七年级下册初一数学 《三角形》教案

三角形
【考点四：全等三角形的概念和性质】
【基础知识】
1．_________________的两个图形叫做全等形.
2．把两个全等的三角形重合到一起，____________叫做对应顶点；叫做对应边；___________叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____________的字母写在_________上．
3．全等三角形的对应边_________，对应角_________，这是全等三角形的重要性质．
4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是______，AC的对应边是______，∠C 的对应角是_____，∠DEF的对应角是_________．
图1－1 图1－5 图1－6
5．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．
（1）若∠D＝74°，∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；
（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_________________；
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____________，对应角
_____________．
6．下列命题中，真命题的个数是（）
①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）
A．∠ACB B．∠CAF C．∠BAF D．∠BAC
8．如图1－6，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则
∠EAC的度数为（）
A．40° B．35° C．30° D．25°
9．已知：如右图所示，以B为中心，将Rt△EBC绕B点逆时针旋转90°得到△ABD，若∠E＝35°，求∠ADB的度数．
【综合运用】
10．如图1－8，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．
图1－8
11．已知：如图1－9，△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
图1－9
12．如图1－10，AB⊥BC，ΔABE≌ΔECD．判断AE与DE的关系，并证明你的结论．
图1－10
【考点五：三角形全等的判定条件1——“边边边”】
【基础知识】
1．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是
_______________________________．
2．已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．
分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝_________，
只要证_________≌_________
证明：∵ M为PQ的中点（已知），∴___________＝___________
在△_________和△_________中，
∴______≌______（）．
∴∠PRM＝______（____________________________________）．
即RM平分∠PRQ．
3．已知：如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：∠A＝∠D．
分析：要证∠A＝∠D，只要证_________≌_________．
证明：∵BE＝CF （），
∴BC＝______．
在△ABC和△DEF中，
∴______≌______（）．
∴∠A＝∠D （______）．
4．如图，CE＝DE，EA＝EB，CA＝DB，
求证：△ABC≌△BAD．
证明：∵CE＝DE，EA＝EB，
∴______＋______＝______＋______，
即______＝______．
在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD （）．
【综合运用】
5．已知：如图2－4，AD＝BC．AC＝BD．试证明：∠CAD＝∠DBC.
图2－4
6．画一画．
已知：如图2－5，线段a、b、c．
求作：ΔABC，使得BC＝a，AC＝b，AB＝c．
图2－5
7．“三月三，放风筝”．下图是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学的知识证明．
8．画一画，想一想：
利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗?
【考点六：三角形全等的判定条件2——“边角边”】
【基础知识】
1．全等三角形判定方法2——“边角边” （即_______）指的是
______________________________．
2．已知：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．
求证：∠D＝∠B．
分析：要证∠D＝∠B，只要证______≌______
证明：在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△______ （）．∴∠D＝∠B （）．
3．已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB∥CD （），
∴∠______＝∠______ （），
在△______和△______中，
∴ Δ______≌Δ______（）∴∠______＝∠______ （）
∴ ______∥______（）
【综合运用】
4．已知：如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD．
求证：∠B＝∠C．
5．已知：如图，AB＝AC，BE＝CD．
求证：∠B＝∠C．
6．已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．
求证：BC＝DE．
7．如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．
【考点七：三角形全等的判定条件3——“角边角”, 判定条件4——“角角边”】【基础知识】
1．（1）全等三角形判定方法3——“角边角”（即______）指的是
__________________________；
（2）全等三角形判定方法4——“角角边” （即______）指的是
_________________________．
2．已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．
分析：∵PM＝PN，∴要证AM＝BN，只要证PA＝______，
只要证______≌______．
证明：在△______与△______中，
∴△______≌△______ （）．∴PA＝______ （）．
∵PM＝PN （），
∴PM－______＝PN－______，即AM＝______．
3．已知：如图4－2，AC BD．求证：OA＝OB，OC＝OD．
分析：要证OA＝OB，OC＝OD，只要证______≌______．
证明：∵ AC∥BD，∴∠C＝______．
在△______与△______中，
∴______≌______ （）．
∴ OA＝OB，OC＝OD （）．
4．能确定△ABC≌△DEF的条件是（）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E 5．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是（）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
6．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）
A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
7．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB全等吗? 若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB （ASA）．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗? 为什么?
【综合运用】
8．已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．
求证：AD＝AC．
9．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．
求证：HN＝PM.
10．已知：AM是ΔABC的一条中线，BE⊥AM的延长线于E，CF⊥AM于F，BC＝10，BE＝4．求BM、CF的长．
【提高练习】
11．已知：如右图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证
ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件
_____________，证明全等的理由是______；或添加条件______________，
证明全等的理由是_______；也可以添加条件______________，证明全等的
理由是_______．
12．如图，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．
（1）请证明AD＝A'D'；（2）把上述结论用文字叙述出来；（3）你还能得出其他类似的结论吗?
13．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．
图4－10
（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在
如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
图4－11
【小结——知识梳理】
1．判定和性质
判定边角边(SAS、角边角(ASA 角角边(AAS、边边边(SSS
性质对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
②全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
【基础练习】
1．下列命题中正确的有（）个
①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；
③有两角和一边分别相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如右图，AB＝CD，AD＝CB，AC、BD交于O，图中有（）对全等三角形．A．2 B．3 C．4 D．5
3．如右图，若AB＝CD，DE＝AF，CF＝BE，∠AFB＝80°，∠D ＝60°，
则∠B的度数是（）
A．80° B．60° C．40° D．20°
4．如右图，△ABC中，若∠B＝∠C，BD＝CE，CD＝BF，则
∠EDF＝（）
A．90°－∠A B．
C．180°－2∠A D．
5．下列各组条件中，可保证△ABC与△A'B'C'全等的是（）
A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C' B．AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠B＝∠B' C．AB＝C'B'，∠A＝∠B'，∠C＝∠C' D．CB＝A'B'，AC＝A'C'，BA＝B'C' 6．如右图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定
△ABM≌△CDN的是（）
A．∠M＝∠N B．AB＝CD
C．AM＝CN D．AM∥CN
【综合运用】
7．已知：如图，AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC．求证：BD＝CE．
8．已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．
（1）求证：AC与BD互相平分；
（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.
9．如图，E在AB上，∠1＝∠2，∠3＝∠4，那么AC等于AD吗? 为什么?
【考点八：三角形全等的应用】
1．如图7－1，小明与小敏玩跷跷板游戏．如果跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）到地面的距离是50 cm，当小敏从水平位置CD下降40 cm时，小明这时离地面的高度是多少? 请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理．
图7－1
2．如图7－2，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35 cm，B点与O点的铅直距离AB长是20 cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35 cm，画CD⊥OC，使CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢? 请你说出理由．
图7－2
3．如图7－3，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试判断三只石凳E，M，F恰好在一直线上吗? 为什么?
图7－3
4．在一池塘边有A、B两棵树，如图7－4．试设计两种方案，测量A、B两棵树之间的距离．
方案一：方案二：
图7－4
5．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，∠CBA=32°，求∠EFD的度数．
【考点九：用尺规作三角形】
【知识回顾】
1．已知：a，求作：AB，使AB=a． 2．已知：∠，求作：∠AOB，使
∠AOB=∠．
a
x
【作一个三角形与已知三角形全等】
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段a，c，∠α．
求作：ΔABC，使得BC= a，AB=c，∠ABC=∠α．
a
c
作法与过程：
1．作一条线段BC=a；
2．以B为顶点，BC为一边，作角∠DBC=∠a；
3．在射线BD上截取线段BA=c；[来源 :
4．连接AC，ΔABC就是所求作的三角形．
2．已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
α
已知：线段∠α，∠β，线段 c ．
求作：ΔABC，使得∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c．
β
c
作法：1．作____________=∠α；
2．在射线______上截取线段_________=c；
3．以_____为顶点，以_____为一边，作∠______=∠β，_____交_____于点____．ΔABC就是所求作的三角形.
3．已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知：线段a，b，c．
a
求作：Δ ABC ，使得 AB = c ， AC = b ， BC = a ． m b
c。