中考数学备考培优专题能力提升训练卷：《图形的旋转》(解析版)

培优专题能力提升训练卷：《图形的旋转》
1．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°符到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为2+2时，求正方形的边长．
2．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，说明理由；并求出AM、BM、CM的值．
3．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：a2﹣10a+25+|b﹣5|＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以BD为腰作等腰Rt△BDC，过点C作CE⊥x轴于点E．
①求证：△DBO≌△BCE；
②连接AC交x轴于点F，若AD＝4，求点F的坐标．
4．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：
（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（﹣6，0），点A是y轴正半轴上一点，且AB ＝10，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为（m，0）．
（1）点A的坐标为；
（2）当△ABP是等腰三角形时，求P点的坐标；
（3）如图2，过点P作PE⊥AB交线段AB于点E，连接OE，若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE＝．（直接写出答案）
6．如图（1），点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AEB的大小；
（3）如图（2），△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．
7．在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C （n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．
（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；
（2）用含n的式子表示点D的坐标；
（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．
9．在△ABC中AB＝AC，在BC边上有两动点D、E，满足2∠DAE＝∠BAC，将△AEC绕A旋转，使得AC与AB重合，点E落到点E′．
（1）求证∠DAE′＝∠DAE；
（2）当∠BE′D＝20°时，求∠DEA的度数；
（3）当BD＝1，EC＝2，△BE′D又为直角三角形时，求∠BAC的度数．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点A旋转得Rt△ADE，使点B的对应点D落在AC上，连接CE、BD，并延长BD交CE与点F．
（1）若∠BCA＝40°，求∠DEC；
（2）若∠BCA＝α，求证：DF＝FC；
（3）若AB＝3，BC＝4，求BD的长．
11．已知：在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC．
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上两动点（不与B，C重合），点P在点Q左侧，且AP＝AQ，点Q 关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小明通过观察和实验，提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有△APM为等腰直角
三角形，他把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成以下证明猜想的思路：要想证明△APM为等腰直角三角形，只需证∠PAM＝90°，PA＝AM；请参考上面的思路，帮助小明证明△APM为等腰直角三角形．
12．如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，CD与BE交于点Q，连接PQ．
（1）求证：AD＝BE；
（2）∠AOB的度数为；PQ与AE的位置关系是；
（3）如图2，△ABC固定，将△CDE绕点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，在旋转过程中，（1）中的结论是否总成立？∠AOB的度数是否改变？并说明理由．
13．在习题课上，老师让同学们以课本一道习题“如图1，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库E和Q分别位于AD和DC上，且ED＝QC．证明两条直路BE ＝AQ且BE⊥AQ．”为背景开展数学探究．
（1）独立思考：将上题条件中的ED＝QC去掉，将结论中的BE⊥AQ变为条件，其他条件不变，那么BE＝AQ还成立吗？请写出答案并说明理由；
（2）合作交流：“祖冲之”小组的同学受此问题的启发提出：如图2，在正方形ABCD 内有一点P，过点P作EF⊥GH，点E、F分别在正方形的对边AD、BC上，点G、H分别在正方形的对边AB、CD上，那么EF与GH相等吗？并说明理由．
（3）拓展应用：“杨辉”小组的同学受“祖冲之”小组的启发，想到了利用图2的结论解决以下问题：
如图3，将边长为10cm的正方形纸片ABCD折叠，使点A落在DC的中点E处，折痕为MN，点N在BC边上，点M在AD边上．请你画出折痕，则折痕MN的长是；线段DM的长是．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是BC的中点．在射线AD上任意取一点P，连接PB．将线段PB绕点P逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE、CE．（1）如图1，当点E落在射线AD上时，
①∠BEP＝°；
②直线CE与直线AB的位置关系是．
（2）如图2，当点E落在射线AD的左侧时，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并证明你的结论．
15．问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：
△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．
简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且PA ＝5，PB＝3，PC＝2，则∠BPC＝°
（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．
拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：BD＝AD+DC．
②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．
参考答案
一．解答
1．（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，，
∴△ABM ≌△CBM ，
∴∠BAM ＝∠BCM ，
∴∠BCM ＝∠BEN ，
∵EB ＝CB ，
∴若连接EC ，则∠BEC ＝∠BCE ，
∵∠BCM ＝∠BCE ，∠BEN ＝∠BEC ，
∴M 、N 可以同时在直线EC 上．
∴当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM +BM +CM 的值最小，即等于EC 的长．
（3）解：过E 点作EF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，
∴∠EBF ＝∠ABF ﹣∠ABE ＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x ，则BF ＝
x ，EF ＝． 在Rt △EFC 中，
∵EF 2+FC 2＝EC 2， ∴（）2+（
x +x ）2＝（2+2）2． 解得x 1＝2，x 2＝﹣2
（舍去负值）． ∴正方形的边长为2
． 2．解：（1）由旋转的性质可知：BN ＝BM ，BA ＝BE ．
∵△BAE 为等边三角形，
∴∠EBA ＝60°．
又∵∠MBN ＝60°，
∴∠NBE ＝∠MBA ．
在：△AMB 和△ENB 中，BN ＝BM ，∠NBE ＝∠MBA ，BA ＝BE ，
∴△AMB ≌△ENB ．
（2）如图所示：连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，过点E 作EF⊥BC，垂足为F．
∵△ABE为等边三角形，ABCD为正方形，
∴∠EBA＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝150°．
∴∠EBF＝30°．
∴EF＝，FB＝．
∴FC＝+．
由（1）可知：△AMB≌△ENB，
∴EN＝AM．
又∵BN＝BM，∠NBM＝60°，
∴△BNM为等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+MC＝EN+NM+MC≥EC．
∴AM+BM+MC的最小值＝EC＝＝＝＝+1．
过点M作MG⊥BC，垂足为G，设BG＝MG＝x，则NB＝x，EN＝AM＝MC＝（+）x，∴x+2（+）x＝+1，
∴x＝，
∴BM＝，AM＝CM＝+2．
3．解：（1）∵a2﹣10a+25+|b﹣5|＝（a﹣5）2+|b﹣5|＝0，∴a＝5，b＝5，
∴点A（0，5），点B（5，0），
∴OA＝OB＝5，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°；
（2）①在等腰Rt△BDC中，∠DBC＝90°，BD＝BC，
∵CE⊥x轴于点E，
∴∠CEB＝∠AOB＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠DBO＝90°，
∴∠DBO＝∠BCE，
∴△DBO≌△BCE（AAS）；
②∵△DBO≌△BCE，
∴OD＝BE，CE＝OB＝5，
∵AD＝4，
∴BE＝OD＝9，
∴OE＝4，
∴C（﹣4，﹣5），
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为：y＝x+5，
当y＝0时，x＝﹣2，
∴F（﹣2，0）．
4．解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，
由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，
故答案为60°；
②由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，
∴AC＝CE+CD，
故答案为AC＝CE+CD；
（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC＝AC，
由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
∴AC＝CE+CD；
（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，
∴ACE＝∠ABD，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠BCE+∠DAE＝180°，
∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，
∵AC与DE交于点F，
∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，
即：当AF⊥DE时，AF最小，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AF最小＝AC＝4．
5．解：（1）∵点B坐标为（﹣6，0），AB＝10，∴＝＝8．
∴点A的坐标为（0，8）．
故答案为：（0，8）；
（2）∵△ABP为等腰三角形，
∴可分三种情况：
当PB＝AB时，如图1，
∴OP＝BP﹣BO＝10﹣6＝4，∴P（4，0），
当AP＝AB时，如图2，
∴OP＝BO＝6，
∴P（6，0），
当AP＝BP时，如图3，
设OP＝a，则AP＝6+a，
∵OP2+OA2＝AP2，
∴a2+82＝（6+a）22，
解得：a＝．
∴．
综合上述可得，点P的坐标为（4，0）或（6，0）或；（3）当△ABP为钝角三角形时，点A'不存在，
当△ABP是锐角三角形时，如图4，
连接OA'，
∵PE⊥AB，点A'在直线PE上，
∴△AEG和△GOP是直角三角形，∠EGA＝∠OGP，
∴∠EAG＝∠OPG，
∵点A，A'关于直线OE对称，
∴OA＝OA'＝8，EA＝EA'，
∴∠FAO＝∠FA'O，∠FAE＝∠FA'E，
∴∠EAG＝∠EA'O，
∴∠OPG＝∠EA'O，
∴△A'OP是等腰三角形，
∴OP＝OA'＝8，
∴＝＝8，
设BE＝x，则AE＝6﹣x，
∵BP2﹣BE2＝EP2，EP2＝AP2﹣AE2，
∴（6+8）2﹣x2＝﹣（10﹣x）2．
解得：x＝．
∴BE＝．
故答案为：．
6．解：（1）如图1，
∵△ODC和△OAB都是等边三角形，
∴OD＝OC＝OA＝OB，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴∠BOD＝∠AOC＝120°，
在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）由（1）知，△AOC≌△BOD，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠AOB＝60°；
（3）如图2，∵△ODC和△OAB都是等边三角形，∴OD＝OC＝OA＝OB，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中
∴△AOC≌△BOD（SAS）；
∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEB＝∠AOB＝60°．
7．解：（1）①∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．
（2）结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．
8．解：（1）∵∠AOC＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCF+∠ACO＝90°，
∴∠DCF＝∠OAC，
∵∠OAC＝38°，
∴∠DCF＝38°；
（2）如图，过点D作DH⊥x轴于H，∴∠CHD＝90°
∴∠AOC＝∠CHD＝90°，
∵等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°∴AC＝CD，
由（1）知，∠DCF＝∠OAC，
∴△AOC≌△CHD（AAS），
∴OC＝DH＝n，AO＝CH＝3，
∴点D的坐标（n+3，n）；
（3）不会变化，理由：
∵点A（0，3）与点B关于x轴对称，
∴AO＝BO，
又∵OC⊥AB，
∴x轴是AB垂直平分线，
∴AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
又∵AC＝CD，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB+∠DCB＝270°，
∴∠BAC+∠ABC+∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠ABC+∠CBD＝45°，
∵∠BOF＝90°，
∴∠OFB＝45°，
∴∠OBF＝∠OFB＝45°，
∴OB＝OF＝3，
∴OF的长不会变化．
9．（1）证明：∵将△AEC旋转得到△AE'B，∴∠E'AB＝∠EAC，
∴∠E'AD＝∠EAC+∠BAD，
又∵2∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE'＝∠DAE；
（2）解：设∠DEA的度数为x，
∵△AEC旋转得到△AE'B，
∴AE'＝AE，∠BAE'＝∠CAE，∠AE'B＝∠AEC，
∵2∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE'＝∠DAE，
又∵AD＝AD，
∴△ADE'≌△ADE（SAS），
∴∠DE'A＝∠DEA＝x°
又∵∠AE'B＝∠AEC，∠BE'D＝20°，
∴∠AEC＝（x+20）°
又∵∠AEC+∠AED＝180°，
∴x°+（x+20）°＝180°，
∴∠DEA＝∠DE'A＝80°；
（3）解：∵△AEC旋转得到△AE'B，
∴BE'＝EC，
又∵BD＝1，BE'＝2，
∴∠BE'D不可能是直角，
①若∠E'BD是直角时，如图1，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵△AEC旋转得到△AE'B，
∴∠ABE'＝∠C，
∵∠E'BD是直角，
∴∠ABC＝∠ABE'＝45°，
∴∠BAC＝90°；
②当∠E'DB是直角时，如图2，设AB与DE'相交于P，过P作PF垂直BE'于F，∵∠ABC＝∠ABE'，
∴PD＝PF，BD＝BF，
又∵BD＝1，BE'＝2，
∴BF＝FE'＝1，
又∵PF垂直BE'于F，
∴PE'＝BP，
∴∠PE'B＝∠PBF，
又∵∠ABC＝∠ABE'，∠E'DB是直角，
∴∠ABC＝∠E'BA＝∠PE'B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
综上，∠BAC＝90°或120°．
10．解：（1）在Rt△ABC中，∠BCA＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝50°，
由旋转知，∠AED＝∠ACB＝40°，∠CAE＝∠BAC＝50°，AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝65°﹣40°＝25°；
（2）在Rt△ABC中，∠BCA＝α，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝90°﹣α，
由旋转知，AD＝AB，
∴∠ADB＝（180°﹣∠BAC）＝[180°﹣（90°﹣α）]＝45°+α，
∴∠CDF＝∠ADB＝45°+α，
由旋转知，∠CAE＝∠BAC＝90°﹣α，AC＝AE，
∴∠ACE＝[180°﹣（90°﹣α）]＝45°+α，
∴∠CDF＝∠ACE，
∴DF＝CF；
（3）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
根据勾股定理得，AC＝5，
由旋转知，AD＝AB＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
过点D作DH⊥BC于H，
∴∠DHC＝90°＝∠ABC，
∴DH∥AB，
∴△DHC∽△ABC，
∴，
∴，
∴DH＝，CH＝，
∴BH＝BC﹣CH＝4﹣＝
在Rt△BDH中，根据勾股定理得，BD＝＝．
11．解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝65°，
∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APC＝65°；
（2）①补全图形，如图2所示，
②证明：如图2，连接CM．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠ACB，∠BAC＝90°
又∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQB．
∴∠APB＝∠AQC．
∴△APB≌△AQC（AAS），
∴∠BAP＝∠CAQ，
由对称得，∠CAQ＝∠CAM，
∴∠BAP＝∠CAM，
又∵∠BAC＝∠PAC+∠BAP＝90°，
∴∠PAM＝∠PAC+∠CAM＝∠PAC+∠BAP＝90°，又∵AP＝AQ，AM＝AQ，
∴AP＝AM，
∴△PAM为等腰直角三角形．
12．（1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC＝∠EBC，
由三角形的外角性质，∠AOB＝∠BEA+∠DAC，
∠ACB＝∠EBC+∠BEA，
∴∠AOB＝∠ACB＝60°；
∵∠DCP＝60°＝∠ECQ，
∴在△CDP和△CEQ中，
∠ADC＝∠BEC，CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，△PCQ是等边三角形，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE；
故答案为：60°，PQ∥AE；
（3）解：在旋转过程中，（1）中的结论总成立，∠AOB的度数不会改变，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，
∴∠BOA＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°．
13．（1）解：BE＝AQ，
理由如下：∵BE⊥AQ，
∴∠AEB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD，
又∵AB＝AD，∠BAE＝∠QDA＝90°，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE＝AQ；
（2）解：EF＝GH，理由如下：
如图1，作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AGHN四边形BMEF都是平行四边形，
∴BM＝EF，AN＝GH，
由（1）知，BM＝AN，
∴EF＝GH；
（3）解：如图2，
∵E为DC的中点，
∴DE＝5cm，
∴＝＝5cm，
∵MN⊥AE，由（2）可知，
∴MN＝AE＝5cm，
设DM＝xcm，则AM＝ME＝（10﹣x）cm．
在Rt△DME中，DM2+DE2＝ME2，
即x2+52＝（10﹣x）2，
解得x＝．
∴线段DM的长为cm．
故答案为：5cm，cm．
14．解：（1）①∵∠BPE＝80°，PB＝PE，
∴∠PEB＝∠PBE＝50°，
②结论：AB∥EC．
理由：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，
∵AE垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝40°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥EC．
故答案为50，CE∥AB．
（2）直线CE与直线AB的位置关系是平行，证明如下：∵PB＝PE，∠BPE＝80°，
∴∠PBE＝∠BEP＝50°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC＝PE，
∴∠PBC＝∠BCP，∠PEC＝∠PCE，
∵∠BPF＝∠BCP+∠PBC，∠EPF＝∠ECP+∠PEC，
∴∠BPE＝∠BPF+∠EPF＝2（∠PBC+∠PEC），
∴∠PBC+∠PEC＝40°，
∴∠ABE+∠BEC＝40°+2×500+400＝1800，
∴CE∥AB．
15．解：简单应用：（1）如图2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，将
△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△CBP'，连接PP'，∴BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2，
∴∠CPP'＝∠CP'P＝45°，
根据勾股定理得，PP'＝CP＝4，
∵BP'＝5，BP＝3，∴PP'2+BP2＝BP'，
∴△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，
∴∠BPP'＝90°，
∴∠BPC＝∠BPP'+∠CPP'＝135°，
故答案为：135；
（2）如图3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AC＝AB，
将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，连接PP'，∴BP'＝CP，AP'＝AP＝5，∠PAP'＝60°，
∴△APP'是等边三角形，
∴PP'＝AP＝5，∠APP'＝60°，
∵∠APB＝150°，
∴∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，
根据勾股定理得，BP'＝＝13，
∴CP＝13，
故答案为：13；
拓展廷伸：①如图4，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△ABD绕点B顺时针旋转90°得到△BCD'，
∴BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BCD+∠BCD'＝180°，
∴点D'在DC的延长线上，
∴DD'＝CD+CD'＝CD+AD，
在Rt△DBD'中，DD'＝BD，
∴BD＝CD+AD；
②如图5，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD'，
∴BD'＝BD，CD＝AD'，∠DBD'＝90°，∠BCD＝∠BAD'，AB与CD的交点记作G，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠AGD＝∠BCD+∠BGC＝180°，
∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD＝∠BAD'，
∴点D'在AD的延长线上，
∴DD'＝AD'﹣AD＝CD﹣AD＝2，
在Rt△BDD'中，BD＝DD'＝．。