上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
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（1）若直线 与直线 交于点 ，判断点 与直线 的位置关系并证明；
（2）若 ，判断直线 与直线 的位置关系并证明.
20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义 ， 两点间的“直角距离”为： .
13．②④
【解析】
对于①：解方程 得ai，所以非零复数ai使得 ，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿ ，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的所有序号是②④
14．
【解析】
【分析】
以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，表示出 后，可求解出 ，得到异面直线所成角的余弦值，进而得到所求角.
绝密★启用前
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
224xy那么当变化时点p形成的图形的面积为ab3c4d4第ii卷非选择题请点击修改第ii卷的文字说明评卷人得分二填空题试卷第2页总5页????????外????????装????????订????????线????????请不要在装订线内答题????????内????????装????????订????????线????????5
【详解】
（1） 是 的等差中项
为椭圆上一点 ，解得：
椭圆方程为：
（2）设 ，
在 中，由余弦定理得：
又 ，代入可求得： ，
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆焦点三角形相关问题的求解；解决焦点三角形相关问题时，常采用余弦定理的形式，结合椭圆的定义可化简长度关系，构造方程求得所需的线段长.
19．（1） ，证明见解析；（2） ，证明见解析
（2）答案不唯一，见解析
（3） 、 、 、 、 、 、 、 、 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“直角距离”的定义知 ，进而得到所求点坐标；
（2）根据“直角距离”的定义，分别结合条件①②③，得到动点轨迹方程；利用分类讨论的方式去掉绝对值符号即可得到不同区间内动点的轨迹，从而做出图形；
（3）由条件①可得： ；由条件②可得： ，在平面直角坐标系中做出两个条件下的点构成的区域，取交集，结合图形得到最终结果.
【解析】
【分析】
（1）由题意知 且 ，由 可知 ；
（2）由线面平行判定定理知 ，由线面平行的性质可证得 .
【详解】
（1） ，证明如下：
， ， 且
又
（2） ，证明如下：
， ，
又 ，
【点睛】
本题考查空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，考查学生对于空间基本定理的掌握情况，属于基础题.
20．（1） 、 、 、 、 、 、 、
考点：相交弦所在直线的方程
10．
【解析】
11． 或 或
【解析】
【分析】
分别在焦点在 轴和 轴两种情况下，根据 构造方程求得结果.
【详解】
若椭圆焦点在 轴上，则 ，解得：
若椭圆焦点在 轴上，则 ，解得： 或
故答案为： 或 或
【点睛】
本题考查椭圆标准方程中的参数值的求解，关键是能够利用椭圆中 构造方程；易错点是忽略焦点所在轴，造成情况缺失.
评卷人
得分
三、解答题
17．如图， 是正方形，直线 底面 ， ， 是 的中点.
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
18．已知椭圆的焦点为 ， ，（ ）， 为椭圆上一点，且 是 ， 的等差中项.
（1）求椭圆方程；
（2）如果点 在第二象限且 ，求 的值.
19．已知平面 与平面 的交线为直线 ， 为平面 内一条直线； 为平面 内一条直线，且直线 互不重合.
得分
一、单选题
1．在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
6．在如图所示的正方体 中,异面直线 与 所成角的大小为_______.
7．已知点 ， ，则与向量 方向相同的单位向量的坐标为____________.
8．以双曲线 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．
9．已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的方程是．
10．将参数方程 （ 为参数, ）化成普通方程为______．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的模的求解，属于基础题.
6．
【解析】
试题分析：将 平移到 的位置，所以异面直线所成角转化为 ，由于 是正三角形，所以
考点：异面直线所成角
7．
【解析】
∵点 ， ，
∴ ，可得 ，
因此，与向量 同方向的单位向量为：
故答案为：
8．
【解析】
【分析】
本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。
（1）指出抛物线 的焦点坐标和准线方程；
（2）求 的面积（用 ， ， 表示）；
（3）称 的阿氏 为一阶的； 、 的阿氏 、 为二阶的； 、 、 、 的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的 阶阿氏三角形的面积之和为 ，探索 与 之间的关系，并求 .
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
11．已知椭圆 的焦距为 ，则实数 __________．
12．已知 ， 是实系数一元二次方程 的两根，则 的值为__________．
13．若 为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若 ，则
④若 ，则 。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的序号是 。
14．如图， 是三角形 所在平面外的一点， ，且 ， 、 分别是 和 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为__________（用反三角函数表示）．
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项定义和椭圆定义；
（2）在 中，利用余弦定理，结合椭圆定义可构造方程求得 和 ，再次利用余弦定理求得 ，根据同角三角函数关系可求得结果.
【详解】
（1）由“直角距离”的定义可知所求点坐标满足：
则所求点为： 、 、 、 、 、 、 、
（2）条件①：动点轨迹方程为：
⑴当 ， 时， ；⑵当 ， 时， ；
⑶当 ， 时， ；⑷当 ， 时， ；
⑸当 ， 时， ；⑹当 ， 时，
条件②：动点轨迹方程为：
⑴当 ， 时， ；⑵当 ， 时， ；
⑶当 ， 时， ；
【详解】
设改变方向的点为
由题意得：
（当 三点共线时等号成立）
又 （当 三点共线时等号成立）
由 可得所求区域如下图阴影部分所示：
所求区域面积
故答案为：
【点睛】
本题考查线性规划在实际问题中的应用，关键是能够根据三角形三边关系构造出变量所满足的不等关系，得到约束条件，进而根据约束条件准确画出可行域.
17．（1）证明见解析；（2） ；
【解析】
【分析】
（1）连接 ，由三角形中位线可证得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为 ，且 ，由长度关系可求得结果.
【详解】
（1）连接 ，交 于 ，连接
四边形 为正方形 为 中点，又 为 中点
平面 ， 平面 平面
（2） 平面 直线 与平面 所成角即为
设 ，则
【点睛】
B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．
考点：点，线，面的位置关系．
2．D
【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，
故选D.
3．C
【解析】
注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，
.或者注意到 分为四个小直角三角形算面积.
【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.
15．已知直线m、n及平面 ，其中m∥n，那么在平面 内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。其中正确的是。
16．动点 在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点 沿东偏北 方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定 速度为10米/分钟，则当 变化时 行走2分钟内的可能落点的区域面积是__________．
点评：本小题其实并不难，关键是要具有较强的空间想象能力，根据四个选项考虑两条直线与平面的位置情况有哪些，易错点是容易漏掉情况，考虑不全造成错误，所以平时要多画图，加强空间想象能力方面的训练.
16．
【解析】
【分析】
设改变方向的点为 ，由 可得 ；由 得到 ，由约束条件可得到可行域，即为所求区域；根据弓形面积的求解方法可求得结果.
【详解】
由双曲线的相关性质可知，双曲线 的焦点为 ，顶点为 ，
所以椭圆的顶点为 ，焦点为 ，
因为 ，所以椭圆的方程为 ，
故答案为 。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
9．
【解析】
试题分析： 两圆为 ①， ②， 可得 ，所以公共弦 所在直线的方程为 ．
4．B
【解析】
【分析】
根据方程 表示单位圆的切线，可知 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.
【详解】
方程 表示单位圆的切线
形成的区域为 构成的圆环 区域面积
故选：
【点睛】
本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.
5．
【解析】
【分析】
根据复数模长的定义直接求解即可得到结果.
【解析】
试题分析：当两条平行直线在平面 的同侧，并且这两条平行直线确定的平面与 相交，则轨迹是空集.当两条平行直线到平面 的距离相等并且在平面 的则侧,则轨迹是一条直线，当两条平行直线到平面 的距离相等并且在平面 的两侧,则轨迹是一个平面.所以轨迹可能是（1）（2）（4）.
考点：空间直线与平面的位置关系，空间想象能力，观察判断能力.
由对称性可得其他部分图形
条件③：动点轨迹方程为：
⑴当 ， 时， ；⑵当 ， 时， ；
⑶当 ， 时，
由对称性可得其他部分图形
（3）满足条件的格点有 、 、 、 、 、 、 、 、
对于①，设 满足到 、 两点“直角距离”相等
即满足 ，可得：
对于②，设 到 、 两点“直角距离”和最小
12．1
【解析】
【分析】
有题意可知 与 为共轭复数，得到 ；由复数相等可求得 ；利用韦达定理可构造方程求得 ，进而得到结果.
【详解】
， 为实数系一元二次方程两根 与 为共轭复数
即 ， ，
由韦达定理得： ，解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根的特征、根与系数关系的应用；关键是能够明确作为实数系一元二次方程两根的两复数为共轭复数.
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点 、 的“直角距离”和为定值 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， .
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
①到 ， 两点“直角距离”相等；
②到 ， 两点“直角距离”和最小.
21．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线 : ，直线 ： （其中 ， ， 是常数，且 ），直线 交抛物线 于 ， 两点，设弦 的阿氏三角形是 .
【详解】
以 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系
设 ，则 ， ， ，
，
即异面直线 与 所成角的余弦值为
异面直线 与 所成角的大小为
故答案为：
【点睛】
本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，关键是能够通过已知的垂直关系准确的建立起空间直角坐标系，同时需注意异面直线所成角的范围为 .
15．（1）（2）（4）
A．一定平行B．一定相交
C．一定是异面直线D．一定垂直
3．在四边形 （）
A． B． C． D．
4．已知动点 的横坐标 、纵坐标 满足：① ；② ，那么当 变化时，点 形成的图形的面积为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
5．复数 （ 是虚数单位）的模是__________．
（2）若 ，判断直线 与直线 的位置关系并证明.
20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义 ， 两点间的“直角距离”为： .
13．②④
【解析】
对于①：解方程 得ai，所以非零复数ai使得 ，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则 ¿ ，所以③不成立；④显然成立。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的所有序号是②④
14．
【解析】
【分析】
以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，表示出 后，可求解出 ，得到异面直线所成角的余弦值，进而得到所求角.
绝密★启用前
上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高二下学期3月月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
224xy那么当变化时点p形成的图形的面积为ab3c4d4第ii卷非选择题请点击修改第ii卷的文字说明评卷人得分二填空题试卷第2页总5页????????外????????装????????订????????线????????请不要在装订线内答题????????内????????装????????订????????线????????5
【详解】
（1） 是 的等差中项
为椭圆上一点 ，解得：
椭圆方程为：
（2）设 ，
在 中，由余弦定理得：
又 ，代入可求得： ，
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆焦点三角形相关问题的求解；解决焦点三角形相关问题时，常采用余弦定理的形式，结合椭圆的定义可化简长度关系，构造方程求得所需的线段长.
19．（1） ，证明见解析；（2） ，证明见解析
（2）答案不唯一，见解析
（3） 、 、 、 、 、 、 、 、 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由“直角距离”的定义知 ，进而得到所求点坐标；
（2）根据“直角距离”的定义，分别结合条件①②③，得到动点轨迹方程；利用分类讨论的方式去掉绝对值符号即可得到不同区间内动点的轨迹，从而做出图形；
（3）由条件①可得： ；由条件②可得： ，在平面直角坐标系中做出两个条件下的点构成的区域，取交集，结合图形得到最终结果.
【解析】
【分析】
（1）由题意知 且 ，由 可知 ；
（2）由线面平行判定定理知 ，由线面平行的性质可证得 .
【详解】
（1） ，证明如下：
， ， 且
又
（2） ，证明如下：
， ，
又 ，
【点睛】
本题考查空间中点、线、面的位置关系的判定与性质，考查学生对于空间基本定理的掌握情况，属于基础题.
20．（1） 、 、 、 、 、 、 、
考点：相交弦所在直线的方程
10．
【解析】
11． 或 或
【解析】
【分析】
分别在焦点在 轴和 轴两种情况下，根据 构造方程求得结果.
【详解】
若椭圆焦点在 轴上，则 ，解得：
若椭圆焦点在 轴上，则 ，解得： 或
故答案为： 或 或
【点睛】
本题考查椭圆标准方程中的参数值的求解，关键是能够利用椭圆中 构造方程；易错点是忽略焦点所在轴，造成情况缺失.
评卷人
得分
三、解答题
17．如图， 是正方形，直线 底面 ， ， 是 的中点.
（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正切值.
18．已知椭圆的焦点为 ， ，（ ）， 为椭圆上一点，且 是 ， 的等差中项.
（1）求椭圆方程；
（2）如果点 在第二象限且 ，求 的值.
19．已知平面 与平面 的交线为直线 ， 为平面 内一条直线； 为平面 内一条直线，且直线 互不重合.
得分
一、单选题
1．在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
6．在如图所示的正方体 中,异面直线 与 所成角的大小为_______.
7．已知点 ， ，则与向量 方向相同的单位向量的坐标为____________.
8．以双曲线 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．
9．已知两圆 和 相交于 两点，则直线 的方程是．
10．将参数方程 （ 为参数, ）化成普通方程为______．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查复数的模的求解，属于基础题.
6．
【解析】
试题分析：将 平移到 的位置，所以异面直线所成角转化为 ，由于 是正三角形，所以
考点：异面直线所成角
7．
【解析】
∵点 ， ，
∴ ，可得 ，
因此，与向量 同方向的单位向量为：
故答案为：
8．
【解析】
【分析】
本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。
（1）指出抛物线 的焦点坐标和准线方程；
（2）求 的面积（用 ， ， 表示）；
（3）称 的阿氏 为一阶的； 、 的阿氏 、 为二阶的； 、 、 、 的阿氏三角形为三阶的；……，由此进行下去，记所有的 阶阿氏三角形的面积之和为 ，探索 与 之间的关系，并求 .
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．
11．已知椭圆 的焦距为 ，则实数 __________．
12．已知 ， 是实系数一元二次方程 的两根，则 的值为__________．
13．若 为非零实数，则下列四个命题都成立：
① ② ③若 ，则
④若 ，则 。则对于任意非零复数 ，上述命题仍然成立的序号是 。
14．如图， 是三角形 所在平面外的一点， ，且 ， 、 分别是 和 的中点，则异面直线 与 所成角的大小为__________（用反三角函数表示）．
本题考查立体几何中线面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解；证明线面平行关系常采用两种方法：（1）在平面中找到所证直线的平行线；（2）利用面面平行的性质证得线面平行.
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项定义和椭圆定义；
（2）在 中，利用余弦定理，结合椭圆定义可构造方程求得 和 ，再次利用余弦定理求得 ，根据同角三角函数关系可求得结果.
【详解】
（1）由“直角距离”的定义可知所求点坐标满足：
则所求点为： 、 、 、 、 、 、 、
（2）条件①：动点轨迹方程为：
⑴当 ， 时， ；⑵当 ， 时， ；
⑶当 ， 时， ；⑷当 ， 时， ；
⑸当 ， 时， ；⑹当 ， 时，
条件②：动点轨迹方程为：
⑴当 ， 时， ；⑵当 ， 时， ；
⑶当 ， 时， ；
【详解】
设改变方向的点为
由题意得：
（当 三点共线时等号成立）
又 （当 三点共线时等号成立）
由 可得所求区域如下图阴影部分所示：
所求区域面积
故答案为：
【点睛】
本题考查线性规划在实际问题中的应用，关键是能够根据三角形三边关系构造出变量所满足的不等关系，得到约束条件，进而根据约束条件准确画出可行域.
17．（1）证明见解析；（2） ；
【解析】
【分析】
（1）连接 ，由三角形中位线可证得 ，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为 ，且 ，由长度关系可求得结果.
【详解】
（1）连接 ，交 于 ，连接
四边形 为正方形 为 中点，又 为 中点
平面 ， 平面 平面
（2） 平面 直线 与平面 所成角即为
设 ，则
【点睛】
B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．
考点：点，线，面的位置关系．
2．D
【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，
故选D.
3．C
【解析】
注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，
.或者注意到 分为四个小直角三角形算面积.
【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题.
15．已知直线m、n及平面 ，其中m∥n，那么在平面 内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。其中正确的是。
16．动点 在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点 沿东偏北 方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定 速度为10米/分钟，则当 变化时 行走2分钟内的可能落点的区域面积是__________．
点评：本小题其实并不难，关键是要具有较强的空间想象能力，根据四个选项考虑两条直线与平面的位置情况有哪些，易错点是容易漏掉情况，考虑不全造成错误，所以平时要多画图，加强空间想象能力方面的训练.
16．
【解析】
【分析】
设改变方向的点为 ，由 可得 ；由 得到 ，由约束条件可得到可行域，即为所求区域；根据弓形面积的求解方法可求得结果.
【详解】
由双曲线的相关性质可知，双曲线 的焦点为 ，顶点为 ，
所以椭圆的顶点为 ，焦点为 ，
因为 ，所以椭圆的方程为 ，
故答案为 。
【点睛】
本题考查圆锥曲线的相关性质，主要考查椭圆、双曲线的几何性质，考查椭圆的标准方程，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
9．
【解析】
试题分析： 两圆为 ①， ②， 可得 ，所以公共弦 所在直线的方程为 ．
4．B
【解析】
【分析】
根据方程 表示单位圆的切线，可知 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.
【详解】
方程 表示单位圆的切线
形成的区域为 构成的圆环 区域面积
故选：
【点睛】
本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.
5．
【解析】
【分析】
根据复数模长的定义直接求解即可得到结果.
【解析】
试题分析：当两条平行直线在平面 的同侧，并且这两条平行直线确定的平面与 相交，则轨迹是空集.当两条平行直线到平面 的距离相等并且在平面 的则侧,则轨迹是一条直线，当两条平行直线到平面 的距离相等并且在平面 的两侧,则轨迹是一个平面.所以轨迹可能是（1）（2）（4）.
考点：空间直线与平面的位置关系，空间想象能力，观察判断能力.
由对称性可得其他部分图形
条件③：动点轨迹方程为：
⑴当 ， 时， ；⑵当 ， 时， ；
⑶当 ， 时，
由对称性可得其他部分图形
（3）满足条件的格点有 、 、 、 、 、 、 、 、
对于①，设 满足到 、 两点“直角距离”相等
即满足 ，可得：
对于②，设 到 、 两点“直角距离”和最小
12．1
【解析】
【分析】
有题意可知 与 为共轭复数，得到 ；由复数相等可求得 ；利用韦达定理可构造方程求得 ，进而得到结果.
【详解】
， 为实数系一元二次方程两根 与 为共轭复数
即 ， ，
由韦达定理得： ，解得：
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根的特征、根与系数关系的应用；关键是能够明确作为实数系一元二次方程两根的两复数为共轭复数.
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点 、 的“直角距离”和为定值 的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， .
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
①到 ， 两点“直角距离”相等；
②到 ， 两点“直角距离”和最小.
21．过抛物线的一条弦的中点作平行于抛物线对称轴的平行线（或与对称轴重合），交抛物线于一点，称以该点及弦的端点为顶点的三角形为这条弦的阿基米德三角形（简称阿氏三角形）.
现有抛物线 : ，直线 ： （其中 ， ， 是常数，且 ），直线 交抛物线 于 ， 两点，设弦 的阿氏三角形是 .
【详解】
以 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系
设 ，则 ， ， ，
，
即异面直线 与 所成角的余弦值为
异面直线 与 所成角的大小为
故答案为：
【点睛】
本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，关键是能够通过已知的垂直关系准确的建立起空间直角坐标系，同时需注意异面直线所成角的范围为 .
15．（1）（2）（4）
A．一定平行B．一定相交
C．一定是异面直线D．一定垂直
3．在四边形 （）
A． B． C． D．
4．已知动点 的横坐标 、纵坐标 满足：① ；② ，那么当 变化时，点 形成的图形的面积为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
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评卷人
得分
二、填空题
5．复数 （ 是虚数单位）的模是__________．