2015年高考数学广东卷(理科)试卷及答案(word完整版)

绝密★启用前 试卷类型：A
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

{}}{|(4)(1)0,|(4)(1)0M x x x N x x x =++==--=，则M N ⋂=
}{A.
1,4
}{B.
1,4--
}{C.
D.∅
(32)z i i =-（i 是虚数单位）
，则z = A.23i -
B.23i +
C.32i +
D.32i -
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A.y 1
B.
y x x
=+
1C.22x x
y =+
D.x y x e =+
4. 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球，从袋中任取2个球，所取的2个球中恰好有1个白球，1个红球的概率为
5A.
21
10B.
21
11C.
21
D.1
5. 平行于直线2++1=0x y 且与圆225x y +=相切的直线的方程是
A.250250x y x y ++=+-=或
B.2020x y x y +=+=或
C.
250250x y x y -+=--=或
D.
2020x y x y -=-=或
6. 若变量,x y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则32z x y =+的最小值为
A.4 23
B.
5
C.6 31
D.
5
7. 已知双曲线2222:1x y C a b -=的离心率5
4
e =，且其右焦点为2(5,0)F ，则双曲线C 的方程为
22
A.
143
x y -= 22
B.
1916
x y -= 22
C.
1169
x y -= 22
D.
134
x y -= 8. 若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值
A.3至多等于
B.4至多等于
C.5等于
D.5
大于
二、填空题：本大题 共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）
9.
在4
）的展开式中，x 的系数为 .
10. 在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += .
11. 设ABC
∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c
，若a=
1
sin
2
B=，
6
C
π
=，则b= .
12. 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言。

（用数字作答）
13. 已知随机变量X服从二项分布(,)
B n p，()30
E X=，()20
D X=，则p=.
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题），
14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线l
的极坐标方程为2sin()
4
π
ρθ-，点A
的极坐标为
7
)
4
A
π
，则点A到直线l的距离为.
15. (几何证明选讲选做题)如图1，已知AB是圆O的直径，4
AB=,EC是圆O的切线，切点为C，1
BC=，过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD= .
三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=
（
2
，
-
2
），n=（sin x，cos x），x∈（0，
π
2
）.
（1）若m⊥n，求tan x的值；
（2）若m与n的夹角为，求x的值.
17.（本小题满分12分）
（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里采用随机抽样法抽到的年
龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值x和方差2s；
（3）36名工人中年龄在x s与x s之间有着多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01%）？
18.（本小题满分14分）
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB＝6，
BC=3，点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2GB ， （1）证明：PE ⊥FG；
（2）求二面角P-AD-C 的正切值；
（3）求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
19.（本小题满分14分）
设1a ，函数2()
(1)x f x x e a .
（1）求()f x 的单调区间；
（2）证明：()f x 在()+∞∞-,上仅有一个零点； （3）若曲线()y
f x 在点P 处的切线与x 轴平行，且在点(,)M m a 的切线与直线OP 平行（O 是坐
标原点），证明：
20.（本小题满分14分）
已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B.
（1）求圆1C 的圆心坐标；
（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范
围；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
数列n a 满足：*
121
224
,2n
n n a a na n N . （1）求3a 的值；
∈
（2）求数列n a 的前n 项和n T ； （3）令11
111
1
,(1)(2)23n n
n T b a b a n n n
，证明：数列n a 的前n 项和n S 满足22ln n
S n .
参考答案
1-5 DADBA 6-8 BCB
9、6 10、10 11、1 12、1560 13、31 14、22
5 15、8
16、解：
17、解： （1）
由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为2，6，10，14，18，22，26，30，34的年龄数
据为样本。

则样本的年龄数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37
（2）
由（1）中的样本年龄数据可得，
()403743443736433640449
1
=++++++++=
x 则有
()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-+-+-+-+-+-+-+-+-=
240372404324044240372403624043240362404024044912s ≥
=
9
100
（3）
由题意知年龄在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-
910040910040，之间，即年龄在[]4337，之间， 由（1）中容量为9的样本中年龄在[]4337，之间的有5人， 所以在36人中年龄在[]4337，
之间的有209
5
36=⨯（人）
， 则所占百分比为
55.56%100%36
20
≈⨯ 18、解：
（1）证明：PC PD = 为等腰三角形PDC ∆∴ E 为CD 边的中点，所以，DC PE ⊥
ABCD PDC 平面平面⊥ ，DC ABCD PDC =⋂平面平面，且PDC PE 平面⊂ ∴PE ABCD ⊥平面
ABCD FG 平面⊂ ，FG PE ⊥∴ （2） 由长方形ABCD 知，DC AD ⊥
ABCD PDC 平面平面⊥ ，DC ABCD PDC =⋂平面平面，且ABCD AD 平面⊂ PDC AD 平面⊥∴
PDC PD 平面⊂ ，AD PD ⊥∴
CAD DC PDA PC AD PD AD DC 平面，平面，且，由⊂⊂⊥⊥ C AD P PDC --∠∴即为二面角
由长方形ABCD 得6==AB DC ，E 为CD 边的中点，则32
1
==
DC DE 7343422=-=∴⊥==PE DC PE DE PD ，，，
3
7
tan ==
∠∴DE PE PDC 即二面角C AD P --的正切值为3
7
（3） 如图，连结A,C
GB CG FB AF 22==，
BC
BG
AB BF =
∴
，AC FG // PAC ∠∴为直线PA 与直线FG 所成角. 由长方形ABCD 中36==BC AB ，得
533622=+=AC
由（2）知PD AD ⊥，43===PD BC AD ， 54322=+=∴AP 由题意知4=PC
255
92cos 222=
⋅⋅-+=∠∴AC AP PC AC AP PAC 所以，直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为
25
5
9 19、解：
（1）
222()(1)()=2(1)(1)()0()R
x x x x
f x x e a
f x xe x e x e x R f x f x =+-'∴++=+'∈≥∴时，恒成立的单调递增区间为
（2）由（1）可知()f x 在R 上为单调递增函数
+)(1)
1
()(,)x f a a
a a f f x =-=+->∴>∴-∞+∞当1在上仅有一个零点
（3）令点P 为00(,)x y
020002()P ()=(1)02
=-1,p(-1,-)
2-2
OP 1M(m,n)OP 2
()(1)x op m y f x x f x x e x a e
a
e k a e
f m m e a e
='∴+=∴∴==-
-'∴=+=-
曲线在点处的切线与轴平行直线斜率为在点处的切线与直线平行
33221,(1)a m a e e
≤-
-+≤-要证明m 即证 32(1)(1)1()1()1()0,0
()+()(0)0101
m m m m m m m m e g m e m g m e g m m g m g m g e m e m +≤++≤=--'∴=-'==∴∞∞∴≥=∴--≥∴≥-需证明需证明设令在(-,0)上单调递减，在(0，)上单调递增
命题得证.
20、解：
（1）由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+= ∴圆1C 的圆心坐标为（3,0）
（2）由图可知，令22221111111(,),||,||(3)M x y OM x y C M x y =+=-+
222112222211112211||||||3(3)39
()24
OC OM C M x y x y x y =+∴=++-+∴-+=
∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点 ∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤<
221122111220(3)493
0(3)()442
5
33
39
5
C ()(,3]
24
3x y x x x x y x ∴≤-+<∴≤-+--<∴<≤∴-+=
∈轨迹的方程为：
（3）∵直线L ：2239
(4)()124
y k x x y =--+=与曲线仅有个交点
联立方程：22
(4)
5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪
∈⎨-+=⎪⎩
，
得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，5(,3]13
在区间有且仅有个解
222
24=(83)-64+1=3
k k k k ∆+=±当（）0时，
此时，125
(,3]53
x =∈，仅有一个交点，符合题意。

22220()(1)(83)16x k x k x k ∆≠=+-++当时，令g
则有：5()(3)03
g g ≤
解得：[k ∈ ∴k
的取值范围为：[77k ∈-或43
k =± 21、解：
（1）由题意知：121
2
242
n n n a a na -+++
+=-
121
1232
321322=22=4232
=32+3=4232223
3=4(4)2241=
4n a a n a a a a a ++-
++-++---=
当时，当时，
（2）
121
12122423
2+(+1)42
n n n n n
n a a na n a a na n a -+++++=-
+∴+++=-
1123
(+1)22243
212
n n n n
n
n n n a n n n +-++=
-+--=+= 11
1
()21()
2
n
n n n a a +-∴=∴= ∴{}n a 是首相为1，公比为
1
2
的等边数列 ∴1111()1122()212212
n
n n n T ---==-=--
（3）由（2）得：1
122n n T -=-
1111
(2)(1)22n n S n -∴=-++
已知不等式：111
ln(1)23n n
+<+
设()ln(1),01x
f x x x x
=+->+
2
1()0,()()1()ln(1)(0)0
1ln(1)()11=,
1
ln(1)ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1ln 1111ln(1)231111
ln 231
1111(2)(1)2(1222n n x f x f x x
x
f x x f x x
x x x n n n n n n
n
n n n n S n -'∴=>∞+∴=+->=+∴+>∞++=+-+--++-=+>+++
+∴>+++
+∴=-++<+在0,+单调递增
在0,+上恒成立
令1
)2(1ln 2)22ln 2
n
+<+=+。