2017_2018学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案含解析新人教A版选修4_4201709

四 渐开线与摆线

1．渐开线的产生过程

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．

2．摆线的概念及产生过程

一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．

3．圆的渐开线和摆线的参数方程

(1)圆的渐开线方程：

⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝r φ＋φsin φ，

y ＝r φ－φcos φ(φ为参数)．

(2)摆线的参数方程：

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝r

φ－sin φ，

y ＝r －cos φ

(φ为参数)．

关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，弧AM 0的长和线段AM 的长相等，记OA ―→

和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.

作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→

＝(4cos θ，4sin θ)．

由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→

＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→

＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．

又OM ―→

＝(x ，y )，因此有

⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝θ＋θsin θ，

y ＝

θ－θcos θ

(θ是参数)．

这就是所求圆的渐开线的参数方程．

用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．

(4)用向量运算得到OM ―→

的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．

1．圆的渐开线⎩⎨

⎧

x ＝2

t ＋t sin t ，y

＝2

t －t cos t

(t 是参数)上与t ＝π

4

对应的点的直角坐

标为( )

A.⎝

⎛⎭⎪⎫1＋π

4，1－π4

B.⎝

⎛⎭⎪⎫1－π

4，1＋π4

C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4

D.⎝

⎛⎭⎪⎫1＋π

4，－1－π4

答案：A

2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．

解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.

代入圆的渐开线的参数方程，得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝

φ＋φsin φ，

y ＝φ－φcos φ

这就是所求的圆的渐开线的参数方程.

利用向量知识和三角函数的有关知识求解．

当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM

＝α.

由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，

向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→

＝(2sin α，2cos α)， BM ―→

＝(－2sin α，－2cos α)， 因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→

＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→

＝(x ，y )，

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝α－sin α，

y ＝

－cos α

这就是所求摆线的参数方程．

(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．

3．摆线⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝t －sin t ，

y ＝－cos t

(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是

________．

答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)

4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹

方程．

解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2

＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝

⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．

即点M 的轨迹方程为

⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝r

φ－sin φ，

y ＝r

－cos φ

(φ为参数)．

课时跟踪检测(十三)

一、选择题

1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π

解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3φ－3sin φ，

y ＝3－3cos φ(φ为参数)，

把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：

①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；

②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；

③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；

④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点． 其中正确的说法有( )

A ．①③

B ．②④

C ．②③

D ．①③④

解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．

3．已知一个圆的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝3cos φ，

y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取

π

2

对应的点A 与点B ⎝

⎛⎭

⎪

⎫3π2，2之间的距离为( )

A.

π

2

－1 B. 2 C.10 D.3π

2

－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为

⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝φ－sin φ，

y ＝

－cos φ

(φ为参数)，把φ＝π

2

代入参数方程中可得⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，

即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋

－

2

＝10.