高中数学 第三章 指数函数和对数函数 第4节 对数(第2

4．2 换底公式

1．了解换底公式．

2．会用换底公式将一般对数化成常用对数或自然对数．

换底公式

log b N ＝__________(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)

可用换底公式证明以下结论：

①log a b ＝1

log b a

；

②log a b ·log b c ·log c a ＝1；

③log an b n

＝log a b ； ④log an b m

＝m n

log a b ； ⑤1log a

b ＝－log a b .

换底公式真神奇，换成新底可任意， 原底加底变分母，真数加底变分子． 【做一做1－1】 log 713等于( )．

A ．log 137 B.lg 13lg 7 C.log －513log －57 D.13

7

【做一做1－2】 log 47·log 74等于( )．

A ．0

B ．1

C ．4

D ．7

答案：log a N log a b

【做一做1－1】 B 【做一做1－2】

B

换底公式的意义是什么？

剖析：换底公式的意义如下：

⎩⎪⎨⎪⎧

化简：把对数的底数改变，化为同底数问题，利 用运算法则进行化简与求值.

求值：在实际问题中，把底数换成10或e ，可利用 计算器或对数表得到结果.

在使用换底公式时，底数的取值不唯一，可根据实际情况选择．

题型一 换底公式的应用

【例1】 计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 分析：在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底便于计算求值． 反思：换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越

小越便于化简，如a n

为底的换为a 为底．

题型二 用已知对数表示其他对数

【例2】 已知log 142＝a ，用a 表示2

log

7.

分析：借助对数的运算性质及对数的换底公式等，建立所求结果与已知条件之间的关系． 反思：用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决． 题型三 实际应用

【例3】 2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元．如果我国GDP 年均增长7.8%左右，那么按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？

分析：归纳出国内生产总值与年数的关系式，再利用对数求解．

反思：解有关对数应用问题的步骤是：(1)审清题意，弄清各数据的含义；(2)恰当地设

未知数，建立数学模型，即已知a x

＝N (a ，N 是常数，且a ＞0，a ≠1)，求x ；(3)利用换底公式借助于计算器来解决数学模型；(4)还原为实际问题，归纳结论．

答案：【例1】 解：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32

lg 81

＝lg 33

lg 24×lg 25

lg 34＝

3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)

＝⎝

⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝(log 32＋12log 32)⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23

＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝5

4

. 【例2】 解法1：∵log 142＝a ，∴log 214＝1a .∴1＋log 27＝1a

.

∴log 27＝1

a

－1.

由对数换底公式，得log 27＝

2

2

2

log 7

log 7

log

2=

，

∴log

2

7＝2log 27＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

－1＝2

1－a

a

.

解法2：由对数换底公式，得

log 142＝

2

22log

2

2

log 14

log 72

=

+＝a ，

∴2＝a (2log 72+)，即22(1)

log 7a a

-=. 解法3：由对数换底公式，得

222

2log 7

log

71log 2

2

==

＝2log 27 ＝2(log 214－log 22)＝2⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

－1＝

21－a a

.

【例3】 解：假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标．

根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x

＝89 442×4，

即1.078x

＝4，

故x ＝log 1.0784＝lg 4

lg 1.078≈18.5.

答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．

1 下列等式不成立的是( )．

A ．log 54＝lg 4lg 5

B ．log 54＝ln 4

ln 5

C ．log 54＝44log 4

log 5

D ．log 54＝33log 4log 5--

2 log 8127等于( )．

A.34

B.43

C.12

D.13 3 82log 9log 3的值等于__________． 4 已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝__________.(用a ，b 表示)

5 已知2x ＝3y ＝6z

≠1，求证：111x y z +=.

答案：1．D 2．A log 8127＝lg 273lg33

lg814lg34

==. 3.

2

3

原式＝

lg9lg 22lg3lg 22lg8lg33lg 2lg33==. 4．ab log 27＝log 23·log 37＝ab . 5．分析：设2x ＝3y ＝6z

＝k ，化指数为对数，求出x ，y ，z 的值．

证明：设2x ＝3y ＝6z

＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .

∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1

z

＝log k 6＝log k 2＋log k 3.