2023-2024学年北京市西城区八年级上学期数学期末学情检测模拟卷合集2套(含解析)

2023-2024学年北京市西城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷
（A 卷）
一、选一选（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表相应空格内，每小题3分，共30分）
1.下面各式中正确的是A.m n mn a a a ⋅= B.2m m m
a a a +=C.
()()
n
m
m
n
a a = D.
()
m
m
ab ab =2.下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（
）
A. B. C. D.
3.设一个正方形的边长为a cm ，若边长增加3cm ，则新正方形的面积增加了A.9cm 2
B.6a cm 2
C.(6a +9)cm 2
D.无法确定
4.下式等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A
.
()()22a b a b a b +-=-；
B.()2
1+4+41a a a a +=+；
C.()()3
11x x x x x -=-+；
D.2
111x x x x x ⎛⎫++=++
⎪⎝
⎭
．5.已知2264x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值是（）
A.8
B.8
± C.16
D.16
±6.若a ≠b ，下列各式中没有能成立的是A.22()()a b a b +=-- B.()()()()a b a b b a b a +-=+-C.22()()n n
a b b a -=- D.33
()()a b b a +=+7.若（x ﹣3）（x ＋4）＝x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（）
A.p ＝1，q ＝﹣12
B.p ＝﹣1，q ＝12
C.p ＝7，q ＝12
D.p ＝7，q ＝﹣12
8.如图，直线是一条河，A 、B 是两个新农村定居点．欲在l 上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A 、B 两地供水．现有如下四种管道铺设，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的是（
）
A. B. C. D.
9.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=45°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB 于E ，AB=a ，CD=m ，则AC 的长为（
）
A.2m
B.a-m
C.a
D.a+m
10.用10米长的铝合金做成一个长方形的窗框（如图），设长方形窗框的横条长度为x 米，则长方形窗框的面积为
A.()10x x -平方米
B.()103x x -平方米
C.352x x ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
平方米 D.3102x x ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
平方米二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算：﹣a 11÷(﹣a )6•(﹣a )5=_____________.12.计算：24(1)(25)(25)x x x ⨯+-+-=_________.
13.因式分解：()2
24a b b --=______．
14.若点M (2，a +3)与点N (2，2a ﹣15)关于x 轴对称，则a 2+3=_____________.
15.如图，P 是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角的平分线的交点，若∠A =90°，则∠P =_____________.
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.化简下列多项式：
（1）2(1)(41)(21)x x x +---（2）(223)(223)a b a b +--+（3）若2530x y +-=，求432x y ⋅的值.
（4）先化简，再求值：(2x ﹣1)2﹣(3x +1)(3x ﹣1)+5x (x ﹣1)，其中x =﹣2．17.分解因式
（1）4x 3﹣16xy 2
（2）3a 2＋6ab ＋3b 2
18.已知22
46130x y
x y +-++=，求2269x xy y -+的值．
19.通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算：195205⨯．解：195205⨯，
()20052005=-+①，
222005=-②，
39975=.
(1)例题求解过程中，第②步变形是利用___________（填乘法公式的名称）．(2)用简便方法计算：91110110001⨯⨯⨯．
20.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，ABC 的三个顶点都在格点上．
()1画ABC 关于直线MN 的对称图形111(A B C 没有写画法)；()2求ABC 的面积；
21.阅读下面的解答过程，求y 2＋4y ＋8的最小值．
解：y 2＋4y ＋8＝y 2＋4y ＋4＋4＝(y +2)2+4≥4，∵(y ＋2)2≥0即(y ＋2)2的最小值为0，∴y 2＋4y ＋8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求m 2＋m ＋4的最小值和4﹣x 2＋2x 的值.
22.已知正整数a 、b 、c 满足没有等式22243a b c +++≤98ab b c ++，求a 、b 、c 的值.23.如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD ＝DE .
（1）若点D 是AC 的中点，如图1，求证：AD ＝CE
（2）若点D 没有是AC 的中点，如图2，试判断AD 与CE 的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D 作DF ∥BC ，交AB 于点F ）
2023-2024学年北京市西城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷
（A 卷）
一、选一选（每小题只有一个选项符合题意，请将你认为正确的选项字母填入下表相应空格内，每小题3分，共30分）
1.下面各式中正确的是A.m n mn a a a ⋅= B.2m m m
a a a +=C.
()()
n
m
m
n
a a = D.
()
m
m
ab ab =
【正确答案】C
【详解】A. m n mn a a a ⋅=，原式计算错误，故本选项错误；B.m a 和n a 没有是同类项，没有能合并；C.()m n a =()n m a ，计算正确，故本选项正确；D.()m m ab ab =，原式计算错误，故本选项错误．故选C.
2.下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（
）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】A 轴对称图形，一条对称轴；B 没有是轴对称图形；C 是轴对称图形，有两条对称轴；D 是轴对称图形，有两条对称轴.故选A.
考点：轴对称图形.
3.设一个正方形的边长为a cm ，若边长增加3cm ，则新正方形的面积增加了A.9cm 2
B.6a cm 2
C.(6a +9)cm 2
D.无法确定
【正确答案】C
【详解】解：根据题意得：(a +3)2−a 2=a 2+6a +9−a 2=(6a +9)cm 2，∴新正方形的面积增加了(6a +9)cm 2故选：C ．
本题考查了整式的混合运算，先由题意表示出增加后新正方形的边长，分别求出原正方形与新正方形的面积，相减即可得到增加的面积．
4.下式等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A.
()()22a b a b a b +-=-；
B.()2
1+4+41a a a a +=+；
C.()()3
11x x x x x -=-+； D.2
111x x x x x ⎛⎫++=++
⎪⎝
⎭
．【正确答案】C
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A.是整式的乘法，故A 错误；
B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；
C.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；
D.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误；故选C.
此题考查因式分解的意义，解题关键在于掌握运算法则5.已知2264x kxy y ++是一个完全平方式，则k 的值是（）
A.8
B.8
± C.16
D.16
±【正确答案】D
【分析】两个完全平方式：222,a ab b ±+本题的特点可得：218,k =±⨯⨯从而可得答案.【详解】解：(
)2
2
2
2
64=8x kxy y x kxy y
++++，
2264x kxy y ++是一个完全平方式，
21816,
k ∴=±⨯⨯=±故选D
本题考查的是完全平方式的应用，掌握利用完全平方式的特点求解参数的值是解本题的关键.6.若a ≠b ，下列各式中没有能成立的是A.2
2
()()a b a b +=-- B.()()()()a b a b b a b a +-=+-C.22()
()n n
a b b a -=- D.3
3
()()
a b b a +=+【正确答案】B
【详解】A.(a+b)²=a²+2ab+b²,(−a−b)²=[−(a+b)]²=a²+2ab+b ²，故本选项错误；B.(a+b)(a−b)=22a b -,(b+a)(b+a)=b²−a ²，故本选项正确；C.2()n a b -和2()n b a -相等，故本选项错误；D.33()()a b b a +=+，故本选项错误；故选B.
7.若（x ﹣3）（x ＋4）＝x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值是（）
A.p ＝1，q ＝﹣12
B.p ＝﹣1，q ＝12
C.p ＝7，q ＝12
D.p ＝7，q ＝﹣12
【正确答案】A
【详解】试题分析：此题可以将等式左边展开和等式右边对照，根据对应项系数相等即可得到p 、q 的值．
由于（x-3）（x+4）=x2+x-12=x2+px+q，则p=1，q=-12．
故选A．
考点：多项式乘多项式的法则
8.如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的是（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点A关于直线的对称点A'，连接BA'交直线l于一点，
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道最短．
故选：D
本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（）
A.2m
B.a-m
C.a
D.a+m
【正确答案】B
【详解】：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
AD AD
CD DE ⎧⎨
⎩
＝＝，∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC=AE ，
∵∠B=45°，DE ⊥AB ，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴BE=DE=m ，∵AE=AB-BE=a-m ，∴AC=a-m ．故选B ．
10.用10米长的铝合金做成一个长方形的窗框（如图），设长方形窗框的横条长度为x 米，则长
方形窗框的面积为
A.()10x x -平方米
B.()103x x -平方米
C.352x x ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
平方米 D.3102x x ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
平方米【正确答案】C
【详解】由题意得，窗框的竖条长为：1
2(10−3x)=5−32
x ，所以，长方形窗框的面积为x(5−32
x).故选C.
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11.计算：﹣a 11÷(﹣a )6•(﹣a )5=_____________.【正确答案】a 10
【详解】11651165116510()()()a a a a a a a a -+-÷-⋅-=-÷⋅-==，故答案为10
a
12.计算：24(1)(25)(25)x x x ⨯+-+-=_________.【正确答案】8x 29
+【详解】原式=224(21)(425)x x x ++--=224x 8x 44x 25++-+=8x+4+25=8x+29,故答案为8x+29.13.因式分解：()2
24a b b --=______．
【正确答案】()()3a b a b -+【分析】利用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：()()()()()2
24223a b b a b b a b b a b a b --=-+--=+-．故答案是：()()3a b a b -+．
本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
14.若点M (2，a +3)与点N (2，2a ﹣15)关于x 轴对称，则a 2+3=_____________.【正确答案】19
【详解】试题分析：根据纵坐标互为相反数列式求得a 的值，代入所给代数式求值即可．试题解析：∵点M （2，a+3）与点N （2，2a-15）关于x 轴对称，∴a+3+2a-15=0，解得a=4，∴a 2+3=19.
考点：1.关于x 轴、y 轴对称的点的坐标；2.代数式求值．
15.如图，P 是△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的外角的平分线的交点，若∠A =90°，则∠P =_____________.
【正确答案】45°
【详解】根据三角形的外角性质，∠ACE=∠A+∠ABC ，∠PCE=∠P+∠PBC ，∵BP 平分∠ABC ，CP 是△ABC 的外角的平分线，∴∠PBC=1
2∠ABC,∠PCE=1
2∠ACE ，
∴∠P+12∠ABC=1
2(∠A+∠ABC)，∴∠A=2∠P ，∵∠A=90°，∴∠P=45°故答案为45°
点睛：本题考查了三角形内角和定理,三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它没有相邻的两个内角的和列式表示出∠ACE 和∠PCE ，再根据角平分线的定义表示出∠PBC 和∠PCE ，然后整理求出∠A=2∠P ，再代入进行计算即可得解．
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.化简下列多项式：
（1）2(1)(41)(21)x x x +---（2）(223)(223)a b a b +--+（3）若2530x y +-=，求432x y ⋅的值.
（4）先化简，再求值：(2x ﹣1)2﹣(3x +1)(3x ﹣1)+5x (x ﹣1)，其中x =﹣2．【正确答案】（1）72
x -（2）2244129
a b b -+-（3）8;(4)20.
【详解】（1）先利用多项式的乘法计算，再运用完全平方公式计算即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）利用幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算计算即可；（4）原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．本题解析：
（1）()()()2
14121x x x +---=2244144172x x x x x x -+--+-=-，（2）原式=[][]
222
(22)3(22)3(22)94849a b a b a b a ab b +-++=+-=++-，（3）∵2x+5y=3,∴原式=2525253(2)(2)22228x y x y x y +⋅=⋅===，
（4）解（2x ﹣1）2﹣（3x+1）（3x ﹣1）+5x （x ﹣1）=4x 2﹣4x+1﹣9x 2+1+5x 2﹣5x=﹣9x+2，当x=﹣2时，原式=﹣9×（﹣2）+2=20．17.分解因式
（1）4x 3﹣16xy 2
（2）3a 2＋6ab ＋3b 2
【正确答案】(1)4x(x+2y)(x ﹣2y)；(2)3(a+b)2.
【详解】分析：（1）直接提取公因式4x ，再利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
本题解析：
解：（1）4x 3﹣16xy 2=4x （x 2﹣4y 2）=4x(x+2y)(x ﹣2y)；（2）3a 2+6ab+3b 2=3（a 2+2ab+b 2）=3(a+b)2；18.已知22
46130x y x y +-++=，求2269x xy y -+的值．
【正确答案】121
【详解】∵x ²+y ²−4x +6y +13=(x −2)²+(y +3)²=0，∴x −2=0，y +3=0，即x =2，y =−3，则原式=(x −3y )²=11²=121．
本题考查了因式分解-运用公式法，非负数的性质：偶次方，已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果．
19.通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算：195205⨯．解：195205⨯，
()20052005=-+①，
222005=-②，
39975
=.
(1)例题求解过程中，第②步变形是利用___________（填乘法公式的名称）．(2)用简便方法计算：91110110001⨯⨯⨯．【正确答案】（1）平方差公式；（2）8101-．
【分析】（1）因为这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，所以利用平方差公式；（2）首先将原式变形为：（10﹣1）（10+1）（100+1）（10000+1），再利用平方差公式依次计算即可求得答案．
【详解】（1）平方差公式；（2）9×11×101×10001，
=（10﹣1）
（10+1）（100+1）（10000+1），=（100﹣1）
（100+1）（10000+1），=（10000﹣1）（10000+1），=8101-．
考查了平方差公式的应用．注意平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式是解题的关键．
20.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，ABC 的三个顶点都在格点上．
()1画ABC 关于直线MN 的对称图形111(A B C 没有写画法)；()2求ABC 的面积；
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（）8.5.
【详解】分析：（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可；（2）过点A 作AE 垂直CB 的延长线与点E ，则线段AE 即为所求；（3）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．本题解析;
解：（1）如图所示：（2）如图所示：
（3）S △ABC =4×5﹣
12×1×4﹣12×1×4﹣1
2
×3×5=8.5．21.阅读下面的解答过程，求y 2＋4y ＋8的最小值．
解：y 2＋4y ＋8＝y 2＋4y ＋4＋4＝(y +2)2+4≥4，∵(y ＋2)2≥0即(y ＋2)2的最小值为0，∴y 2＋4y ＋8的最小值为4.
仿照上面的解答过程，求m 2＋m ＋4的最小值和4﹣x 2＋2x 的值.【正确答案】
154
；5
【分析】多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值；多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出值．【详解】解：（1）m 2+m+4=(m+1
2)2+15
4
，∵（m+1
2）2≥0，∴(m+12)2+
154≥154．则m 2+m+4的最小值是154
；()2
24215x x x -+=--+，
∵()2
1x --≤0，∴()215x --+≤5，∴值是5.
本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
22.已知正整数a 、b 、c 满足没有等式22243a b c +++≤98ab b c ++，求a 、b 、c 的值.【正确答案】3a =，6b =，4c =.
【详解】分析：由已知条件构造完全平方公式，得()()2
22136424a b b c ⎛⎫-+-+- ⎪⎝
⎭≤0，然后由
非负数的性质求解．本题解析：
解：∵22243a b c +++≤98ab b c ++，∴2
22
21392781644
a a
b b b b
c c -+
+-++-+≤0，∴()()2
22136424a b b c ⎛⎫-+-+- ⎪⎝
⎭≤0，又∵2
12a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0，()2364b -≥0，()24c -≥0，∴()()2
22136424a b b c ⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭≥0，
∴()()222136424a b b c ⎛⎫-+-+- ⎪⎝
⎭=0，∴102a b -=，60b -=，40c -=，∴3a =，6b =，
4c =.
23.如图，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，且BD ＝DE .
（1）若点D 是AC 的中点，如图1，求证：AD ＝CE
（2）若点D没有是AC的中点，如图2，试判断AD与CE的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点D作DF∥BC，交AB于点F）
【正确答案】（1）证明见解析；（2）AD=CE，证明见解析.
【分析】（1）求出∠E=∠CDE，推出CD=CE，根据等腰三角形性质求出AD=DC，即可得出答案；（2）过D作DF∥BC，交AB于F，证△BFD≌△DCE，推出DF=CE，证△ADF是等边三角形，推出AD=DF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，
∵D为AC中点，
∴∠DBC=30°，AD=DC，
∵BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=30°=∠E，
∴CD=CE，
∵AD=DC，
∴AD=CE；
（2）AD=CE，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，
则∠ADF=∠ACB=60°，
∵∠A=60°，∴△AFD是等边三角形，
∴AD=DF=AF，∠AFD=60°，
∴∠BFD=∠DCE=180°﹣60°=120°，∵DF ∥BC ，
∴∠FDB=∠DBE=∠E ，
在△BFD 和△DCE 中FDB E BFD DCE BD DE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BFD ≌△DCE ，∴CE=DF=AD ，即AD=CE ．
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
2023-2024学年北京市西城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷
（B 卷）
一、选一选（每题3分，共24分）
1.下面图案中是轴对称图形的有(
)
A .
1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，则△ABC 是（）
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
3.在ABC ∆和A B C '''∆中，,AB A B AC A C ==''''，高AD A D ''=，则C ∠和C '∠的关系是(
)
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.以上都没有对
4.如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论中没有正确的是（
）
A.B C ∠=∠
B.AD BC ⊥
C.AD 平分BAC
∠ D.2AB BD
=5.由下列条件没有能判定ABC 为直角三角形的是（）
A.A B C ＝∠+∠∠
B.::1:3:2A B C ∠∠∠＝C .
111
,,345
a b c =
== D.2
()()b c b c a +-=6.在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（）
A.30
B.40
C.50
D.60
7.下列说法中正确的是（）
A.两个直角三角形全等
B.两个等腰三角形全等
C.两个等边三角形全等
D.两条直角边对应相等的直角三角形全等
8.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81cm 2和144cm 2，则正方形③的边长为（
）
A.225cm
B.63cm
C.50cm
D.15cm
二、填空题（每题2分，共20分）
9.如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是___________10.直角三角形的两条直角边分别是9和12，则斜边是___________
11.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB D ∠=︒,为斜边AB 的中点，AC =6cm,BC =8cm ，则CD 的长为___________cm.
12.如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 中点，35BAD ∠=︒，则C ∠的度数为_____．
13.已知等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为7cm ，则底边长为__________．
14.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了12km ，乙往南偏东30°的向走了5km ，这时甲、乙两人相距___________km
15.如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，如果∠B =20°，则∠CAD =_____________
16.如图，Rt ABC ∆中，90,8,3C AC BC ∠=︒==,,,AE AC P Q ⊥分别是,AC AE 上动点，且PQ AB =，当AP =_______时，才能使ABC ∆和PQA ∆全等.
17.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，CD 的长为______．
18.如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，5,6AC BC AB ===,ABC ∆的顶点,A B 分别在边
,OM ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持没有变，
在运动过程中，点C 到点O 的距离为____________.
三、解答题（共56分）
19.如图，在正方形网格上有一个△DEF.(1)作△DEF 关于直线HG 的轴对称图形；(2)作△DEF 的EF 边上的高；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF 的面积．
20.如图，OA ⊥OB ，OA ＝45海里，OB ＝15海里，有一海岛位于O 点，我国海监船在点B 处发现有一没有明国籍的渔船，自A 点出发沿着AO 方向匀速驶向海岛O ，我国海监船立即从B 处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C 处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC 的长．
21.如图，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AB 上，且,//AE AC EF BC =交AC 于点F .试说明:EC 平分DEF ∠.
22.已知：如图，在ABC ∆中，90,,ACB AC BC D ∠=︒=是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =．
（1）求证：,DE DF DE DF =⊥；（2）若AC =2，求四边形DECF 的面积．
23.如图，在ABC ∆中，90,,BAC AB AC BD ∠=︒=平分ABC ∠，CE BD ⊥于点E .（1）求ECD ∠的度数．（2）求证.2BD EC
=24.如图，已知ABC ∆中，90,,,BAC AB AC D E ∠=︒=是BC 边上的点，将ABD ∆绕点A 旋转，得到ACD ∆'.
（1）当45DAE ∠=︒时，求证.DE D E
='（2）在（1）的条件下，猜想2BD ，2DE ，2CE 有怎样的数量关系，并说明理由．
25.如图，已知点D为OB上的一点，请用直尺和圆规按下列要求进行作图，保留作图痕迹．（1）作∠AOB的平分线OC；
（2）在OC上取一点P，使得OP=a；
（3）爱动脑筋的小刚仔细观察后，进行如下操作：在边OA上取一点E，使
得PE＝PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间存在一定的数量关系，请写出∠OEP
与∠ODP的数量关系，并说明理由．
26.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．
根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF=45°．若∠B 、∠D 都没有是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系
时，仍有EF=BE+DF ．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 、E 均在边BC 上，且∠DAE=45°．猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．2023-2024学年北京市西城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷
（B 卷）
一、选一选（每题3分，共24分）
1.下面图案中是轴对称图形的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【正确答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，找出轴对称图形的个数即可．
【详解】解：各图案中，是轴对称图形的有：第（1）第（2）个，共2个.
故选B.
本题考查了轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.
2.在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，则△ABC 是（
）A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【正确答案】B
【详解】解：∵在△ABC 中，∠A =70°，∠B =55°，
∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =55°，
∴∠B =∠C ，
∴△ABC 是等腰三角形．
故选：B ．
本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的判定，熟记三角形的内角和是解题的关键．3.在ABC ∆和A B C '''∆中，,AB A B AC A C ==''''，高AD A D ''=，则C ∠和C '∠的关系是
()
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.以上都没有对
【正确答案】C
【详解】试题解析：当∠C ′为锐角时，如图1所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD ⊥BC ，A′D′⊥B′C′，
∴Rt △ADC ≌Rt △A′D′C′，
∴∠C=∠C′；
当∠C 为钝角时，如图3所示，
∵AC=A′C′，AD=A′D′，AD ⊥BC ，A′D′⊥B′C′，
∴Rt △ACD ≌Rt △A′C′D′，
∴∠C=∠A′C′D′，
∴∠C+∠A′C′B′=180°．
故选C.
4.如图，ABC 中，AB AC =，D 是BC 中点，下列结论中没有正确的是（）
A.B C ∠=∠
B.AD BC ⊥
C.AD 平分BAC
∠ D.2AB BD
=【正确答案】D
【分析】利用三线合一的性质对每一个选项进行验证从而求解．
【详解】解：∵△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，
∴∠B =∠C ，（故A 正确）
AD ⊥BC ，（故B 正确）
∠BAD =∠CAD （故C 正确）
无法得到AB =2BD ，（故D 没有正确）．
故选：D ．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．
5.由下列条件没有能判定ABC 为直角三角形的是（
）A.A B C
＝∠+∠∠ B.::1:3:2A B C ∠∠∠＝C.111,,345
a b c === D.2()()b c b c a +-=【正确答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或角是否是90°即可.
【详解】A 、∵∠A+∠B=∠C ，∴∠C=90°，故是直角三角形，正确；
B 、∵∠A ：∠B ：∠C=1：3：2，∴∠B=
36×180°=90°，故是直角三角形，正确；C 、∵（13）2+（14）2≠（15
）2，故没有能判定是直角三角形；D 、∵（b+c ）（b-c ）=a 2，∴b 2-c 2=a 2，即a 2+c 2=b 2，故是直角三角形，正确．
故选C ．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6.在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（
）A.30
B.40
C.50
D.60
【正确答案】A
【详解】解：另一直角边长是：．则直角三角形的面积是12×12×5=30．
故选A ．
7.下列说法中正确的是（
）A.两个直角三角形全等
B.两个等腰三角形全等
C.两个等边三角形全等
D.两条直角边对应相等的直角三角形全等【正确答案】D
【详解】试题解析：A 、两个直角三角形只能说明有一个直角相等，其他条件没有明确，所以没有一定全等，故本选项错误；
B 、两个等腰三角形，腰没有一定相等，夹角也没有一定相等，所以没有一定全等，故本选项错误；
C 、两个等边三角形，边长没有一定相等，所以没有一定全等，故本选项错误；
D 、它们的夹角是直角相等，可以根据边角边定理判定全等，正确．
故选D ．
8.已知正方形①、②在直线上，正方形③如图放置，若正方形①、②的面积分别为81cm 2和144cm 2，则正方形③的边长为（
）
A.225cm
B.63cm
C.50cm
D.15cm
【正确答案】D 【详解】试题解析：∵四边形①、②、③都是正方形，
∴∠EAB=∠EBD=∠BCD=90°，BE=BD ，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠ABE+∠DBC=90°，
∴∠AEB=∠CBD ．
在△ABE 和△CDB 中，
EAB BCD AEB CBD BE DB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABE ≌△CDB （AAS ），
∴AE=BC ，AB=CD ．
∵正方形①、②的面积分别81cm 2和144cm 2，
∴AE 2=81，CD 2=144．
∴AB 2=63．
在Rt △ABE 中，由勾股定理，得
BE 2=AE 2+AB 2=81+144=225，
∴BE=15．
故选D ．
二、填空题（每题2分，共20分）
9.如果等腰三角形的底角是50°，那么这个三角形的顶角的度数是___________
【正确答案】80°
【详解】试题解析：180°-50°×2
=180°-100°
=80°．
故这个三角形的顶角的度数是80°．
10.直角三角形的两条直角边分别是9和12，则斜边是___________
【正确答案】15
【详解】试题解析：由一个直角三角形的两条直角边分别是9和12，
=15．
11.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB D ∠=︒,为斜边AB 的中点，AC =6cm,BC =8cm ，则CD 的长为___________cm.
【正确答案】5
【详解】试题解析：由勾股定理得，=10cm ，
∵∠ACB=90°，D 为斜边AB 的中点，
∴CD=12AB=12×10=5cm ．
12.如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为BC 中点，35BAD ∠=︒，则C ∠的度数为_____．
【正确答案】55°
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【详解】解：AB=AC ，D 为BC 中点，
∴AD 是∠BAC 的平分线，∠B=∠C ，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=1
2（180°-70°）=55°．
故55°．
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13.已知等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为7cm，则底边长为__________．
【正确答案】1cm或7cm
【分析】分7cm是腰或底边两种情况进行讨论．
【详解】解：当底为7cm时，此时腰长为4cm和4cm，满足三角形的三边关系；
当腰为7cm时，此时另一腰为7cm，则底为1cm，满足三角形的三边关系；
所以底边长为1cm或7cm．
本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，没有要漏解．
14.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了12km，乙往南偏东30°的向走了5km，这时甲、乙两人相距___________km
【正确答案】13
【详解】试题解析：如图所示，
∵甲往北偏东60°的方向走了12km，乙往南偏东30°的向走了5km，
∴∠AOB=90°，
∴AB==13（km）．
15.如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，如果∠B=20°，则
∠CAD=_____________
【正确答案】50°
【详解】
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AD =BD ，
∴∠BAD =∠B =20°，
∵∠C =90°，
∴∠CAD =180°-20°×2-90°=180°-40°-90°=50°，
故50°．
本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应的角相等，然后根据三角形的内角和求解．16.如图，Rt ABC ∆中，90,8,3C AC BC ∠=︒==,,,AE AC P Q ⊥分别是,AC AE 上动点，且PQ AB =，当AP =_______时，才能使ABC ∆和PQA ∆全等
.
【正确答案】3或8
【详解】试题解析：分为两种情况：①当AP=3时，
∵BC=3，
∴AP=BC ，
∵∠C=90°，AE ⊥AC ，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt △ABC 和Rt △QAP 中，
AB PQ BC AP
⎧⎨⎩＝＝∴Rt △ABC ≌Rt △QAP （HL ），
②当AP=8时，
∵AC=8，
∴AP=AC ，
∵∠C=90°，AE ⊥AC ，
∴∠C=∠QAP=90°，
∴在Rt △ABC 和Rt △QAP 中，
AB PQ AC AP
⎧⎨⎩＝＝∴Rt △ABC ≌Rt △QAP （HL ），
故答案为3或8．
17.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，CD 的长为______
．
【正确答案】3cm
【分析】由勾股定理求得AB =10cm ，然后由翻折的性质求得BE =4cm ，设DC =xcm ，则BD =（8-x ）cm ，DE =x cm ，在△BDE 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在Rt △ABC 中，两直角边AC =6cm ，BC =8cm
，
10AB cm ∴===（）．
由折叠的性质可知：DC =DE ，AC =AE =6cm ，∠DEA =∠C =90°，
∴BE =AB -AE =10-6=4（cm ），∠DEB =90°，
设DC =x cm ，则BD =（8-x ）cm ，DE =x cm ，
在Rt △BED 中，由勾股定理得：BE 2+DE 2=BD 2，
即42+x 2=（8-x ）2，
解得：x =3．
故答案为3cm ．
本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
18.如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，5,6AC BC AB ===,ABC ∆的顶点,A B 分别在边,OM ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持没有变，在运动过程中，点C 到点O 的距离为____________.
【正确答案】7
【详解】试题解析：如图，取AB 的中点D ，连接CD ．
∵AC=BC=5，AB=6．
∵点D 是AB 边中点，
∴BD=1
2AB=3，
∴CD=2222=53BC BD --=4；
连接OD ，OC ，有OC≤OD+DC ，
当O 、D 、C 共线时，OC 有值，值是OD+CD ，
又∵△AOB 为直角三角形，D 为斜边AB 的中点，
∴OD=12AB=3，
∴OD+CD=3+4=7，即OC=7．
三、解答题（共56分）
19.如图，在正方形网格上有一个△DEF.
(1)作△DEF 关于直线HG 的轴对称图形；
(2)作△DEF 的EF 边上的高；
(3)若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF 的面积．
【正确答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）3.
【分析】（1）分别得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用钝角三角形高线作法得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，△DEF关于直线HG的轴对称图形为△D′E′F′；
（2）如图所示，DH即为所求；
（3）S△DEF=12×3×2=3．
此题主要考查了作图--轴对称变换和三角形面积求法，关键是确定组成图形的对应点位置．20.如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，有一海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一没有明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向海岛O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【正确答案】（1）见详解；（2）BC=25海里
【分析】（1）连接AB，然后作AB的垂直平分线，交OA于一点C，则点C即为所求；
（2）由（1）可设AC=BC=x，则有OC=45-x，然后根据勾股定理可求解．
【详解】解：（1）连接AB，分别以点A、B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两个点，交OA于点C，则C即为所求；如图所示：
（2）连接BC ，如图所示：
由（1）及OB=15海里，OA=45海里，可设AC=BC=x ，则有OC=45-x ，
在Rt △BOC 中，
222BC OB OC =+，即()2
221545x x =+-，解得：25x =，即BC=25海里．
本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质定理及勾股定理是解题的关键．
21.如图，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AB 上，且,//AE AC EF BC =交AC 于点F .试说明:EC 平分DEF ∠.
【正确答案】证明见解析.
【分析】先根据SAS 证明△ACD ≌△AED ，再根据全等三角形的性质得到CD =ED ，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠DEC =∠FEC ，从而得出结论．
【详解】证明：∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD =∠CAD ，
在△ACD 与△AED 中，
∵AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△AED （SAS ），
∴CD =ED ，
∴∠DEC =∠DCE ，
∵EF ∥BC ，
∴∠FEC =∠DCE ，
∴∠DEC =∠FEC ，
∴CE 平分∠DEF ．
本题考查的是三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．22.已知：如图，在ABC ∆中，90,,ACB AC BC D ∠=︒=是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =．
（1）求证：,DE DF DE DF =⊥；
（2）若AC =2，求四边形DECF
的面积．
【正确答案】（1）证明见解析；（2）1．
【分析】（1）首先可判断△ABC 是等腰直角三角形，连接CD ，再证明BD =CD ，∠DCF =∠A ，根据全等三角形的判定易得到△ADE ≌△CDF ，继而可得出结论；
（2）根据全等可得S △AED =S △CFD ，进而得到S 四边形CEDF =S △ADC ，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】解：（1）证明：如图，连接CD ．。