2018-2019学年广东省汕头市龙湖区九年级(上)期末数学试卷

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2018-2019 学年广东省汕头市龙湖区九年级(上)期末数
学试卷
副标题
题号一二三四总分
得分
一、选择题(本大题共10 小题,共 30.0 分)
1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中,点P( -3, 4)关于原点对称的点的坐标是()
A. (3,4)
B. (3,-4)
C. (4,-3)
D. (-3,4)
3.已知关于 x 的一元二次方程x2+mx-8=0的一个根为 1,则 m 的值为()
A. 1
B. -8
C. -7
D. 7
4.将抛物线 y=x2向左平移 2 单位,再向上平移 3 个单位,则所得的抛物线解析式为
()
A. y=(x+2)2+3
B. y=(x-2)2+3
C. y=(x+2)2-3
D. y=(x-2)2-3
5.在一个不透明的布袋中装有40 个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小
红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.30左右,则布袋中黄球可能有()
A.12个
B. 14个
C. 18个
D. 28个
6.若反比例函数 y= 的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在()
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、三象限
D. 第二、四象限
7.如果一个正多边形的中心角是60 °
),那么这个正多边形的边数是(
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.共享单车为市民出行带来了方便,某单车公司第一个月投放1000 辆单车,计划第
三个月投放单车数量比第一个月多440 辆 .设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为,则所列方程正确的为:
A. B.
C. D.
9. 如图,在⊙ O 中,若点 C 是的中点,∠A=50°,则∠BOC=()
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
22
A. k>
B. k>且 k≠0
C. k<
D. k≥且k≠0
二、填空题(本大题共 6 小题,共24.0 分)
11.二次函数 y=4(x-3)2+7 的图象的顶点坐标是 ______.
12.已知:是反比例函数,则m=______.
13.三角形两边长分别为 3 和 6,第三边是方程x2-13x+36=0 的根,则三角形的周长为
______.
14.设 O 为△ABC 的内心,若∠A=48 °,则∠BOC=______ °.
15.如图,△ABC 是等腰直角三角形,BC 是斜边,P 为△ABC
内一点,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP′重合,若
AP=1,那么线段 PP′的长等于 ______.
16.从甲、乙、丙、丁4名学生中随机抽取 2 名学生担任数
学小组长,则抽取到甲和乙概率为______.
三、计算题(本大题共 1 小题,共9.0 分)
17.如图, BD 为⊙ O 的直径,点 A 是劣弧 BC 的中点, AD 交
BC 于点 E,连结 AB.
(1)求证: AB2=AE?AD ;
(2)若 AE=2 , ED=4 ,求图中阴影的面积.
四、解答题(本大题共8 小题,共57.0 分)
18.如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,过点 O 作弦 BC 的平行
线,交过点 A 的切线 AP 于点 P,连结 AC.求证:
△ABC ∽△POA .
明组成一个小组参加“双人组”比赛,比赛规则是:同一小组的两名队员的比赛项目不能相同,且每人只能随机抽取一次,则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”
的概率是多少?请用画树状图或列表的方法进行说明.
20.如图,在边长为 1 的正方形网格中,△ABC 的顶点均在格点上,
把△ABC 绕点 C 逆时针旋转 90°后得到△A1B1C.
(1)画出△A1B1C;
(2)求在旋转过程中, CA 所扫过的面积.
21.某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产
76 件,每件利润 10 元.调查表明:生产每提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件
利润增加 2 元.
( 1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14 元,此批次蛋糕属第几档次产品;
( 2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少 4 件.若生产的某档次产品一天的总利润为1080 元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?
22.如图,直线 y=x+2 与 y 轴交于点 A,与反比例函数
的图象交于点 C,过点 C 作 CB⊥x 轴于
点 B, AO=2 BO,求反比例函数的解析式.
23.如图所示,在△ABC 中,∠BAC=120 °,以 BC 为边向外
作等边三角形 BCD ,把△ABD 绕点 D 按顺时针方向旋转
60°后到△ECD 的位置,若 AB=6 , AC=4,求∠BAD 的
度数和 AD 的长.
24.如图,以 AB 边为直径的⊙ O 经过点 P, C 是⊙ O 上一点,连结 PC 交 AB 于点 E,
且∠ACP=60°,PA =PD .
( 1)试判断PD 与⊙ O 的位置关系,并说明理由;
( 2)若点 C 是弧 AB 的中点,已知AB=4,求 CE?CP 的值.
25.如图,抛物线经过 A( 4,0)、B(1,0)、C(0,-2)
三点.
( 1)求此抛物线的解析式;
( 2) P 是第一象限内抛物线上一动点,过P 作 PM ⊥x
轴,垂足为M,是否存在P 点,使得以 A、P、M 为顶
点的三角形与△OAC 相似?若存在,请求出符合条件
的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案和解析
1.【答案】 C
【解析】
解:A 、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意;
B 、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C 、既是中心对称图形又是轴对称图形,故本选项符合题意;
D 、不是中心对称图形,是轴对称图形,故本选项不符合题意.
故选:C .
根据轴对称图形和中心 对称图形的概念 对各选项分析判断即可得解.
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对
称轴,图形两部分折叠后可重合,中心 对称图形是要寻找对称中心,旋转 180
度后两部分重合. 2.【答案】 B
【解析】
解:点P (-3,4)关于原点对称的点的坐 标是:(3,-4).
故选:B .
直接利用关于原点 对称点的性 质得出答案.
此题主要考查了关于原点 对称点的性 质,正确把握横纵坐标的关系是解 题关
键.
3.【答案】 D
【解析】
解:∵关于 x 的一元二次方程 x 2
+mx-8=0 的一个根 为 1,
∴1+m-8=0, ∴m=7.
故选:D .
根据一元二次方程的解的定 义把 x=1 代入方程得到关于 m 的一次方程,然后
解一次方程即可.
本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两 边相等的未知数的
4.【答案】A
【解析】
2
解:∵抛物线 y=x 向左平移 2 单位,再向上平移 3 个单位,
2
∴所得的抛物线解析式为 y=(x+2)+3.
故选:A.
根据向左平移横坐标减,向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可.
本题考查了二次函数图象与几何变换,平移的规律:左加右减,上加下减,此类题目,利用顶点的变化求解更简便.
5.【答案】A
【解析】
解:设袋子中黄球有 x 个,
根据题意,得:=0.30,
解得:x=12,
即布袋中黄球可能有12 个,
故选:A.
利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.3,然后根据概率公式计算即可.
本题


了利用

率估

概率:大量重复
实验时
,事件

生的

率在某个固
定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可
以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
6.【答案】D
【解析】
解:点(2,-1)在第四象限,则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限.故选:D.
根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限,根据(2,-1)所在
象限即可作出判断.
本题考查了反比例函数的性质,对于反比例函数 y=(k≠0),1()k>0,反比例函数图象在第一、三象限;(2)k<0,反比例函数图象在第二、四象限内.
7.【答案】C
【解析】
解:∵正多边形的中心角和为 360°,正多边形的中心角是 60°,
∴这个正多边形的边数==6.
故选:C.
根据正多边形的中心角和为 360°和正多边形的中心角相等,列式计算即可.本题考查的是正多边形和圆,掌握正多边形的中心角和为 360°和正多边形的中心角相等是解题的关键.
8.【答案】A
【解析】
解:由题意可得,
2
1000(1+x)=1000+440,
故选:A.
根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以解答本题.
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解答本题的关键是明确题意,列
出相应
的方程,

是一道典型的增


问题

9.【答案】A
【解析】
解:∵∠A=50°,OA=OB ,
∴∠OBA= ∠OAB=50°,
∴∠AOB=180°-50 -°50 °=80 °,
∵点 C 是的中点,
∴∠BOC=∠AOB=40°,
故选:A.
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB,根据垂径定理求出
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,垂径定理,等腰三角形的性 质的应用,
注意:在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦,其中有一对相等,那么
其余两对也相等.
10.【答案】 B
【解析】
解:由题意知,k ≠0,方程有两个不相等的 实数根,
所以 △>0,△=b 2-4ac= 2k+1 2-4k 2
=4k+1 0
( ) > . 又 ∵方程是一元二次方程, ∴k ≠0, ∴k >
且 k ≠0.
故选:B .
若一元二次方程有两不等根, 则根的判别式 △=b 2
-4ac >0,建立关于 k 的不等
式,求出 k 的取值范围.
总结:一元二次方程根的情况与判 别式△的关系:
(1)△> 0? 方程有两个不相等的 实数根;
(2)△=0? 方程有两个相等的 实数根;
(3)△< 0? 方程没有 实数根.
注意方程若 为一元二次方程,则 k ≠0.
11.【答案】 ( 3,7)
【解析】
解:
2
∵y=4(x-3)+7,
∴顶点坐标为(3,7),
故答案为:(3,7).
由抛物
线
解析式可求得答案.
本题主要考查二次函数的性 质,掌握二次函数的顶点式是解 题的关键,即在
2
y=a (x-h )+k 中,对称轴为 x=h ,顶点坐标为(h ,k ).
解:因为是反比例函数,
所以 x 的指数 m 2
-5=-1,
即 m 2
=4,
解得:m=2 或 -2,
又 m-2≠0,
所以 m≠2,即m=-2.
故答案为:-2.
根据反比例函数的定义.即 y=(k≠0),只需令m2-5=-1、m-2≠0即可;
本题


了反比例函数的定

,重点是将一般式
转为
y=kx
-1
(k≠0)化
(k≠0)的形式.
13.【答案】13
【解析】
解:(x-4)(x-9)=0,
x-4=0 或 x-9=0,
所以 x1=4,x2=9,
因为 3+6=9,
所以第三边长为 4,
所以三角形的周长为 3+6+4=13.
故答案为 13.
利用因式分解法解方程得到x1=4,x2=9,再利用三角形三边的关系得到 x=4,然后计算三角形的周长.
本题考查了解一元二次方程 -因式分解法:先把方程的右边化为 0,再把左边
通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可
能为 0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,
把解一元二次方程转


解一元一次方程的
问题
了(数学

化思想).也考

了三角形三边的关系.
14.【答案】114
【解析】
解:∵O 是△ABC 的内心,
∴OB,OC 分别平分∠ABC ,∠ACB ,
∴∠OBC+∠OCB==66 °,
∴∠BOC=180°-66 °=114 °.
故答案为:114;
利用内心的定义,OB,OC 都是角平分线,因此可求出∠OBC 与∠OCB 的和,从而得到∠BOC 的度数.
此题主要考查了三角形的内心性质,理解三角形内心的定义,记住三角形内角和定理是解题的关键.
15.【答案】
【解析】
解:∵△ABP 绕点 A 逆时针旋转后与△ACP′重合,
∴∠PAP′=∠BAC=90°,AP=AP′ =1,
∴PP′= .
故答案为:.
根据旋转的性质可知△PAP′是等腰直角三角形,腰长 AP=1,则可用勾股定理求出斜边 PP′的长.
本题考查旋转的性质和直角三角形的性质.旋转变化前后,对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.
16.【答案】
【解析】
解:画树形图得:
∵一共有 12 种情况,抽取到甲和乙的有 2 种,
∴P(抽到甲和乙)= =.
故答案为:.
者的比值就是其发生的概率.
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件.用到的知识点为:概率 =所求情况数与总情况数之比.
17.【答案】解:(1)证明:∵点A是劣弧BC的中点,
∴∠ABC=∠ADB .
又∵∠BAD=∠EAB
∴△ABE∽△ADB.
∴,
∴AB2=AE?AD .
( 2)解:连OA,
∵AE=2, ED=4 ,
由( 1)可知 AB2=AE ?AD,
∴AB2=AE?AD =AE( AE+ED ) =2×6=12.
∴AB=2(舍去负值),
∵BD 为⊙ O 的直径,
∴∠BAD=90 °,
在 Rt△ABD 中, BD =,
∴.
∴OA=OB=AB=2,
∴△AOB 为等边三角形,
∴∠AOB=60 °.
∴=S-S==.
S 阴影扇形 AOB △AOB
【解析】
(1)点A 是劣弧 BC 的中点,即可得∠ABC= ∠ADB ,又由∠BAD= ∠EAB ,即可证得△ABE ∽△ADB ,根据相似三角形的对应边成比例,即可证得
AB 2
=AE?AD ;
2
(2)由(1)可知AB =AE?AD,可求 AB 的长,根据勾股定理求出 BD 长,得出
此题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理、扇形的面积计算以及勾股定理等知识.
18.【答案】证明:∵BC∥OP,
∴∠AOP=∠B,
∵AB 是直径,
∴∠C=90 °,
∵PA 是⊙ O 的切线,切点为A,
∴∠OAP=90 °,
∴∠C=∠OAP,
∴△ABC∽△POA.
【解析】
由 BC∥OP 可得∠AOP=∠B,根据直径所对的圆周角为直角可知∠C=90°,再根据切线的性质知∠OAP=90°,从而可证△ABC ∽△POA.
本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质等知识,掌握相似三角
形的判定定理是解题的关键.
19.【答案】解:根据题意画出树状图如下:
由树状图可知,共有 12 种等可能的结果数,其中恰好小红抽到“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果为 1,
∴P(恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”)=.
【解析】
画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解.
本题考查了列表法和树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
20.【答案】解:(1)则△A1B1C为所求作的图形.
( 2)∵AC=,∠ACA1=90°,
∴在旋转过程中,CA 所扫过的面积为:
S=.
扇形 CAA1
【解析】
(1)根据要求画出图形即可.
(2)利用扇形的面积公式计算即可.
本题考查旋转变换,扇形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知 识,
属于中考常考 题型.
21.【答案】 解:( 1)( 14-10) ÷2+1=3(档次).
答:此批次蛋糕属第三档次产品.
( 2)设烘焙店生产的是第 x 档次的产品,根据题
意得:( 2x+8 ) ×( 76+4-4x ) =1080 ,整理
得: x 2 -16x+55=0,
解得: x 1=5,x 2=11(不合题意,舍去).
答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.
【解析】
(1)根据生产每提高一个档次的蛋糕 产品,该产品每件利 润增加 2 元,即可求
出每件利 润为 14 元的蛋糕属第几档次 产品;
(2)设烘焙店生 产的是第 x 档次的产品,根据单件利润 ×销售数量 =总利润,即
可得出关于 x 的一元二次方程,解之即可得出 结论 .
本题考查了一元二次方程的 应用,解题的关键是:(1)根据数量关系,列式计算;(2)根据单件利润×销售数量 =总利润,列出关于 x 的一元二次方程.
22.【答案】 解:对于直线 y=x+2 ,当 x=0 时, y=2,
∴A ( 0, 2),
∴AO=2,
∵AO=2BO ,
∴BO=1,
当 x=1 时, y=1+2=3 ,
∴C ( 1, 3),
把 C (1, 3)代入
,解得: k=3 ∴
. 【解析】
想办法求出点 C 坐标,再利用待定系数法即可解决 问题 .
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题,属于中考常考题型.
ABD
绕点D
按顺时针方向旋转
60°ECD
的位置,
23.【答案】解:∵把△后到△
∴AD =DE ,∠ADE =60 °, AB=CE,
∵∠BDC+∠BAC =60 °+120 °=180 °,
∴A, B, C,D 四点共圆,
∴∠ABD+∠ACD =180 °,
∵∠ABD=∠DCE ,
∴∠ACD+∠CCE =180 °,
∴A, C, E 在一条直线上,
∴△ADE 是等边三角形,
∴∠DAE=60 °,
∴∠BAD=120 °-60 °=60 °;
AE =AD=AC+EC=AC+AB=10.
【解析】
直接利用旋转的性质得出 AD=DE ,∠ADE=60°,AB=CE ,进而利用等边三角形的判定与性质得出答案.
此题主要考查了旋转的性质,正确得出对应边以及对应角之间的关系是解题关键.
24.【答案】解:(1)如图,PD是⊙O的切线.
证明如下:
连结 OP,
∵∠ACP=60 °,
∴∠AOP=120 °,
∵OA=OP,
∴∠OAP=∠OPA=30 °,
∵PA=PD ,
∴∠PAO=∠D=30 °,
∴∠OPD=90 °,
∴PD 是⊙ O 的切线.
(2)连结 BC,∵AB
是⊙ O 的直径,
∴∠ACB=90 °,
又∵C 为弧 AB 的中点,
∴∠CAB=∠ABC =∠APC=45 °,
∵AB=4,.
∵∠C=∠C,∠CAB=∠APC,
∴△CAE∽△CPA,
22
∴CP ?CE =CA =( 2) =8.
【解析】
(1)连结 OP,根据圆周角定理可得∠AOP=2∠ACP=120°,然后计算出∠PAD 和∠D 的度数,进而可得∠OPD=90°,从而证明 PD 是⊙ O 的切线;
(2)连结 BC,首先求出∠CAB= ∠ABC= ∠APC=45°,然后可得 AC 长,再证明△CAE ∽△CPA,进而可得,然后可得CE?CP的值.
此题主要考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定,关键是掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质定理.
25.【答案】解:(1)设抛物线解析式为:
y=a( x-4)( x-1),
把 C(0, -2)代入得,
∴抛物线解析式为:y=- ( x-4)( x-1) =- x2+ x-2;
( 2)如图,设P 点横坐标为m,则 P 点纵坐标为:,
因为 P 是第一象限内抛物线上一动点,所以1< m<4,
2
AM =4- m, PM=- m + m-2,
又∵∠COA=∠PMA =90°,
△APM ∽△ACO ,
即 4-m=2( - m2+ m-2),
解得 m1=2, m2 =4(舍去),
∴P( 2, 1),
②当== 时,△APM∽△CAO,
即 4-m= (- m2+ m-2),
解得 m3=4, m4 =5(均不合题意,舍去),
∴1< m< 4 时, P 点坐标为( 2, 1).
【解析】
(1)利用交点式,设抛物线解析式为:y=a(x-4)(x-1),进而代入(0,-2)求出a
(2)首先表示出P点坐标(m,- m 2
+m-2),进而利用相似三角形的性质分别
得出 m 的值,进而得出答案.
此题主要考查了交点式求二次函数解析式以及相似三角形的判定与性质等知识,利用分类讨论得出是解题关键.。

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