圆锥曲线中的定点问题(解析版)

圆锥曲线中的定点问题
一、考情分析
定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题．二、解题秘籍
(一)求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略1.处理定点问题的思路：
(1)确定题目中的核心变量(此处设为k )
(2)利用条件找到k 与过定点的曲线F x ,y =0的联系，得到有关k 与x ,y 的等式
(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点x 0,y 0 ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k 与x ,y 的等式进行变形，直至易于找到x 0,y 0.常见的变形方向如下：
①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“k ⋅ ”的形式，从而x 0,y 0只需要先让括号内的部分为零即可
②若等式为含k 的分式，x 0,y 0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数(这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式)
2.处理定点问题两个基本策略：(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．
(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
【例1】(2023届河南省顶级名校高三上学期月考)设F 1,F 2分别是椭圆C ：x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的左､右焦
点，M 是C 上一点，MF 2与x 轴垂直.直线MF 1与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为2
4
.
(1)求椭圆C 的离心率；
(2)设D 0,1 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ，B 两点，证明直线AB 过定点，并求出定点坐标.【解析】(1)由题意知，点M 在第一象限，∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，
∴M 的横坐标为c .当x =c 时，y =b 2a ，即M c ,b 2
a
.
又直线MN 的斜率为24，所以tan ∠MF 1F 2=b 2
a
2c =b 22ac =24
，
即b 2=22ac =a 2-c 2，即c 2+2
2ac -a 2=0,
则e 2+22e -1=0，解得e =2
2或e =-2(舍去)，
即e =2
2
.
(2)已知D 0,1 是椭圆的上顶点，则b =1，由(1)知e =
22
=1-b a 2
，解得a =2，
所以，椭圆C 的方程为x 2
2
+y 2=1，
设直线AB 的方程为y =kx +m ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，
联立y =kx +m x 2+2y 2=2
可得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-1 =0* ，
所以x 1+x 2=-4km
1+2k 2,x 1x 2=2m 2-1 1+2k 2
，
又DA =x 1,y 1-1 ,DB
=x 2,y 2-1 ，DA ⋅DB
=x 1x 2+y 1-1 y 2-1 =x 1x 2+kx 1+m -1 kx 2+m -1 =k 2+1 x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +(m -1)2
=k 2
+1 ⋅2m 2-1 1+2k 2+k m -1 ⋅-4km 1+2k
2+(m -1)2=2m 2-1 k 2+1 -4k 2m 2-m +1+2k 2 (m -1)21+2k 2
=0，
化简整理有3m 2-2m -1=0，得m =-1
3
或m =1.
当m =1时，直线AB 经过点D ，不满足题意；.
当m =-1
3
时满足方程* 中Δ>0，
故直线AB 经过y 轴上定点G 0,-1
3
.
【例2】椭圆C 的焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，且点M 2,1 在椭圆C 上．过点P 0,1 的动直线l 与椭圆相
交于A ，B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点D (不同于点A )．(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)证明：直线AD 恒过定点，并求出定点坐标．
【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)，
由已知得c =2,2a =MF 1 +MF 2 =2-2 2+1+2+2 2+1=4.
所以a =2，b 2=a 2-c 2
=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22
=1.
(2)
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0)．
由x 24+y 2
2
=1y =kx +1
得(2k 2+1)x 2+4kx -2=0.设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，D (-x 2,y 2)，则Δ=16k 2+82k 2+1 >0x 1+x 2
=-4k
2k 2+1
x 1x 2=-22k 2+x
，特殊地，当A 的坐标为(2，0)时，k =-12，所以2x 2=-43，x 2=-23，y 1=4
3
，
即B -23,43 ，所以点B 关于y 轴的对称点为D 23,4
3
，则直线AD 的方程为y =-x +2.
当直线l 的斜率不存在时，直线AD 的方程为x =0.
如果存在定点Q 满足条件，则为两直线交点Q (0，2)，
k QA =y 1-2x 1=y 1-1-1x 1=k -1x 1，k QD =y 2-2-x 2=-k +1x 2
，
又因为k QA -k QD =2k -1x 1+1
x 2 =2k -x 1+x 2x 1x 2
=2k -2k =0.
所以k QA =k QD ，即A ,D ,Q 三点共线，故直线AD 恒过定点，定点坐标为(0，2)．
【点评】本题是先根据两条特殊的曲线的交点Q (0，2)，然后再根据A ,D ,Q 三点共线，判断直线AD 恒过定点，
(二)直线过定点问题1.直线过定点问题的解题模型
2.求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：y =kx +b ，然后利用题中条件整理出k ,b 的关系，若b =km +n m ,n 为常数 ，代入y =kx +b 得y =k x +m +n ，则该直线过定点-m ,n .
【例3】(2023届福建省泉州市高三毕业班质量监测(一))已知椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1a >b >0 过点A -2,0 ．
右焦点为F ，纵坐标为3
2
的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．
(1)求C 的方程：
(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．
【解析】(1)设点F c ,0 ，其中c =a 2-b 2>0，则M c ,3
2
，因为椭圆C 过点A -2,0 ，则a =2，
将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，可得c 2
a 2+94
b 2=1可得4-b 2
4+9
4
b
2=1，解得b =3，
因此，椭圆C 的标准方程为x 2
4+y 23
=1.
(2)证明：由对称性可知，若直线PQ 过定点T ，则点T 必在x 轴上，设点T t ,0 ，
设点P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠0 ，则k PA =y 0
x 0+2，
所以，直线PA 的垂线的斜率为k =-x 0+2
y 0
，
故直线FQ 的方程为y =-x 0+2
y 0
x -1 ，
在直线FQ 的方程中，令x =-2，可得y =3x 0+2 y 0，即点Q -2,3x 0+2
y 0
，
所以，直线PQ 的方程为y -y 0=y 0-
3x 0+2
y 0
x
0+2
x -x 0 ，
因为点T 在直线PQ 上，所以，-y 0=y 0-3x 0+2 y 0
x 0+2
t -x 0 ，
即y 20t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，
①又因为x 204+y 203=1，所以，y 2
0=3-3x 204
，②
将②代入①可得3-3x 20
4
t +2 =3x 0+2 t -x 0 ，
即t -2 x 0+2 2=0，∵x 0≠-2，则t =2，所以，直线PQ 过定点2,0 .(三)圆过定点问题
圆过定点问题的常见类型是以AB 为直径的圆过定点P ，求解思路是把问题转化为PA ⊥PB ，也可以转
化为PA ⋅PB =0
【例4】(2022届广西“智桂杯”高三上学期大联考)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，与
x 轴不重合的直线l 过焦点F ，l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AB =3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左顶点为P ，PA ，PB 的延长线分别交直线x =4于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆过定点.
【解析】(1)椭圆C :x 2a 2+y 2b
2=1(a >b >0)的右焦点F (1,0)，则半焦距c =1，
当l ⊥x 轴时，弦AB 为椭圆的通径，即|AB |=2b 2a ，则有2b 2a =3，即b 2=3
2
a ，
而a 2=b 2+c 2，于是得a 2-3
2a -1=0，又a >0，解得a =2，b =3，
所以椭圆C 的方程为：x 2
4+y 23
=1.
(2)依题意，直线AB 不垂直于y 轴，且过焦点F (1,0)，设AB 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12x =my +1 得3m 2+4 y 2+6my -9=0，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2
=-93m 2+4
，因点P (-2,0)，则直线PA 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4，得M 4,6y 1
x 1+2 ，
同理可得N 4,6y 2x 2+2 ，于是有FM =3,6y 1x 1+2 ,FN =3,6y 2
x 2+2 ，则FM ⋅FN =9+6y 1x 1+2⋅6y 2x 2+2=9+36y 1y 2my 1+3 my 2+3 =9+36y 1y 2m 2
y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9+36⋅-93m 2+4
-9m 23m 2+4+-18m 23m 2+4+9
=9+36×(-9)36=0，
因此，FM ⊥FN ，即F 在以MN 为直径的圆上，所以以MN 为直径的圆过定点F (1,0).(四)确定定点使某个式子的值为定值
求解此类问题一般先设出点的坐标，然后把所给式子用所设点的横坐标或纵坐标表示，再观察该式子为定值的条件，确定所设点的坐标.【例5】(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图，椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b
2=1((a >b >0)，
|A 1B 1|=7，F 1是椭圆C 的左焦点，A 1是椭圆C 的左顶点，B 1是椭圆C 的上顶点，且
A 1F 1 =F 1O ，点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点，过P 点的任一直线l 交椭圆C 于
A ,
B 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在定点Q (x 0,0)，使得QA ⋅QB 为定值，若存在，试求出定点Q 的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7
a -c =c a 2=
b 2+
c 2 ，解得a =2b =3c =1
，
所以椭圆方程为x 2
4+y 23
=1；
(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意，
设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，QA =(x 1-x 0,y 1),QB
=(x 2-x 0,y 2)，
①当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y =k (x -n )，
代入x 2
4+y 23
=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0
∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3，x 1x 2=
4k 2n 2-12
4k 2+3
QA ⋅QB
=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )
=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 2
0+k 2n 2
=k 2+1 4k 2n 2-124k 2
+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 2
0+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 2
0-124k 2+3
(*)
(*)式是与k 无关的常数，则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 2
0-12)
解得x 0=12n +7n 8，此时QA ⋅QB =x 2
0-4=12n +7n 8
2-4为定值；
②当直线l 与x 垂直时，l :x =n ，A n ,31-n 24 ，B n ,-31-n 24
，QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 8
2-4也成立，
所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ，使得QA ⋅QB =12n +7n 8
2
-4为定值．
(五)与定点问题有关的基本结论
1.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则OA ⊥OB ⇔直线l 过定点P 2p ,0 ；
2.若直线l 与抛物线y 2=2px 交于点A ,B ，则k OA ⋅k OB =m ⇔直线l 过定点P p +m +p 2,0 ；
3.设点P 2pt 02,2pt 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则PM ⊥PN ⇔直线MN 过定点Q 2p +2pt 02
,-2pt 0 .
4.设点A x 0,y 0 是抛物线y 2=2px 上一定点，M ,N 是该抛物线上的动点，则k AM ⋅k AN =m ⇔直线MN 过定
点P x 0-2p
m ,-y 0 ；5.过椭圆x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥PB ⇔
直线AB 过点Q -a a 2-b 2
a 2+
b 2
,0
；
6.过双曲线x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 的左顶点P 作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点A ,B ，则PA ⊥
PB ⇔直线AB 过点Q -a a 2+b 2
a 2-
b 2
,0
；
7.设点P m ,n 是椭圆C ：x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 上一定点，点A ,B 是椭圆C 上不同于P 的两点，若k PA +
k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n -2b 2m
a 2λ
；
8.设点P m ,n 是双曲线C ：x 2
a 2-y 2b
2=1a >0,b >0 一定点，点A ,B 是双曲线C 上不同于P 的两点，若
k PA +k PB =λλ≠0 ，则直线AB 过定点m -2n λ,-n +2b 2m
a 2λ .
【例6】(2023届山西省长治市高三上学期9月质量检测)已知点P 1,32 在椭圆C ：x 2
a 2+y 2b
2=1(a >b >0)
上，且点P 到椭圆右顶点M 的距离为13
2
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M )且满足直线MA 与MB 斜率之积为1
4
．试判断直线
AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【解析】(1)点P 1,32 ，在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上代入得：1a 2+9
4b
2=1，
点P 到椭圆右顶点M 的距离为132，则13
2
=a -1 2+94，
解得a =2，b =3，
故椭圆C 的方程为x 2
4+y 23
=1．
(2)由题意，直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y =kx +m (k ≠0)，M 2,0 ，A x 1,y 1 ，
B x 2,y 2 ．
联立y =kx +m
3x 2+4y 2=12
得3+4k 2 x 2+8km x +4m 2-12=0．Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =484k 2-m 2+3 >0．
∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-12
3+4k 2
，
∵直线MA 与直线MB 斜率之积为1
4
．
∴y 1x 1-2⋅y 2x 2-2=14
，∴4kx 1+m kx 2+m =x 1-2 x 2-2 ． 化简得4k 2-1 x 1x 2+4km +2 x 1+x 2 +4m 2-4=0，
∴4k 2
-1 4m 2-123+4k 2+4km +2 -8km 3+4k 2+4m -4=0， 化简得m 2-2km -8k 2=0，解得m =4k 或m =-2k ．
当m =4k 时，直线AB 方程为y =k x +4 ，过定点-4,0 ．
m =4k 代入判别式大于零中，解得-12<k <1
2
(k ≠0)．
当m =-2k 时，直线AB 的方程为y =k x -2 ，过定点2,0 ，不符合题意． 综上所述：直线AB 过定点-4,0 ．
【例7】(2022届海南华侨中学高三上学期月考)已知椭圆x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，
点M 0,-1 是椭圆的一个顶点，△F 1MF 2是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点M 分别作直线MA ,MB 交椭圆于A ,B 两点，设两直线的斜率分别为k 1,k 2，且k 1+k 2=4，求证：直
线AB 过定点12,1
.【解析】(1)由题意可得b =1
c =b a 2=b 2+c 2
，解得a =2,
b =1,
所以椭圆的方程为x 2
2
+y 2=1.
(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .
①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m ，
联立y =kx +m
x 22
+y 2
=1
得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0.由Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-2 =82k 2-m 2+1 >0，得2k 2+1>m 2.
所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1⋅x 2=2m 2-2
2k 2+1．
所以k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+m +1x 1+kx 2+m +1x 2=2k +m +1 x 1+x 2
x 1x 2
=4，
即2k -2km m -1=4，所以km
m -1
=k -2，即km =k -2 m -1 =km -k -2m +2，所以m =1-k 2，所以y =kx +m =kx +1-k 2=k x -12 +1，所以直线AB 过定点1
2
,1 .
②当直线AB 斜率不存在时，A x 1,y 1 ,B x 1,-y 1 ，则k 1+k 2=y 1+1x 1+-y 1+1x 1=2x 1=4，所以x 1=1
2
，则
直线AB 也过定点1
2
,1 .
综合①②，可得直线AB 过定点1
2
,1 .
三、跟踪检测
1.(2023届江苏省金陵中学、海安中学高三上学期10月联考)在一张纸上有一个圆C ：x +
5 2+y 2
=4，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T ．
(1)求证：TC -TM 为定值，
并求出点T 的轨迹C 方程；(2)设A -1,0 ，M 为曲线C 上一点，N 为圆x 2+y 2=1上一点(M ，N 均不在x
轴上)．直线AM ，AN 的斜率分别记为k 1，k 2，且k 2=-1
4
k 1，求证：直线MN 过
定点，并求出此定点的坐标．【解析】(1)由题意得TM =TM 1 ，所以TC -TM =TC -TM 1 =2<25=CM ，
即T 的轨迹是以C ，M 为焦点，实轴长为2的双曲线，即C
：x 2
-y 24
=1；
(2)由已知得l AM ：y =k 1x +1 ，l AN ：y =k 2x +1 ，
联立直线方程与双曲线方程y =k 1x +1
x 2-y 24
=1
⇒4-k 21 x 2-2k 21x -k 2
1-4=0，
由韦达定理得x A x M =-k 21-44-k 21，所以x M =k 21+44-k 21，即y M =k 1x M +1 =8k 1
4-k 21
，所以M k 21+44-k 21,8k 1
4-k 21
，
联立直线方程与圆方程y =k 2x +1 x 2+y 2=1
⇒1+k 22 x 2+2k 22x +k 2
2-1=0，由韦达定理得x A x N =k 22-11+k 22，所以x N =-k 22+11+k 22，即y N =k 2x N +1 =2k 2
1+k 22
，因为k AN =-14k AM ，即k 2=-1
4k 1，所以N -k 21+1616+k 21,-8k 116+k 21
，若直线MN 所过定点，则由对称性得定点在x 轴上，设定点T t ,0 ，由三点共线得k MT =k NT ，
即8k 14-k 21k 21+44-k 21-t =-8k 1
16+k 2
1-k 2
1+16
16+k 21
-t ⇒k 21+4+k 21-4 t =k 21-16+k 2
1+16 t ⇒t =1，所以直线MN 过定点T 1,0 ．
2.(2023届广东省广东广雅中学高三上学期9月测试)已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的离心率为
22．圆O (O 为坐标原点)在椭圆C 的内部，半径为63
．P ，Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1-6
3
．(1)求椭圆C 的方程；
(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【解析】(1)设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，
由圆的性质，|PQ |≥|PO |-6
3
当点P 在椭圆上运动时，当P 处于上下顶点时|PO |最小，故|PQ |≥|PO |-63≥b -63，即b -63
=1
-6
3
依题意得c a =22b -63=1-63a 2=b 2+c
2
，解得a =2b =1c =1
，
所以C 的方程为
x 2
2
+y 2=1.(2)因为直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上，所以直线AB 与圆O 相切.
(i )当直线AB 垂直于x 轴时，不妨设A 63,63
，B 63,-6
3 ，此时OA ⋅OB
=0，所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .
(ii )当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 .
因为AB 与圆O 相切，所以O 到直线AB 的距离|m |k 2+1
=6
3，
即3m 2-2k 2-2=0.
由y =kx +m ,x 22
+y 2
=1,
得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-2=0，
所以x 1+x 2=-4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2-2
2k 2+1
，
OA ⋅OB
=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m =1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2
=1+k 2 2m 2-22k 2+1 +km -4km
2k 2+1
+m 2=1+k 2 2m 2-2 +km (-4km )+m 22k 2
+1 2k 2+1=3m 2-2k 2-22k 2+1
=0，
所以OA ⊥OB ，故以AB 为直径的圆过点O .综上，以AB 为直径的圆过点O .
3.(2023届湖南省永州市高三上学期第一次考试)点P (4,3)在双曲线C :x 2
a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)上，离心
率e =7
2
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)A ,B 是双曲线C 上的两个动点(异于点P )，k 1,k 2分别表示直线PA ,PB 的斜率，满足k 1k 2=3
2
，求证：
直线AB 恒过一个定点，并求出该定点的坐标.
【解析】(1)由题意点P (4,3)在双曲线C :x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)上，离心率e =
7
2可得；16a 2-9b 2=1
a 2+
b 2
a =72
，解出，a =2,b =3，所以，双曲线C 的方程是x 2
4-y 23
=1
(2)①当直线AB 的斜率不存在时，则可设A n ,y 0 ,B n ,-y 0 ，
代入x 24-y 23=1，得y 02=3
4
n 2-3，
则k 1k 2=y 0-3n -4⋅-y 0-3n -4=9-y 20(n -4)2=12-34
n 2
(n -4)
2=32，即9n 2-48n +48=0，解得n =4
3
或n =4，
当n =4时，y 0=±3，A ,B 其中一个与点P 4,3 重合，不合题意；
当n =43时，直线AB 的方程为x =4
3
，它与双曲线C 不相交，故直线AB 的斜率存在；
②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程y =kx +m 代入x 2
4-y 23
=1，
整理得，3-4k 2 x 2-8km x -4m 2
-12=0，
设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km 3-4k 2,x 1x 2
=-4m 2+12
3-4k 2
，由Δ=(-8km )2-43-4k 2 -4m 2-12 >0,∴m 2+3>4k 2，
所以k 1k 2=y 1-3x 1-4⋅y 2-3x 2-4=kx 1+m -3x 1-4⋅kx 2+m -3x 2-4=k 2x 1x 2+k m -3 x 1+x 2 +(m -3)2x 1x 2-4x 1+x 2 +16=
3
2所以，2k 2-3 x 1x 2+2km -6k +12 x 1+x 2 +2m 2
-12m -30=0，
即2k 2-3 ⋅-4m 2-123-4k 2+2km -6k +12 ⋅8km 3-4k 2+2m 2
-12m -30=0,整理得3m 2+16k -6 m +16k 2-9=0，即3m +4k +3 m +4k -3 =0，
所以3m +4k +3=0或m +4k -3=0，
若3m +4k +3=0，则m =-4k +33，直线AB 化为y =k x -43 -1，过定点4
3
,-1 ；
若m +4k -3=0，则m =-4k +3，直线AB 化为y =k x -4 +3，它过点P 4,3 ，舍去
综上，直线AB 恒过定点4
3
,-1 4.(2023届陕西师范大学附属中学、渭北中学等高三上学期联考)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)，O 是坐标原点，F 是C 的焦点，M 是C 上一点，|FM |=4，∠OFM =120°．(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)设点Q x 0,2 在C 上，过Q 作两条互相垂直的直线QA ,QB ，分别交C 于A ，B 两点(异于Q 点)．证明：直线AB 恒过定点．
【解析】(1)由|FM |=4,∠OFM =120°，可得M p
2
+2,±23 ，代入C :12=2p p
2
+2
=p 2+4p ．解得p =2或p =-6(舍)，所以抛物线的方程为：y 2=4x ．
(2)由题意可得Q (1,2)，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x =my +n ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，由y 2
=4x x =my +n
，得y 2-4my -4n =0，从而Δ=16m 2+16n >0，则y 1+y 2=4m y 1y 2=-4n
．
所以x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =4m 2+2n ，
x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=n 2，∵QA ⊥QB ，∴QA ⋅QB
=x 1-1 x 2-1 +y 1-2 y 2-2 =0，故x 1x 2-x 1+x 2 +1+y 1y 2-2y 1+y 2 +4=0，
整理得n 2-4m 2-6n -8m +5=0．即(n -3)2=4(m +1)2，从而n -3=2(m +1)或n -3=-2(m +1)，即n =2m +5或n =-2m +1．
若n =-2m +1，则x =my +n =my -2m +1=m (y -2)+1，过定点(1,2)，与Q 点重合，不符合；若n =2m +5，则x =my +n =my +2m +5=m (y +2)+5，过定点(5,-2)．综上，直线AB 过异于Q 点的定点(5,-2)．
5.(2023届四川省部分重点中学高三上学期9月联考)已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 的右顶点是M
(2，0)，离心率为1
2
．
(1)求椭圆C 的标准方程．(2)过点T (4，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，点B 关于x 轴的对称点为D ，问直线AD 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】(1)由右顶点是M (2，0)，得a =2，又离心率e =
12=c
a
，所以c =1，
所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的标准方程为x2
4+
y2
3=1．
(2)设A x1,y1
，B x2,y2
，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为y=k x-4
，联立方程组
y=k x-4
, 3x2+4y2=12
消去y得4k2+3
x2-32k2x+64k2-12=0，由Δ>0，得-1
2<k<
1
2，
所以x1+x2=
32k2
4k2+3，x1
x2=64k2-12
4k2+3．
因为点D x2,-y2
，所以直线AD的方程为y=y1+y2
x1-x2x-x1
+k x1-4
．
又y1+y2=k x1+x2-8
，
所以直线AD的方程可化为y=
24k
x2-x1
4k2+3
x+
kx1x1+x2-8
x2-x1+
k x1-4
x2-x1
x2-x1，
即y=
24k
x2-x1
4k2+3
x-24k
x2-x1
4k2+3
=24k
x2-x1
4k2+3
x-1
，
所以直线AD恒过点(1，0)．
(方法二)设A x1,y1
，B x2,y2
，直线l的方程为x=my+4，
联立方程组
x=my+4,
3x2+4y2=12
消去x得3m2+4
y2+24my+36=0，
由Δ>0，得m>2或m<-2，所以y1+y2=-
24m
3m2+4，y1
y2=36
3m2+4．
因为点D x2,-y2
，则直线AD的方程为y=y1+y2
x1-x2x-x1
+y1．
又x1-x2=my1+4-my2-4=m y1-y2
，
所以直线AD的方程可化为y=-y1+y2
m y2-y1
x-my1-4
+y1=-
y1+y2
m y2-y1
x+
y1+y2
my1+4
+y1m y2-y1
m y2-y1
=-
y1+y2
m y2-y1
x+
2my1y2+4y1+y2
m y2-y1
=24
3m2+4
y2-y1
x-1
，
此时直线AD恒过点(1,0)，
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y=0，也过点(1，0)．综上，直线AD恒过点(1，0)．
6.(2023届安徽省滁州市定远县高三上学期9月月考)设直线x=m与双曲线C:x2-y2
3=m(m>0)的两
条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为3．
(1)求m的值；
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴的对称点为M ，F为C的右焦点，若M ，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点．
【解析】(1)双曲线C:x2-y2
3=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x，则不妨令点A(m,3m),B(m,
-3m)，
|AB|=23m，而点O到直线AB的距离为m，因此S△OAB=12⋅23m⋅m=3m2=3，解得m=1，所以m=1．
(2)由(1)知，双曲线C 的方程为C :x 2
-y 2
3
=1，右焦点F (2,0)，
因直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，设直线l 与x 轴交于点(t ,0)，直线l 的方程为y =k (x -t )(k ≠0)，
设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则M
x 1,-y 1 ，由y =k (x -t )x 2-y 23
=1
消去y 并整理得3-k 2 x 2+2tk 2x -k 2t 2+3 =
0，
显然有3-k 2≠0且Δ=2tk 2 2+43-k 2 k 2t 2+3 >0，化简得k 2≠3且t 2-1 k 2+3>0，则x 1+x 2=-2tk 23-k 2,x 1x 2=-k 2t 2+33-k 2
，FM
=(x 1-2,-y 1
),FN =(x 2-2,y 2)，而M
，F ，N 三点共线，即FM ⎳FN
，则-y 1x 2-2 =y 2x 1-2 ，
因此-k x 1-t x 2-2 =k x 2-t x 1-2 ，又k ≠0，有x 1-t x 2-2 +x 2-t x 1-2 =0，
整理得2x 1x 2-(t +2)x 1+x 2 +4t =0，于是得2⋅-k 2t 2+33-k 2 -(t +2)-2tk 2
3-k 2
+4t =0，化简得t =
12
，即直线l ：y =k x -12 ，k ≠0过定点1
2
,0 ，
所以直线l 经过x 轴上的一个定点1
2,0 ．
7.(2023届江西省智慧上进高三上学期考试)已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2b
2=1a >b >0 的右焦点为F ，过点F 作
一条直线交C 于R ，S 两点，线段RS 长度的最小值为2，C 的离心率为2
2
．
(1)求C 的标准方程；
(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，P (2,0)，且总存在实数λ∈R ，使得PF
=
λPA PA +PB PB
，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由．
【解析】(1)由线段RS 长度的最小值为2，得2b 2
a
=2，
又c a =22，所以a 2-b 2a 2
=1
2，解得a 2=2,b 2
=1, 所以C 的标准方程为x 2
2+y 2=1．
(2)由PF =λPA PA +PB
PB ，
可知PF 平分∠APB ，∴k PA +k PB =0．
设直线AB 的方程为x =my +t ，A my 1+t ,y 1 ，B my 2+t ,y 2 ，由x =my +t x 2+2y 2=2
得m 2+2 y 2+2mty +t 2
-2=0，Δ=8m 2-t 2+2 >0，即m 2>t 2-2，
∴y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2
m 2+2
，
∴k PA +k PB =y 1my 1+t -2+y 2
my 2+t -2
=0，
∴2my 1y 2+t -2 y 1+y 2 =0，∴2m t 2-2 -t -2 ⋅2mt =0，整理得4m t -1 =0，∴当t =1时，上式恒为0，
即直线l 恒过定点Q 1,0 ．
8.(2023届山西省高三上学期第一次摸底)已知椭圆C :x 2
a 2+y 2
b
2=1a >b >0 的左、右焦点分别是
F 1-1,0 ，F 21,0 ，点A 0,b ，若△AF 1F 2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1:2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过C 的左焦点F 1作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN =0，证明：直线PQ 过定点．【解析】(1)由题设c =1，又|F 1F 2|=2c ，|AF 1|=|A 1F 2|=a ，若内切圆半径为r ，则外接圆半径为2r ，
所以12r ×2(a +c )=1
2×2c ×b ，即r (a +c )=bc ，
c 2+(2r -b )2=4r 2，而a 2=b 2+c 2，即a 2=4rb ，
综上，a 2(a +c )=4b 2c ，即a 2(a +1)=4b 2=4a 2-4，可得a =2，
所以a 2=4，b 2
=3，则C :x 24+y 23
=1.
(2)当直线斜率都存在时，令DE 为x =ky -1，联立C :x 2
4+y 23
=1，
整理得：(3k 2+4)y 2-6ky -9=0，且Δ=144(k 2+1)>0，
所以y D +y E =6k 3k 2+4，则x D +x E =k (y D +y E )-2=-83k 2+4，故P -43k 2+4,3k
3k 2+4
，
由DE ⋅MN =0，即DE ⊥MN ，故MN 为x =-y k
-1，联立C :x 24+y 23=1，
所以3k 2+4 y 2+6k y -9=0，有y M +y N =-6k 3+4k 2，则x M +x N
=-y M +y N k -2=-8k 2
3+4k 2
，故Q -4k 23+4k 2,-3k
3+4k 2 ，所以k PQ =7k 4(k 2-1)，则PQ 为y -3k 3k 2+4=7k 4(k 2-1)x +4
3k 2+4
，整理得k (7x +4)=4(k 2-1)y ，所以PQ 过定点-4
7
,0 ；
当一条直线斜率不存在时P ,Q 对应O ,F 1，故PQ 即为x 轴，也过定点-4
7
,0 ；
综上，直线PQ 过定点．9.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23
=1有相同的渐近线，且过
点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点，且DE ⋅DF
=0,DG ⊥EF 于G ，证明：存在定点H ，使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标，解得λ=4
所以双曲线C 的标准方程为x 24
-y 2=1
(2)(i )当直线EF 斜率存在时，设EF :y =kx +m ，
设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ，联立y =kx +m 与双曲线x 2
4
-y 2=1，
化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0，
Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0，即4k 2-m 2-1<0，
则有x 1+x 2=-8km
4k 2-1
x 1x 2=
4m 2
+44k 2-1
，又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2，
因为DE ⋅DF
=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0，
所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0，
所以k 2
+1 ⋅4m 2+44k 2
-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0，化简，得3m 2+16km +20k 2
=0，即3m +10k m +2k =0，
所以m 1=-2k ,m 2=-10
3
k ，
且均满足4k 2-m 2
-1<0，
当m 1=-2k 时，直线l 的方程为y =k x -2 ，直线过定点2,0 ，与已知矛盾，
当m 2=-103k 时，直线l 的方程为y =k x -103 ，过定点10
3,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE ：y =x -2，
与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103，此时EF 也过点M 10
3
,0 ，
综上，直线EF 过定点M 10
3
,0 .
由于DG ⊥EF ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心，GH 为该圆半径，
所以存在定点H 83,0 ，使GH 为定值23.
10.(2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点．
(1)求p 的值；
(2)是否存在定点T ，使得TA ⋅TB
为常数？若存在，求出点T 的坐标及该常数；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为F p 2,0 ,P 0,2 ，且点A 恰好为线段PF 中点，所以A p
4
,1 ，又因为A 在抛物线上，所以
12=2p ⋅p
4
，即p 2=2，解得P =2
(2)设T m ,n ，可知直线l 斜率存在；设l ：y =kx +2，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 联立方程得：y 2=22x
y =kx +2 ，所以k 2y 2-22y +42=0，所以y 1+y 2=22k ,y 1y 2=42
k
，
又：TA ⋅TB =x 1-m x 2-m )+(y 1-n y 2-n
=24y 21-m 24y 2
2-m +y 1-n y 2-n
=18y 21y 22-24m y 21+y 22 +m 2-n y 1+y 2 +n 2=4k 2-24m 8k 2-82k +m 2+42k -22n k +n
2=4-22m k 2+4m +42-22n k +m 2+n 2，
令4m +42-22n =04-22m =0
，解之得：m =2
n =4 ，即T 2,4 ，此时TA ⋅TB =m 2+n 2=1811.(2023届江苏省百校联考高三上学期第一次考试)设F 为椭圆C ：x 2
2
+y 2=1的右焦点，过点F 且与x 轴
不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.
(1)当BF
=2FA 时，求FA ；(2)在x 轴上是否存在异于F 的定点Q ，使
k QA
k QB
为定值(其中k QA ，k QB 分别为直线QA ，QB 的斜率)？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =my +1
x 2+2y 2=2
，
得m 2+2 y 2+2my -1=0，
又因为BF
=2FA ，所以y 1+y 2=-2m m 2+2
y 1y 2=-1m 2
+2y 2=-2y 1
，
解得m 2=
27，y 1 =2m m 2+2=14
8，所以FA =1+m 2y 1 =328
，
即FA =328.
(2)假设在x 轴上存在异于点F 的定点Q t ,0 t ≠1 ，使得k QA
k QB
为定值.设直线AB 的方程为x =my +1，
联立x 22+y 2=1x =my +1
，得m 2+2 y 2+2my -1=0，
则y 1+y 2=-2m m 2+2，y 1y 2=-1
m 2+2，所以y 1+y 2=2my 1y 2.
所以k QA k QB =y 1
x 1-t y 2x 2-t
=y 1⋅x 2-t y 2⋅x 1-t =y 1my 2+1-t y 2my 1+1-t =my 1y 2+(1-t )y 1my 1y 2+(1-t )y 2=2my 1y 2+2(1-t )y 12my 1y 2+2(1-t )y 2=
(3-2t )y 1+y 2
y 1+(3-2t )y 2
.
要使k QA k QB
为定值，则3-2t 1=13-2t ，
解得t =2或t =1(舍去)，此时k QA
k QB
=-1.
故在x 轴上存在异于F 的定点Q 2,0 ，使得k QA
k QB
为定值.
12.(2022届辽宁省名校联盟高三上学期12月联考)已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M (x 0,4)
在C 上，且MF =5p
2
．
(1)求点M 的坐标及C 的方程；(2)设动直线l 与C 相交于A ,B 两点，且直线MA 与MB 的斜率互为倒数，试问直线l 是否恒过定点？若
过，求出该点坐标；若不过，请说明理由．【分析】(1)利用抛物线定义求出x 0，进而求出p 值即可得解.
(2)设出直线l 的方程x =my +n ，再联立直线l 与抛物线C 的方程，借助韦达定理探求出m 与n 的关系，再根据k MA ⋅k MB =1求解.
【解析】(1)抛物线C :y 2=2px 的准线：x =-p 2，于是得MF =x 0+p 2=5p 2
，解得x 0=2p ，
而点M 在C 上，即16=4p 2，解得p =±2，又p >0，则p =2，所以M 的坐标为4,4 ，C 的方程为y 2=4x .
(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，直线l 的方程为x =my +n ，
由x =my +n
y 2=4x
消去x 并整理得：y 2-4my -4n =0，则Δ=16m 2+n >0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4n ，
因此，k MA ⋅k MB =y 1-4x 1-4⋅y 2-4x 2-4=y 1-4y 214-4⋅y 2-4y 22
4
-4=4y 1+4⋅4
y 2+4=1，
化简得y 1y 2+4y 1+y 2 =0，即n =4m ，代入l 方程得x =my +4m ，即x -m y +4 =0，则直线l 过定点0,-4 ，
所以直线l 过定点0,-4 .
13.(2022届广东省茂名市五校联盟高三上学期联考)已知椭圆C ：x 2
a 2+y 2
b
2=1a >b >0 的左、右焦点分别
为F 1，F 2.离心率等于6
3
，点P 在y 轴正半轴上，△PF 1F 2为直角三角形且面积等于2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上时，直线l 是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
【解析】(1)根据题意，由对称性得△PF 1F 2为等腰直角三角形，且∠F 1PF 2=90°，因为△PF 1F 2的面积等于2，所以F 1F 2 =22，即c =2，
因为椭圆C 的离心率等于63，即e =63=2
a
，解得a =3，
所以b 2=a 2-c 2=1，
所以椭圆C 的标准方程为：x 2
3
+y 2=1.
(2)由(1)得P 0,2 ，
设直线l 的方程为y =kx +m k ≠0 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，因为点A 关于y 轴的对称点在直线PB 上，
所以直线PB 与直线PA 的斜率互为相反数，即k PB +k PA =0，
因为k AP =y 1-2x 1,k BP =y 2-2x 2，所以y 1-2x 1+y 2-2
x 2
=0，
整理得x 2(y 1-2)+x 1(y 2-2)=0
又因为y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ，所以2kx 1x 2+m -2 x 1+x 2 =0，由y =kx +m x 2+3y 2=3
消去y 得(3k 2+1)x 2+6km x +3m 2
-3=0,
所以Δ>0，即m 2<3k 2
+1，x 1+x 2=-6km 3k 2+1,x 1x 2=3m 2-33k 2+1
,
所以2k ⋅3m 2-33k 2+1
+(m -2)⋅-6mk
3k 2+1 =0，整理得2k ⋅(3m 2-3)-6mk (m -2)=0,
由于k ≠0，故解方程得m =
22，此时直线l 的方程为y =kx +22，过定点0,
2
2 所以直线l 恒过定点0,2
2 .
14.(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2-y 2
b
2=1(a 、b 为
正常数)的右顶点为A ，直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点，且P 、Q 均不是双曲线的顶点，M 为PQ 的中
点．
(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1·k 2的值；
(2)若AM PQ
=12，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；否则，说明理由．
【解析】(1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，因为P 、Q 在双曲线上，
所以x 12a 2-y 12b 2=1，x 2
2
a 2-y 22b
2=1，
两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)
a 2
-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，即2x 0(x 1-x 2)
a 2=2y 0(y 1-y 2)
b 2
，
即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a
2，即k 1·k 2=b 2
a 2；
(2)因为AM PQ
=1
2，
所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形，即AP ⊥AQ ；
①当直线l 的斜率不存在时，设l ：x =t ，代入x 2
a 2-y 2b
2=1得，y =±b
t 2a 2
-1，
由|t -a |=b t 2a
2-1得，(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0，即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0，
得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2
或a (舍)，
故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)
a 2-
b 2
；
②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，代入x 2
a 2-y 2b
2=1，
得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2
)=0，Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1+x 2=2km a 2
b 2-k 2a 2，x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2
；
因为AP ⊥AQ ，
所以AP ·AQ
=0，
即(x 1-a ，y 1)·(x 2-a ，y 2)=0，即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0，
即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0，即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2
=0，
即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0，
即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0，
所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)
或k =-m
a ；
当k =-m a 时，直线l 的方程为y =-m
a x +m ，此时经过A ，舍去；
当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时，直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)
a (a 2+
b 2)x +m ，
恒过定点a (a 2+b 2)
a 2-
b 2
，0
，经检验满足题意；
综上①②，直线l 过定点a (a 2+b 2)
a 2-
b 2
，0
．
15.已知抛物线C :y 2=2px p >0 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，当l ⊥x 轴时，AB
=2.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 交y 轴于点D ，过点D 且垂直于y 轴的直线交抛物线C 于点P ，直线PF 交抛物线C 于另一点Q .
①是否存在定点M ，使得四边形AQBM 为平行四边形？若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
②求证：S △QAF ⋅S △QBF 为定值.
【解析】(1)当l ⊥x 轴时，易得AB =2p ，所以2p =2，解得p =1，所以抛物线C 的方程为y 2=2x ；
(2)①解：易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x =my +1
2
m ≠0 ，
代入抛物线C 的方程y 2=2x ，并整理得y 2-2my -1=0，
设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由根与系数的关系得y 1+y 2=2m ，y 1y 2=-1.
所以x 1+x 22=my 1+my 2+12=2m 2+12，所以线段AB 的中点N 的坐标为2m 2+1
2
,m ，连接QM ，若
四边形AQBM 为平行四边形，则N 是QM 的中点，
易知D 0,-12m ，因此P 18m
2,-1
2m ，设直线PQ 的方程为x =ty +1
2
，代入抛物线C 的方程y 2=2x ，整理得y 2-2ty -1=0，
所以y P y Q =-1
2m ⋅y Q
=-1， 故y Q =2m ，因此Q 2m 2,2m ，故可得x M =2m 2+12
×2-2m 2=1，y M =2m -2m =0，
故点M 的坐标为M 1,0 ，
因此存在定点M 1,0 ，使得四边形AQBM 为平行四边形；
②证明：点Q2m2,2m
到直线l:x=my+1
2的距离d=
2m2-m⋅2m-12
m2+1
=1
2m2+1
，
由A x1,y1
，F
1
2,0
，可得AF =m2+1y1 ，
因此S△QAF=1
2AF
⋅d=
1
4y1 ，
同理可得S△QBF=1
4y2 ，
所以S△QAF⋅S△QBF=1
16y1y2
=
1
16，为定值.。