河北省邯郸市大名县第一中学高一数学3月月考试题

河北省邯郸市大名县第一中学2020—2021学年高一数学3月月考试题
第I 卷（选择题）
一、单选题(每题5分,共40分)
1. 在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于 （ ） A ．BC B ．DA C ．AB D ．AC
2.下列说法正确的是（ ）.
A ．平行向量是指方向相同或相反的两个非零向量
B ．零向量是
C ．长度相等的向量叫做相等向量
D ．共线向量是在一条直线上的向量
3。

已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，则2+a b =（ ） A ．(5,6)- B ．(3,6) C ．(5,4) D ．(5,10) 4. 在△ABC 中，a ＝4，b ＝43,角A ＝30°，则角B 等于（ ）
A ．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
5.设向量错误!＝e 1，错误!＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上,｜错误!|∶｜错误!｜＝2，则错误!＝( ）
A 。

错误!e 1－错误!e 2 B.错误!e 1＋错误!e 2 C.错误!e 1＋错误!e 2 D 。

错误!e 1－错误!e 2
（2+→
a →
b ）
6。

已知向量()2,1=→
a ，()1,0=→
b ，()2,-=→
k c ，若
⊥→
c ，则k =（ ）
A.2
B.2-
C.8
D.8-
7.在△ABC 中，设错误!2
－错误!2
＝2错误!·错误!，那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的（ )
A ．垂心
B ．内心
C ．外心
D ．重心
8。

若ABC ∆为钝角三角形，三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是 （ ) （A ）)5,
1( （B ）)5,13(
（C))13,5( (D))5,13()5,1(
二、多项选择题（本题共4小题，每题5分,共20分.全选对得5分，选对但不全对得3分，有选错的得0分）
9给出以下说法,其中不正确的是 ( ） A. 若()b a R λλ=∈，则//a b ； B. 若//a b ,则存在实数λ，使b a λ=；
C. 若a b 、
是非零向量,R λμ∈、，那么00a b λμλμ+=⇔==； D. 平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底。

10.给出以下说法，其中正确的是 （ ） A.若||||||a b a b ⋅=⋅，则//a b ； B.(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为
1
5
； C 若ABC ∆中，5a =,8b =，7c =，则20BC CA ⋅=； D 如果a ∥b ,b ∥c ，那么a ∥c .
11。

已知e 1，e 2是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是（ ）
A ．a ＝0,b ＝e 1＋e 2
B ．a ＝3e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2
C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋e 2
D ．a ＝e 1－2e 2,b ＝2e 1－4e 2
12。

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对应边分别为a ,b ，c ，满足错误!＋错误!≥1，则角A 的值可以是（ ）
A.错误!
B.错误! C3 D 。

2
第（II ）卷（选择题）
三、（每题5分，共20分)
13.若非零向量a ，b 满足｜a ｜＝3|b |＝｜a ＋2b ｜，则a 与b 夹角的余弦值为______
14。

已知向量()3,4a =，()1,0b =，向量a 在向量b 方向上的投影向量为______。

（用坐标表示) 15。

如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°,∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．
16。

如图所示，A ,B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若错误!＝m 错误!＋n 错误!，则m ＋n 的取值范围是________．
四、解答题（本题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
17。

（10分）已知｜a |＝4，|b ｜＝8，向量a 与向量b 的夹角是120°。

（1)计算：①｜a ＋b ｜，
（2)当k 为何值时，（a ＋2b ）⊥(k a －b ）?
18。

（12分）.已知a ＝(1，0），b ＝（2，1)．
(1）当k 为何值时,k a －b 与a ＋2b 共线？
（2）若错误!＝2a ＋3b ，错误!＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值？
19。

(12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝6
3，B ＝A ＋
错误!。

（1）求b 的值； （2)求△ABC 的面积．
20。

(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .
（1）求B ；
（2）若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．
21.（12分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6 ，∠B ＝2∠A 。

（1)求cos A 的值； （2）求c 的值．
22。

（12分）某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇．
2020届第二学期第一次月考数学试卷
考试范围:必修二第六章；考试时间：120分钟；命题人:王建洪
第I 卷（选择题) 审题人：张利艳
1。

在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于 （ ） A ．BC B ．DA C ．AB D ．AC 【答案】A
【解析】如图，在平行四边形ABCD 中，CD BA =，∴BC CD BA BC -+=.
2.下列说法正确的是（ ).
A ．方向相同或相反的向量是平行向量
B ．零向量是
C ．长度相等的向量叫做相等向量
D ．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】B
【解析】选项A ：方向相同或相反的非零向量是平行向量； 选项C ：方向相同且长度相等的向量叫相等向量； 选项D:共线向量所在直线可能重合，也可能平行;故选B 。

3。

已知平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ,且//a b ，则2+a b =( ) A ．(5,6)- B ．(3,6) C ．(5,4) D ．(5,10) 【答案】D
【解析】由已知，2,4,12
y
y ==所以,2(1,2)2(2,4)(5,10)a b +=+=，故选D 。

4. 在△ABC 中，a ＝4，b ＝43，角A ＝30°，则角B 等于( ） A ．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【答案】D
【解析】由正弦定理得B
b
A a sin sin =
可得B sin 3430sin 40=解得23sin =B ，又因为b a <,所以=B 60°或120°
5.设向量错误!＝e 1，错误!＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|错误!｜∶｜错误!｜＝2，则错误!＝（ )
A.错误!e 1－错误!e 2 B 。

错误!e 1＋错误!e 2 C.错误!e 1＋错误!e 2 D 。

错误!e 1－错误!e 2 选C
6.已知向量()2,1=→
a ，()1,0=→
b ，()2,-=→
k c ，若(2+→
a →
b ）⊥→
c ，则k =（ ）
A.2
B.2-
C.8
D.8-
【答案】C
【解析】()()()4,12,02,12=+=+b a ，由()
c b a ⊥+2，得08=-k ,得8=k ，故答案为C 。

7.在△ABC 中，设错误!2
－错误!2
＝2错误!·错误!,那么动点M 的轨迹必通过△ABC 的( )
A ．垂心
B ．内心
C ．外心
D ．重心
选C
8。

在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别是a,b ，c,若2015120aBC bCA cAB ++=，则△ABC 最小角的正弦值等于（ ） A 。

45 B 。

34 C.3
5
D.74
【答案】C
【解析】∵ 2015120aBC bCA cAB ++=，
∴20()15120a AC AB bCA c AB -++=,∴(2015)(1220)0a b AC c a AB -+-=，∵AC 与
AB 不共线∴4201503
1220054
b a
a b c a c a
⎧=⎪-=⎧⎪⇒⎨
⎨-=⎩⎪=⎪⎩，∴△ABC 最小角为角A ，所以22
2
2
2
2
216254916cos 4525234
a a a
b
c a A bc a +-+-===⨯⨯，∴3sin 5A =，故选C 。

8。

若ABC ∆为钝角三角形,三边长分别为2，3，x ,则x 的取值范围是 （ ）
（A))5,1( （B ）)5,13(
（C ）)13,5( （D))5,13()5,1( 【答案】D
【解析】试题分析:当x 为最大边时,⎩⎨⎧+><<2
22235
3x x ，513<<∴x 当3为最大边时，⎩⎨⎧+><<2
222
33
1x x 解得51<<x 综上，x 的取值范围51<
<x 或513<<x ，故选D 。

二、。

多项选择题（本题共4小题，每题5分,共20分.全选对得5分,选对但不全对得3分，有选错
的得0分）
9给出.以下说法，其中不正确的是 （ ）
E. 若()b a R λλ=∈，则//a b ；
F. 若//a b ，则存在实数λ，使b a λ=;
G. 若a b 、
是非零向量，R λμ∈、,那么00a b λμλμ+=⇔==； H.
平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底。

BCD
【解析】①向量的数乘运算的几何意义知结论正确；②若0a =，0b ≠，有//a b ,但不存在实数
λ，所以结论错；③,a b 时相反向量，则0a b +=，此时1λμ==,所以结论错； ④平面向量的基
本定理,作为基底的两向量必须是不共线的非零向量，所以结论错． 10。

给出.以下说法，其中正确的是 （ ） A.若||||||a b a b ⋅=⋅,则//a b ；
B 。

(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为1
5
；
C 若ABC ∆中，5a =，8b =,7c =，则20BC CA ⋅=；
D 若非零向量a ，b 满足||||a b b +=，则|2||2|b a b >+． 【答案】AB
【解析①：∵||||||a b a b ⋅=⋅，∴|||||cos ,|||||cos ,1a b a b a b a b ⋅⋅<>=⋅⇒<>=±， ∴,0a b <>=或π，∴//a b ,①正确；②(1,1)a =-在(3,4)b =方向上的投影为
1
||cos ,5||a b a a b b ⋅⋅<>==，②正确；③：222cos 2a b c BC CA BC AC ab C ab
ab +-⋅=-⋅=-=- 222
202
c a b --==-，③错误;
11.已知e 1,e 2是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基底的是( ）
A ．a ＝0，b ＝e 1＋e 2
B ．a ＝3e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2
C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋e 2
D ．a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1－4e 2 答案：C
12.在△ABC 中，角A ,B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ,满足错误!＋错误!≥1，则角A 的值可以是
( ） A 。

0
B 。

错误!
C 。

1
D 。

2
解析 由
b
a ＋c ＋
c
a ＋b
≥1，得b (a ＋b ）＋c （a ＋c )≥（a ＋c ）（a ＋b ），化简得b 2＋c 2－a 2
≥bc ,
即错误!≥错误!，即cos A ≥错误!（0＜A ＜π）,所以0＜A ≤错误!，故选A. 答案 AB
第(II ）卷（选择题）
五、(每题5分，共20分，双空对一空得3分。

）
13.若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b ｜，则a 与b 夹角的余弦值为______
14。

已知向量()3,4a =，()1,0b =,则与向量a 方向相同的单位向量为______，向量a 在向量b 方向上的投影为______.
．34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
3 由向量坐标可求出5a =，从而可求出方向相同的单位向量；求出两向量的数量积，以及1=b ，即可求出投影。

解：2
2
345a =+=，所以34,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即与向量a 方向相同的单位向量为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 1=b ，3⋅=a b ,所以cos ,3a b a a b b
⋅==，
故答案为： 34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
;3。

15。

如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°,∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．
解析：∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝75°，∴AB ＝AC ， ∴河宽为错误!AC ＝60 m. 答案：60 m
16. 如图所示，A ,B ，C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若错误!＝m 错误!＋n 错误!，则m ＋n 的取值范围是________．
解析:由题意得,错误!＝k错误!（k<0)，又｜k|＝错误!<1,∴－1〈k<0.又∵B,A,D三点共线，∴错误!＝λ错误!＋（1－λ）错误!，m错误!＋n错误!＝kλ错误!＋k(1－λ)·错误!，∴m＝kλ，n＝k(1－λ），∴m＋n＝k,从而m＋n∈（－1，0)．
答案：(－1,0)
六、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17(10分)已知｜a|＝4，｜b｜＝8，a与b的夹角是120°。

(1）计算:①|a＋b|，②｜4a－2b|；
（2）当k为何值时，(a＋2b）⊥（k a－b)？
解:由已知得，a·b＝4×8×错误!＝－16。

(1)①∵｜a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4错误!。

(2）∵(a＋2b）⊥(k a－b），
∴（a＋2b）·（k a－b)＝0,
k a2＋（2k－1）a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0。

∴k＝－7。

即k＝－7时，a＋2b与k a－b垂直．
18.已知a＝（1，0),b＝（2，1）．
(1)当k为何值时,k a－b与a＋2b共线？
(2)若错误!＝2a＋3b，错误!＝a＋m b且A、B、C三点共线，求m的值．
解：(1)k a－b＝k(1，0)－（2,1)＝(k－2,－1)，
a＋2b＝（1,0）＋2（2，1)＝(5，2)．
∵k a－b与a＋2b共线,
∴2(k－2)－(－1)×5＝0,
即2k－4＋5＝0,得k＝－错误!。

（2)法一：∵A、B、C三点共线，
∴错误!＝λ错误!，
即2a＋3b＝λ（a＋m b)，
∴错误!，解得m＝错误!.
法二：错误!＝2a＋3b＝2(1，0）＋3(2,1)＝（8，3），
错误!＝a＋m b＝(1，0）＋m(2，1)＝（2m＋1，m)．
∵A、B、C三点共线，
∴错误!∥错误!.
∴8m－3（2m＋1）＝0，
即2m－3＝0,
∴m＝错误!。

19。

（12分）在△ABC中，角A,B，C所对的边分别是a，b，c。

已知a＝3，cos A＝错误!,B＝A ＋错误!。

(1）求b的值；
(2)求△ABC的面积．
解（1）在△ABC中，由题意知，sin A＝错误!
＝错误!,
因为B＝A＋
π
2
,
所以sin B＝sin错误!＝cos A＝错误!.
由正弦定理,得b＝错误!＝错误!＝3错误!。

（2）由B＝A＋错误!,得cos B＝cos错误!＝－sin A＝－错误!。

由A＋B＋C＝π,得C＝π－(A＋B)．
所以sin C＝sin［π－（A＋B）]＝sin(A＋B）
＝sin A cos B＋cos A sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

因此△ABC的面积S＝错误!ab sin C＝错误!×3×3错误!×错误!
＝错误!.
20.（12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c,已知a＝b cos C＋c sin B.
(1）求B；
（2）若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解（1）由已知及正弦定理，
得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B．
①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin（B＋C）＝sin B cos C＋cos B sin C．
②
由①，②和C∈（0,π）得sin B＝cos B。

又B∈（0，π）,所以B＝
π
4。

(2)△ABC的面积S＝错误!ac sin B＝错误!ac。

由已知及余弦定理，得
4＝a2＋c2－2ac cos错误!.又a2＋c2≥2ac，
故ac≤错误!，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC 面积的最大值为错误!＋1。

21。

在△ABC 中，a ＝3，b ＝2错误! ,∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2）求c 的值．
解:(1）因为a ＝3，b ＝2错误!，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中,由正弦定理得错误!＝错误!.
所以2sin A cos A sin A
＝错误!。

故cos A ＝错误!。

（2）由(1)知cos A ＝错误!，所以sin A ＝ 错误!＝错误!。

又因为∠B ＝2∠A ,所以cos B ＝2cos 2
A －1＝错误!.所以sin
B ＝错误!＝错误!.
在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝错误!。

所以c ＝错误!＝5.
22。

某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口
O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行
驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇． （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇． 解 （1）设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则
S ＝错误!
＝错误!＝ 错误!.
故当t ＝错误!时，S min ＝10错误!（海里）, 此时v ＝错误!＝30错误!(海里/时)．
即小艇以30错误!海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距
离最小．
（2）设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2
＝400＋900t
2
－
2·20·30t ·cos（90°－30°)， 故v 2
＝900－错误!＋错误!，∵0＜v ≤30,
∴900－错误!＋错误!≤900，即错误!－错误!≤0，解得t ≥错误!。

又t ＝错误!时,v ＝30海里/时．
故v ＝30海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于错误!.
此时，在△OAB 中,有OA ＝OB ＝AB ＝20海里，故可设计航行方案如下:
航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇。