2018-2019学年下学期期末高一数学备考专题1.5 立体几何(课件)

求证：AC⊥面D1B1BD
证明：
∵ABCD为正方形，所以ACBD,
又因为在正方体中，BB1⊥平面 ABCD，所以AC BB1,
又BD∩BB1=B,
故AC⊥面D1B1BD
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
β
A
D
Bα
C
AB β AB
αβ
线⊥面得到面⊥面
b
（3）在三角形中计算该角
的大小或用余弦定理计算余
弦；
若异面直线a，b成的角为直角，则称a垂直b，记 为a⊥b
例： 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中， 异面直线AC与BC1所成角的大小是（ ）． A．30° B．45° C．60° D．90°
解：在图形中，将AC平行移 动到A1C1，再连接A1B，则 △A1BC1是一个等边三角形， A1C1与BC1所成的角为60°,所 以AC与BC1所成角的大小也是 60°，选C.
顶点的三角形； (2)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成
的封闭曲面所围成的图形； (3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面
所围成的几何体．
分析：根据所给的几何体结构特征的描述，结合所学几何体的 结构特征画图或找模型做出判断．
解析：(1)如图①，因为该几何体的五个面是有公共顶点的三角形， 所以是棱锥，又其底面是凸五边形，所以是五棱锥．
a
a
b α
注意3个条件要写全
线∥线的证明是关键！
a // b
b




a
//

a
如何证明两条直线平行？
(1)利用三角形的中位线; (3)平行的传递性 (2)利用平行四边形；
平行的传递性： a∥ b， a∥ c，则b∥ c
如何证明一个四边形是平行四边形？
（1）一组对边平行且相等； （2）两组对边分别平行
例 正方形ABCD－A1B1C1D1．求： （1）A1B与CC1所成的角是多少度？ BB1∥CC1,所以∠A1BB1为所求， 大小为45°
（2）A1B1与CC1所成的角是多少度？
BB1∥CC1,所以∠A1B1B为所求， 大小为90°
（3）A1B与B1C所成的角是多少度？
A1B∥D1C,所以∠D1CB1为所求，易 知△D1B1C为正三角形，故所求角大 小为60°
判定2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平 面平行，则这2个平面平行
线 判定1 线 判定2 面
线
面
面
平
平
平
行
行
性质1
行
性质2
性质1： 如果直线a与平面α平行，若经过a的平面β与α 的交线为b，则a∥b
性质2：如果2个平面平行，则它们被第三个平面所截 得的两条交线平行
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线和 这个平面平行。
3种问题 角度问题 平行问题 垂直问题
直线和直线的位置关系
分类
位置关系 定义
公共点
共面直线共面直线异直线相交直线 有且仅有一 有公共点 个公共点
平行直线 异面直线
共面且没有 公共点
不同在任何 一个平面内
没有公共 点
2个平面的位置关系
位置关系
定义
两个平面平行 没有公共点
两个平面相交 有一条公共直线
SASBSCa. 求证: 平面 ABC⊥平面 BSC.
证明: ∵∠ASC∠ASB60,
A
SASBSCa.
S
B
∴△ASC≌△ASB, ABAC. 取 BC 的中点 E, 则 AE⊥BC. ①
E C
在等腰直角△BSC 中, 斜边中线 SECE.
在等边三角形 ASC中, ACAS. ∴△AES≌△AEC.
垂直问题
线 线
判定1
线 面
垂
垂
直
性质1
直
判定2 面
面 垂
性质2 直
判定1：如果一条直线与平面内的2条相交直线垂直， 则这条直线和这个平面垂直
判定2：如果一个平面内经过另一个平面的垂线，则 这2个平面垂直
线 线
判定1
线 面
垂
垂
直
性质1
直
判定2 面
面 垂
性质2 直
性质1：如果两条直线都与一个平面垂直，则这两条 直线平行
在正方体中，求
（1）A1B与平面ABCD所成的角 ∠A1BA=45°
E
（2）A1B与平面BDD1B1所成的角 ∠A1EB=30°
3、二面角
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为O端点, 在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线OA,OB, 这两条射线所成 的∠AOB叫做二面角的平面角,求二面角即求其平面角
柱体的体积：V Sh
体积
锥体的体积： V 1 Sh
3
台体的体积：V 1 (S SS S )h 3
球的体积： V 4 R3
3
题型一 空间几何体的结构特征
题型归纳
例1：根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称． (1)由六个面围成，其中一个面是凸五边形，其余各面是有公共
公共点个数 0个 无数
直 线 和 平 面 的 位 置 关 系
1、直线在平面α外，则二者的公共点个数是（ C ） A.一个 B.至少一个 C.至多一个 D.无数个 2、两条直线没有公共点，则它们的关系是 （平行或异面 ）
3种问题 平行问题
线 判定1 线 判定2 面
线
面
面
平
平
平
行
行
性质1
行
性质2
判定1： 如果平面外一条直线与平面内的一条直线平 行，则这条直线和这个平面平行。
规律方法 有关空间几何体的概念辨析问题,要紧 紧围绕基本概念、结构特征逐条验证,且勿想当然做 出判断.
题型二 空间几何体的表面积和体积的计算
例 2. 如下图(1)所示，已知正方体面对角线长为 a，沿阴影面将它切割成两 块，拼成如下图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为( )
(1)
(2)
A．(1＋2 2)a2 B．(2＋ 2)a2 C．(3－2 2)a2 D．(4＋ 2)a2
B
α
二面角的范围是[0,π]
C
O
D 平面角的特征
A
β
（1）顶点在棱上；
（2）两条边分别在2个平 面内，且均垂直于棱；
正方体棱长为2，求二面角A-B’C-B的正切
解：取B’C的中点O，连AO，BO,
∵AB’=AC,所以AO⊥B’C, 又因为是正方体，所以BO⊥B’C；
tanAOB= AB = BO
(2)如图②，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯 形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．
(3)如图③，过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O，将直角 梯形分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB，绕CD旋转一周
形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．
性质2：如果两个平面垂直，则在一个平面内与交线 垂直的直线垂直于另一个平面
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 则直线与平面垂直。
L n, m , m与n相交， l l m, l n,
性质定理 1、如果直线和平面垂直，则直线垂直面内的任意直线
2
故∠AOB为所求二面角的平面角
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角
3、计算出此角的大小(往往要用锐角的 三角函数或余弦定理）
一“作”二“证”三“计算”
1. 若 正 棱 锥 底 面 边 长 与 侧 棱 长 相 等 ， 则 该 棱 锥 一 定 不 是
D （ ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
【规范解答】 在该几何体的上面，再补一个倒立的同样几何体，则构成 底面半径为 r，高为 a＋b 的圆柱．
∴其体积为12πr2(a＋b)．
【答案】
πr2a＋b 2
点、直线、平面之间的位置关系
三、点、直线、平面之间的位置关系
3种关系 直线和直线
的位置关系
平面和平面 的位置关系
直线和平面 的位置关系
解析：正方体的边长为 22a，新几何体的全面积 S＝2× 22a×a＋
2×
22a
2＋2×a×a＝(2＋ 2
2)a2.
例 3.如图 1-4，已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最 大值为 a，最小值为 b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是________．
图 1-4 【精彩点拨】 题中的几何体是一个不规则图形，无法直接利用公式来计 算其体积，需通过割补法转化为规则的几何体后再利用公式计算．
② ⊥bl//m;
③ l//m⊥b;
④ l⊥m//b.
其中正确的命题是 ( D )
(A) ①与②
(B) ③与④
(C) ②与④
(D) ①与③
m
b
l

b
l
m
b
l
m
b
l
m
①成立 ②反例
③成立 ④反例
5. 如图, 过点 S 引三条不共面的直线 SA, SB,
SC, 其中∠BSC90, ∠ASC∠ASB60, 且
典型例题
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证：平面ACC1A1 平面A1BD
D1 A1
C1 证明：因为是正方体，所以
B1
AC⊥BD，
D
A
O
C 又AA1⊥平面ABCD，故AA1⊥BD，
B
因为AC∩BD=O,
所以BD⊥平面ACC1A1
故命题得证
四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是 SA的中点， 求证：平面EBD⊥平面ABCD.
S
证明：连接AC，BD，交点为F，
D
E
C 连接EF，EF是△SAC的中位线，
A
F B
∴ EF//SC.
直线EF⊥平面ABCD
直线EF在平面EBD内 故平面EBD⊥平面ABCD
成角问题
（1）两条异面直线成的角
将两条异面直线平移为相交直线，所成的不大于 90°的角即为二者所成的角
a （1）作，作出所求的角； （2）证明该角是所求；
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专题回顾1.5 立体几何

知识梳理
一、空间几何体的结构
柱体
棱柱 圆柱
锥体 台体
棱锥
圆锥 棱台 圆台
球体
简单组合体
二、空间几何体的表面积和体积
圆柱的侧面积：S 2rl
面积
圆锥的侧面积：S rl 圆台的侧面积： S (r r)l
球的表面积： S 4 R2
得∠AES∠AEC, 即 AE⊥ES. ②
由①②知AE⊥平面 BSC.
∵AE平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BSC.
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2.将一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，
B 则表面积增加了（ ）
A．6a2
B．12a2 C．18a2 D．24a2
D 3.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）
A． 1
2
B．1
C．2
D．3
4. 已知直线 l⊥平面 , 直线 m平面 b, 有下列
命题:
① //bl⊥m;
2、如果两条直线都和某平面垂直，则这两直线平行
1、勾股定理
平面几何的方法
2、等腰（边）三角形底边 上的中线与底边垂直
线
3、正（长）方形的特点
线
4、直径对的圆周角为90度
垂
直
两条平行线中的一条与
立体几何的方法
某直线，则另一条也垂 直于该直线
直线a与平面α垂直，则a 垂直于α内的任意直线）
典型例题
在正方体AC1中，O为下底面的中心，
（2）线面角---直线和平面所成的角
直l线L是的斜线时, 作AB⊥α于B，
直线L与平面α的交点是O
∠AOB（锐角）即为l 与所成的角
Al
O

B
l 或l // 时, l与a 所成角为00
l 时, l与a 所成角为900
注意: 斜线与平面所成角 00,900
直线与平面所成角 00,900
典型例题
四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平
行四边形，E、F是所在侧棱中点，
求证：EF∥平面PAB
证明：设PA的中点为M，连接ME,MB, 在△PAD中，ME平行且等于AD的一半， 故ME平行且等于BF，故四边形MEFB 是平行四边形，于是EF∥MB, 又EF在平面PAB外， MB在平面PAB内， 故EF∥平面PAB