用专业、年级：2007级工科各专业
任课教师：石萍，丁小丽，田红晓，张敏，张景，何莉敏，侯玉双,赵利云 一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分） 1. 排列1223341,1n n n a a a a a - 的符号为 （ ）
（A ） 1- （B ） 1+ （C ） ()1n
- （D ） ()
1
1n --
2.如果已知矩阵,()m n n m A B m n ⨯⨯≠，则下列（ ）运算结果不是n 阶矩阵.
（A ） BA （B ）AB （C ）()T BA （D ）T T A B
3. 向量组12: ,...(2)r A r ααα≥线性相关的充要条件是( )
（A ）A 中至少有一个零向量 （B ）A 中至少有两个向量成比例
（C ）A 中至少有一个向量可用其余向量线性表示 （D ）A 中至少有一部分线性相关 4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）
（A ）0A ≠ （B ）0A = （C ）A O ≠ （D ）A O =
5. 设1λ，2λ是对称阵A 的两个特征值，1p
，2p 是对应的特征向量，若（ ）时，则1p
与2p 正交
（A ）21λλ≠ （B ）21λλ= （C ）λ为任意实数 （D ）221λλ=
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 设A 为33⨯矩阵，B 为44⨯矩阵，且1,2,A B ==则B A =________
2. 设20210112001A -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则 1A -=________
3. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,0,2,1-，他们的代数余子式依次为4,7,3,5---，则D =
4. 已知4阶矩阵A 的秩r(A)=3,则齐次线性方程组=0Ax 的基础解系含____个线性无关的解向量；
5. 二次型222
12312323(,)2334f x x x x x x x x =+++的矩阵是_______
三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1. 0
000000000a
b
a b a b b a
.
2.已知行列式15781
111
20361234
D =
.计算：41424344A A A A +++的值 四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1.已知310121042A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,110230001B -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，求（1）T T B A （2）22A B -
2. 求解矩阵方程⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X
五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示
1α =1213⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2α =4156⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,3α =1347⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
,
六、计算题（14分）
1．求齐次线性方程组 123412341
23420
363051050
x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
+--=⎨⎪++-=⎩的通解
2．a 、b 取什么值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325
432154221334536223231 有解？对于有
解的情形，求出它的全部解。

七、计算题（10分）
设400031013A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求正交矩阵P,使得1P AP -=Λ
八、证明题（4分）
证明：若A 为非奇异对称矩阵，则T AA A
,1
-也为对称矩阵.
内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准
课程名称：《线性代数》(A 卷)
使用专业、年级：工科各专业，2007级
考试时间：2008年7月11日
标准制订人：公共数学教学部
一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）
1.下面结论一定正确的是( C )
（A ）若方阵A 的行列式0A =，则O A =（B ）若2
0A =，则O A = （C ）若A 为对称阵，则2
A 也是对称阵 （D ）对于任意的同阶方阵,A
B 有()()22A B A B A B +-=- 2.有矩阵322333,,A B
C ⨯⨯⨯,则下列运算可行的是（
D ） （A ） AC （B ） AB BC - （C ） CB （D ） BC
3.设有r 个n 维向量构成向量组12:,,,r A a a a
，下列叙述正确的是（ B ） （A ）若11220r r k a k a k a +++=
，则向量组A 线性相关； （B ）若对于任意一组不全为零的数12,,,r k k k ，
都有11220r r k a k a k a +++≠
，则向量组A 线性无关；
（C ）若向量组A 线性无关，则对于任意一组不全为零的数12,,,r k k k ，都有
11220r r k a k a k a +++=
； （D ）若120000r a a a +++=
，则向量组A 线性无关
4. n 阶矩阵A 与实对角阵相似的充要条件是（ B ）
（A ）A 为实对称矩阵 （B ）A 有n 个线性无关的特征向量 （C ）A 有n 个特征值 （D ）A 为零矩阵
5. 二次型22
1122
85f x x x x =+-的矩阵是（C ） （A ）122250200⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（B ）1265⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ （C ）1445⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ （D ）1715⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 已知12234451k i a a a a a 是五阶行列式中带正号的项，则i = 3 ，k = 5
2. 设A 为三阶行列式且2A =，则其伴随矩阵A *
= 4 .
3. 已知()()3,5,7,9,0,1,2,0αβ==
，且x 满足23x αβ-=
，
则x =
()2,3,4,6
4.若A B 且()3R A =，则()R B = 3 .
5.设12,,n λλλ 是n 阶矩阵A 的特征值，则A =
12n λλλ
三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1.
a
b a b b a b a a b a
b
+++
解：
()()()222a
b a b a b a b a b b a b a b a b a a b
a
b
a b
a
b
+++++=
+++
()()()
()()()
2233111111
2200222a b b a b a a b a a b
a b a b b a
a a b
a b a b a ab b b a
a b =++=+-+---=+=+-+---=-+
6分
2. 已知行列式10121
103
11101254D -=
-.计算：41424344A A A A +++的值 解：4142434410121
103
11101
111A A A A -+++=
101
2
10
1
2
10
1
2
011501150115010200170017010100160001
1
===
--------=- 6分
四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1. 已知103100021,021001301A B ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
求（1）T
T
B A （2）2
2
A B -
解：(1)1031001033020020040011311331T T
B A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3分
(2)22
103103100100021021021021001001301301A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
106100006043343300001601600⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3分 2. 已知AB B A -=，其中120210002B -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求A 解：由AB B A -=知：()A B E B -=
又020200001B E -⎡⎤
⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
且020********B E --==≠ 所以[][]11
1
002100200
1B E B E --⎡
⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-∃-=-
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦且 故[]110
021*********
0020
1A B B E -⎡
⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
=1
102110200
2⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
6分
五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及其一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示.
123411511123,,,31811397a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解：令()
1234
1151115111230274,,,31810274139704148a a a a ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
--⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
1151027400000000--⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
从行阶梯形中知向量组的秩()
1234,,,2R a a a a = 且其一个最大无关组为 12,a a
（答案不唯一） 5分
把行阶梯形进一步化为行最简形得
310
12
7012200000000⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 由行最简形知31241237,222a a a a a a =-=+
（不唯一） 3分
六、计算题（共2题，每题7分，共14分）
1．求齐次线性方程组123412341
23481020
245038620
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++-=⎨⎪++-=⎩ 的通解
解：1.由系数矩阵181021810
224
510201553862032248A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
104
018102310431014400000000⎛⎫-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
知()24R A =<，所以齐次线性方程组有无穷多解。

选择自由未知量34,x x
得同解方程组13
23443144
x x x x x =-⎧⎪
⎨=+⎪⎩ 令3142,x c x c ==
得通解：121212
344031(,)441001x x c c c c R x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
（答案不唯一） 7分 2．已知向量组123132:1,1,1023A a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，及向量507b ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
问向量b 能否由向量组123:,,A a a a
线性表示？若能，求出其表达式
解： ()
12313251325,,,1110043502370237a a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ～132502370039⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭
由于()()
123123,,,,,3R a a a R a a a b ==
所以，向量b
能否由向量组123:,,A a a a
线性表示；
假设存在一组数123,,λλλ使得123123x a x a x a b ++=
由于()()
123123,,,,,3R a a a R a a a b ==
，从而此方程组有唯一解
1232,1,3λλλ==-=；即12323b a a a =-+
7分
七、计算题（10分）
设矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=142252001A ，求：
（1）A 的特征值及特征向量；
（2）求相似变换矩阵P ，使得Λ=-AP P 1
（3）求k
A
解：（1）令()()2
100
2521302
4
1A E λ
λλ
λλλ
---=
---=---=--- 得特征值为1233,1λλλ=== 3分
当13λ=时，解齐次线性方程()30A E x -=
，由
2001003222011244000A E r -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
得对应13λ=的特征向量1011p ⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（答案不唯一）
当231λλ==时，解齐次线性方程()0A E x -=
，由
000121242000242000A E r -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
得对应231λλ==特征向量23211,001p p -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （答案不唯一）3分
（2）构造相似变换矩阵()
123021,,110101P p p p -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
使得
1300010001P AP -⎡⎤
⎢⎥=Λ=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（答案不唯一） 2分
（3）由（2）的结果知：1300010001P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且1
121111122P ---⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
所以，1
2
2
1
1
,,,k
k
A P P A P P A P P ---=Λ=Λ=Λ
故
10213
0012110011001011131231311010
011223123132k
k k k k k k k k
A P P -⎡⎤---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ=-=-+⨯--+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥--+⨯--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2分 八、证明题（4
分）
设方阵A 满足2
20A A E --=，证明A 可逆并求1
A -. 证明：
2202
A A E A E
A E
--=-∴= 从而A 可逆且1
2
A E
A
--=
内蒙古科技大学2007/2008学年第二学期《线性代数》考试试题
课程号：10132105
考试方式：闭卷
使用专业、年级：2007级工科各专业
任课教师：石萍，丁小丽，田红晓，张敏，何莉敏，侯玉双 一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分） 1.下面结论一定正确的是( )
（A ）若方阵A 的行列式0A =，则O A = （B ）若20A =，则O A =
（C ）若A 为对称阵，则2A 也是对称阵 （D ）对于任意的同阶方阵,A B 有()()22A B A B A B +-=-
2.有矩阵322333,,A B C ⨯⨯⨯,则下列运算可行的是（ ）
（A ） AC （B ） AB BC - （C ） CB （D ） BC
3.设有r 个n 维向量构成向量组12:,,,r A a a a
，下列叙述正确的是（ ）
（A ）若11220r r k a k a k a +++=
，则向量组A 线性相关； （B ）若对于任意一组不全为零的数12,,,r k k k ，都有11220r r k a k a k a +++≠
，
则向量组A 线性无关；
（C ）若向量组A 线性无关，则对于任意一组不全为零的数12,,,r k k k ，都有
11220r r k a k a k a +++=
；
（D ）若120000r a a a +++=
，则向量组A 线性无关 4. n 阶矩阵A 与实对角阵相似的充要条件是（ ）
（A ）A 为实对称矩阵 （B ）A 有n 个线性无关的特征向量 （C ）A 有n 个特征值 （D ）A 为零矩阵
5. 二次型22
112285f x x x x =+-的矩阵是（ ）
（A ）122250200⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（B ）1265⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ （C ）1445⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ （D ）1715⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ 二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 已知12234451k i a a a a a 是五阶行列式中带正号的项，则i = ，k =
2. 设A 为三阶行列式且2A =，则其伴随矩阵A *= .
3. 已知()()3,5,7,9,0,1,2,0αβ==
，且x 满足23x αβ-=
，则x = .
4.若A B 且()3R A =，则()R B = .
5.设12,,n λλλ 是n 阶矩阵A 的特征值，则A = . 三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1.a
b
a b b a b a a b a
b
+++.
2.已知行列式1
0121
103
11101254
D -=
-.计算：41424344A A A A +++的值 四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1.已知103100021,021001301A B ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
，求（1）T T B A （2）22A B - 2. 已知AB B A -=，其中120210002B -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，求A 五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及其一个最大无关组，并把不属于最大无关组的向量用最大无
关组线性表示. 123411511123,,,31811397a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
====
⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 六、计算题（共2题，每题7分，共14分）
1．求齐次线性方程组123412341
23481020245038620
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
++-=⎨⎪++-=⎩ 的通解
2．已知向量组123132:1,1,1023A a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，及向量507b ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，问向量b 能否由向量组123:,,A a a a
线性表示？若能，求出其表达式 七、计算题（10分）
设矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=142252001A ，求：（1）A 的特征值及特征向量； （2）求相似变换
矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，（3）求k A 八、证明题（4分）
设方阵A 满足220A A E --=，证明A 可逆并求1A -.
内蒙古科技大学考试参考答案及评分标准
课程名称：《线性代数》(B 卷)
使用专业、年级：工科各专业，2007级
考试时间：2008年月日 标准制订人：公共数学教学部
一、单项选择题（共5题，每题4分，共20分）
1. 排列1223341,1n n n a a a a a - 的符号为 （ D ）
（A ） - （B ） + （C ） ()1n
- （D ） ()
1
1n --
2.如果已知矩阵,()m n n m A B m n ⨯⨯≠，则下列（B ）运算结果不是n 阶矩阵.
（A ） BA （B ）AB （C ）()T
BA （D ）T T A B
3. 向量组12: ,...(2)r A r ααα≥线性相关的充要条件是( C ) （A ）A 中至少有一个零向量 （B ）A 中至少有两个向量成比例
（C ）A 中至少有一个向量可用其余向量线性表示 （D ）A 中至少有一部分线性相关
4. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是（ A ）
（A ）0A ≠ （B ）0A = （C ）A O ≠ （D ）A O =
5. 设1λ，2λ是对称阵A 的两个特征值，1p ，2p
是对应的特征向量， 若（ A ）时，则1p 与2p
正交
（A ）21λλ≠ （B ）21λλ= （C ）λ为任意实数 （D ）221λλ=
二、填空题（共5题，每题4分，共20分）
1. 设A 为33⨯矩阵，B 为44⨯矩阵，且1,2,A B ==则B A =___8_____
2. 设20210112001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1
102022002A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3. 已知四阶行列式D 中第三列元素依次为1,0,2,1-，他们的代数余子式依次为
4,7,3,5---，则D = -15
4. 已知4阶矩阵A 的秩r(A)=3,则齐次线性方程组=0Ax 的基础解系含__1__个线性无关的解向量；
5. 二次型222
12312323(,)2334f x x x x x x x x =+++的矩阵是200032023⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
三、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1. 0
000
000000a
b
a b a b b a
.
解：原式1
000
00
00
(1)00
0000
n n n b a b a b a a
b a b b a
a b
+=+-=- 6分
2.已知行列式15781
111
20361234D =
.计算：41424344A A A A +++的值 解：4142434415781
111
020361
11
1
A A A A +++=
= 6分 四、计算题（共2题，每题6分，共12分）
1.已知310121042A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,110230001B -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
求（1）T
T
B A （2）2
2
A B -
解：(1)1203105381301240712001012012T T
B A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3分
(2)22
310310110110121121230230042042001001A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
851140991574870130441680014167--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3分
2. 求解矩阵方程⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-101311022141X 解：
142060,20,1211
=≠=≠--
1
1
143120120111X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴= ⎪ ⎪⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4分
11243110111101121204⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2分
五、计算题（8分）
求下面向量组的秩及一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示
1α =1213⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,2α =4156⎛⎫ ⎪-
⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,3α =1347⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
, 解：令()
12314114
1141213095095,,15409500036701810000ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢
⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
从行阶梯形中知向量组的秩()
123,,2R ααα=
且其一个最大无关组为 12,αα
（答案不唯一） 5分
把行阶梯形进一步化为行最简形得
11109501900
00
0⎡⎤-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
由行最简形知31211599ααα=-+
（答案不唯一） 3分 六、计算题（共2题，每题7分，共14分）
1．求齐次线性方程组 12341234123420
363051050
x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
+--=⎨⎪++-=⎩的通解
解：由系数矩阵1211121136130040510150040A --⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
121112010040001000000000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
知()24R A =<，所以齐次线性方程组有无穷多解。

选择自由未知量24,x x 得同解方程组124
320
x x x x =-+⎧⎨
=⎩ 令2142,x c x c ==
得通解：12
1212342110(,)0001x x c c c c R x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （答案不唯一） 7分
2．a 、b 取什么值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b
x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325
432154221334536223231
有解？对于有解
的情形，求出它的全部解。

解： ()
1
111111
111113
2113012263,012263000005
4331
000
02a A b a b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
由于线性方程组有解的充要条件为()(),R A R A b
=
，所以，必有0,2a b ==此时
()
111111111111321130012263,0122630000005433120000001011520122630000000
00000A b ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦
----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
知()()
,25R A R A b ==<
，所以齐次线性方程组有无穷多解。

选择345,,x x x 作为自由未知量
得同解方程组13452
34552
2263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩ 令314253,,x c x c x c ===
得通解：1231231234511522263(,,)100001000010x x x c c c c c c R x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
7分
七、计算题（10分）
设400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,求正交矩阵P,使得1
P AP -=Λ
解：令()()2
400
314200
13A E λ
λλλλλ
--=
-=---=- 得特征值为1232,4λλλ=== 4分
当12λ=时，解齐次线性方程()20A E x -=
，由
2001002011011011000A E ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
得对应13λ=的特征向量1011p ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
单位化得1011q ⎡⎤⎥
=-⎥⎥⎦ （答案不唯一）
当234λλ==时，解齐次线性方程()40A E x -=
，由
0000114011000011000A E -⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
得对应234λλ==特征向量23100,101p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 显然23,p p
正交，
将其单位化得
23100,101q q ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎥==⎢⎥⎥
⎢⎥⎥⎣⎦⎦
（答案不唯一） 4分
构造正交变换矩阵(
)
123
010,,00
P q q q ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥== 使得
1
200040004P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （答案不唯一） 2分
八、证明题（4分）
证明：若A 为非奇异对称矩阵，则T AA A
,1
-也为对称矩阵.
证明：T
A A = 111()()T T A A A ---∴==.故1
A -为对称矩阵.
()()T T T T T T AA A A AA ∴==.故T AA 为对称矩阵.
4分
内蒙古科技大学2008/2009学年第二学期《线性代数(工科)》考试试题 课程号：68132105
考试方式：闭卷 使用专业、年级：工科08各专业 任课教师：
考试时间：
备 注：
一、选择题，每题5分，共6题，30分。

(1)、设,A B 为n 阶方阵，下面结论正确的是：( )
A 、BA A
B = B 、如果,A B 均可逆,则111)(---=B A AB
C 、若O A =,则0=A
D 、若0AB =则必有0A =或0B =
(2)、若,,A B C 均为方阵，ABC E =则必有（ ） A 、ACB E = B 、CBA E = C 、BAC E = D 、BCA E = (3)、n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是（ ） A 、0≠A B 、0=A C 、)(A r <n D 、0A = (4)、n 阶方阵A 不可逆，则下列结果正确的是 ( )
A 、A 的特征值全不为0
B 、1*
1||
A A A -=
C 、()R A n <
D 、A 为非奇异矩阵。

(5)、n m A ⨯的列向量组线性无关，且n m >则下面结果不正确的是 ( ) A 、行向量组的秩为m
B 、矩阵A 的秩为m
C 、线性方程组0AX =有非零解；
D 、行向量组线性相关 (6)、向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是( )
A 、)2(,,,21≥s s ααα 中至少有一个零向量
B 、其中至少有一个向量是其余1-s 个向量的线性组合
C 、)2(,,,21≥s s ααα 中至少有两个向量成比例
D 、)2(,,,21≥s s ααα 都不是零向量
二、填空题，每空3分，共10空，30分。

(1)、设⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=2312A ,则||A =( ), A 的逆矩阵为（ ）。

(2)、设,A B 是已知的n 阶方阵，且||0A ≠,则矩阵方程AX B = 中的未知矩阵X 为（ ）。

(3)写出二维单位向量12,e e （ ）;二维向量12(1,1),(1,0)T T a a ==将T b )3,2(= 表示为12,a a 的线性组合（ ）。

(4)、m n ⨯阶线性方程组Ax b =,(),(,)R A R A b 分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（ ）无解，当（ ）有唯一解 ，当（ ）有无穷多解
(5)、已知T
T
)1,2,1,2(,)0,2,1,1(--=-=βα
，则=βα
T （ ）。

(6)、三阶方阵A 的特征值为11
1,,23
，则 1-A 为（ ）。

三、计算题（每题10分，共40分）
(1)、设矩阵132021003A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, 求（1）、T A A +;（2）、1A -
（2）线性方程组：,⎪⎩⎪
⎨⎧=+++=+++=+++,
)1(,3)1(,
0)1(321
321321λλλλx x x x x x x x x
取λ取何值时方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷
多解时求其通解。

（3）设1234(1,2,1,0),(3,6,3,0),(1,0,3,1),(1,4,1,1)T T T T a a a a =-=-=-=-- 证明（1）证明此向量组线性相关；（2）、求其秩，并找出一个最大线性无关组，把其余向量用此最大线性无关组表示。

（4）设
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=324202423A ,求正交阵P ， 使A 对角化。

《线性代数》B 卷参考答案
一、选择题（每题5分，共30分） 1、C 2、D 3、A 4、C 5、C 6、B 二、填空题（每题3分，共30分）
（1）1，⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--23
12
； （2）B A 1
-; (3) ,10,01⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,321a a b -=
（4）()≠A R ()b A R ,，
()()()()n b A R A R n b A R A R <===,,,；
（5）-3；（6）6.
二、计算题（共3题，共40分，前两题各10分，最后一题20分） 1、解：⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=+612
143
232
312023001300120231
T
A A ()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100010030012123001,E A ～⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
--
-316161021
2300
1100010001,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=-310061210
612311A .
2、解： 因系数矩阵A 为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是.0≠A 而
,)3(0
0001
1
1)3(111111111)3(1111111112λλλ
λ
λλλλλλλ+=+=+++=+++=A
因此，当0≠λ且3≠λ时，方程组有唯一解。

当0=λ时
30
111111111=B ～,010********* 知()()2,1==B R A R ，故方程组无解 当3=λ时
330
211121112----=B ～,0
21011010001----知()()2==B R A R ，故方
程组有无穷多个解，且通解为
()R c c x x x ∈⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021111321
3、解：由于21,a a 成比例，则此向量组必线性相关。

将向量组所对应矩阵，
经过初等行变换化为行最简行
()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----=11
00133
140
6
21131
,,,4321a a a a ～⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--1100
24006200113
1～⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
0000
10000100
0031
则431,,a a a 线性无关，且有123a a =。

4、解：求A 的特征多项式
())
8(13
24
224
2
32-+=--------=-λλλλ
λλA E ,
则A 的特征根为11-=λ（二重），82-=λ。

对11-=λ，()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---------=-4242124241E A λ,可得它的一个基础解系为
()()T T 1,0,1,0,2,121-=-=αα,将其正交单位化后得
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=152
5432,021512
1p p ， 对82=λ，(),5242824252⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛------=-E A λ可得它的一个基础解系为
()T 2,1,23=α，单位化后得⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=212311p 则所求正交阵为()321,,p p p P =。

内蒙古科技大学2008/2009学年第二学期《线性代数(工科)》考试试题 课程号：68132105 考试方式：闭卷 使用专业、年级：工科08各专业
任课教师：
一、选择题，每题4分，共5题，20分。

(1)、设,A B 为n 阶方阵，下面结论不正确的是：( )
A 、行列式 ||||||A
B A B =
B 、如果,A B 均可逆,则111()AB B A ---=
C 、()T T T A B A B +=+
D 、若0AB =则必有0A =或0B =
(2)、若,,A B C 均为方阵，ABC E =则必有（ ） A 、ACB E = B 、CBA E = C 、BAC E = D 、BCA E = (3)、n 阶方阵A 可逆，则下列结果不正确的是 ( ) A 、A 的特征值全不为0； B 、1*
1||
A A A -=
C 、()R A n <
D 、A 为非奇异矩阵。

(4)、n m A ⨯的列向量组线性无关，且n m >则下面结果不正确的是 ( ) A 、行向量组的秩为m B 、矩阵A 的秩为m
C 、线性方程组0AX =有非零解；
D 、行向量组线性相关
(5)、设,A B 是已知的n 阶方阵，X 是未知矩阵，且||0A ≠,则矩阵方程AX B = 中的未知矩阵X 为( ) A 、1BA -
B 、1A B -
C 、1B A -
D 、1A -
二、填空题，每空2分，共10空，20分。

(1)、设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则||A =( ),当满足（ ）时，A 可逆，逆矩阵为
（ ）。

(2)、写出二维单位向量12,e e （ ）;二维向量12(1,1),(1,0)T T a a ==将(2,3)T b = 表示为12,a a 的线性组合（ ）。

(3)、m n ⨯阶线性方程组Ax b =,(),(,)R A R A b 分别为系数矩阵的秩及增广矩阵的秩，则当（ ）无解，当（ ）有唯一解 ，当（ ）有无穷多解 (4)、将2243f x xy y =++写成二次型的矩阵形式：（ ）.
(5)、三阶方阵A 的特征值为11
1,,23
，则 1A -的特征值为（ ）。

三、（10分）计算行列式
12222
22222322224。

四、（10分）设
12(1,2),01T x B -⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
计算
14,(),,T A xx A E AB B -=+
五、（10分）线性方程组：21321563x y z
x y z x y z λμ+-=⎧⎪
++=-⎨⎪++=⎩
,
取,λμ何值时方程有无穷多解，并求其解。

六、（10分）设1234(1,2,1,0),(3,6,3,0),(1,0,3,1),(1,4,1,1)T T T T a a a a =-=-=-=-- 证明（1）证明此向量组线性相关；（2）、求其秩，并找出一个最大线性无关组，把其余向量用此最大线性无关组表示。

七、（10分）设 400031013A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭,求正交阵P ，使1P AP -=Λ ,其中Λ为对角阵。

八、（10分）设矩阵132021003A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
,求 （1）、T A A +;（2）、1A -。