浙教版八年级上《第2章特殊三角形》单元测试(3)含答案解析

《第2章特殊三角形》
一、选择题
1．下列图形不是轴对称图形的是（）
A．线段
B．等腰三角形
C．角
D．有一个内角为60°的直角三角形
2．下列命题的逆命题正确的是（）
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等
3．等腰三角形两边长为3和6，则周长为（）
A．12 B．15 C．12或15 D．无法确定
4．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是（）
A．6 B．8 C．4 D．12
5．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（）
A．36°，108°B．36°，72°
C．72°，72°D．36°，108°或72°，72°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm，BD=5cm，则点D 到AB的距离是（）
A ．5cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．2cm
7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）
A ．1，2，3
B ．1，1，
C ．1，1，
D ．1，2，
8．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC 的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
9．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）
A ．6
B ．12
C ．32
D ．64
10．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE ．下列结论中，正确的结论有（ ）
①CE=BD；
②△ADC 是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB ；
④S 四边形BCDE =BD •CE ；
⑤BC2+DE2=BE2+CD2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= ．
14．如图，直线上有三个正方形a，b．c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为．
15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE 的长度为．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．
17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为．
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．
三、解答题（共50分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）求∠ADE；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
23．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度
数．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA=BD，∠DAC=∠B，∠C=50°．求∠BAC的度数．
25．已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．
（1）求证：CE=AF；
（2）若CD=1，AD=，且∠B=20°，求∠BAF的度数．
26．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= °．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
《第2章特殊三角形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列图形不是轴对称图形的是（）
A．线段
B．等腰三角形
C．角
D．有一个内角为60°的直角三角形
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列命题的逆命题正确的是（）
A．全等三角形的面积相等 B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角都相等
【考点】命题与定理．
【分析】先写出各命题的逆命题，然后根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定定理和直角的定义分别对各逆命题进行判断．
【解答】解：A、全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形为全等三角形，所以A选项错误；
B、全等三角形的周长相等的逆命题为周长相等的三角形为全等三角形，所以B选项错误；
C 、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为有两个角相等的三角形为等腰三角形，所以C 选项正确；
D 、直角都相等的逆命题为相等的角为直角，所以D 选项错误．
故选C ．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
3．等腰三角形两边长为3和6，则周长为（ ）
A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．无法确定
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+3=6不符，
∴另一边必须为6，
∴周长为3+6+6=15．
故选B ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键
4．如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是BC 边上的中线，点E 、F 、M 、N 是AD 上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ）
A ．6
B ．8
C ．4
D ．12
【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD ⊥BC ，根据勾股定理求出AD 的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知S △EFC =S △EFB ，S △MNC =S △MNB ，故可得出S 阴影=S △ABD ，由此即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是BC 边上的中线，
∴BD=BC=3，AD ⊥BC ，
∴BD===4，
∵同底等高的三角形面积相等，
∴S △EFC =S △EFB ，S △MNC =S △MNB ，
∴S 阴影=S △ABD =BD •AD=×3×4=6．
故选A ．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．
5．有一个角是36°的等腰三角形，其它两个角的度数是（ ）
A ．36°，108°
B ．36°，72°
C ．72°，72°
D ．36°，108°或72°，72°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】因为等腰三角形的一个内角为36°，没明确是底角还是顶角，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：①当36°为顶角时，其它两角都为×（180°﹣36°）=72°；
②当36°为底角时，其它两角分别为36°，108°．
故选D ．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪个角是底角哪个角是顶角时，应分类讨论．
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ．若BC=4cm ，BD=5cm ，则点D 到AB 的距离是（ ）
A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm
【考点】角平分线的性质；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理求出CD的长，再过D作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】解：∵Rt△BCD中，BC=4cm，BD=5cm，
∴CD===3cm，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD，
∵CD=3cm，
∴DE=3cm．
故选C．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，根据题意作出辅助线是正确解答本题的关键．
7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）
A．1，2，3 B．1，1，C．1，1，D．1，2，
【考点】解直角三角形．
【专题】新定义．
【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；
B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；
C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；
C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．
故选：D．
【点评】考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念．
8．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若小方格的边长为1，则△ABC的形状是（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】先根据勾股定理求出△ABC各边的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状即可．【解答】解：由图形可知：AB==2，AC==，BC==5，
∵AB2+AC2=（2）2+（）2=25，BC2=25，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
故选B．
【点评】本题考查的是勾股定理及其逆定理，比较简单．
9．如图，已知：∠MON=30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 6B 6A 7的边长为（ ）
A ．6
B ．12
C ．32
D ．64
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2=4，A 4B 4=8B 1A 2=8，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．
【解答】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1=1，
∵△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A 2B 2=2B 1A 2，B 3A 3=2B 2A 3，
∴A 3B 3=4B 1A 2=4，
A 4
B 4=8B 1A 2=8，
A 5B
5
=16B
1
A
2
=16，
以此类推：A
6B
6
=32B
1
A
2
=32．
故选：C．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A
3B
3
=4B
1
A
2
，
A 4B
4
=8B
1
A
2
，A
5
B
5
=16B
1
A
2
进而发现规律是解题关键．
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD 交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（）
①CE=BD；
②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；
④S
四边形BCDE
=BD•CE；
⑤BC2+DE2=BE2+CD2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】三角形综合题．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误．
【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，故①正确；
∠ABD=∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°﹣（∠BCG+∠CBG）=180°﹣90°=90°，∴BD⊥CE，
∴S
=BD•CE，故④正确；
四边形BCDE
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，
在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；
只有AE∥CD时，∠AEC=∠DCE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，
无法说明AE∥CD，故②错误；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．
故选C
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
二、填空题
11．命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．
【考点】命题与定理．
【分析】把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题，“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的条件是“到角两边距离相等的点”，结论是“角平分线上的点”．
【解答】解：“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是“到角的两边的距离相等的是角平分线上的点”．
故答案为：到角的两边的距离相等的是角平分线上的点．
【点评】根据逆命题的定义来回答，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】探究型．
【分析】直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，
∴BD=BC=×6=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A=20°，则∠BDC= 40°．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得△ACD是等腰三角形，然后根据等边对等角以及三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵D是斜边AB的中线，
∴CD==AD，
∴∠DCA=∠A=20°，
∴∠BDC=∠DCA+∠A=20°+20°=40°．
故答案是：40°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形的性质，理解直角三角形的性质是关键．
14．如图，直线上有三个正方形a，b．c，若a，c的面积分别为5和12，则b的面积为17 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
【解答】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，
∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即S
b =S
a
+S
c
=12+5=17．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
15．如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE 的长度为3．
【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．
【解答】解：如图，∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，
∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，
∴AD=ABcos30°=6×=3．
根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60°，
∴△ADE的等边三角形，
∴DE=AD=3，
即线段DE的长度为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
16．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8 ．
【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．
【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，
∴DE=AC=5，
∴AC=10．
在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得
CD===8．
故答案是：8．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．
17．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，则EC长为3cm ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】如图，根据勾股定理求出BF的长；进而求出FC的长度；由题意得EF=DE；利用勾股定理列出关于EC的方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴DC=AB=8cm；∠B=∠C=90°；
由题意得：AF=AD=10cm，EF=DE=λcm，EC=（8﹣λ）cm；
由勾股定理得：BF2=102﹣82，
∴BF=6cm，
∴CF=10﹣6=4cm；
在△EFC中，由勾股定理得：λ2=42+（8﹣λ）2，
解得：λ=5，
EC=8﹣5=3cm．
故答案为：3cm．
【点评】主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD ⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为 4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】求出∠ADB=∠AEC，∠DBA=∠CAE，根据AAS证△ABD≌△CAE，推出BD=AE，AD=CE求出AE 和AD即可．
【解答】解：∵BD⊥AE，CE⊥AE，∠BA C=90°，
∴∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵CE=2，BD=6，
∴AE=6，AD=2，
∴DE=AE﹣AD=4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，关键是求出AE=BD，CE=AD．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为，则B′E的长为2﹣2 ．
【考点】旋转的性质．
【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=C′E，根据阴影部分面积为得出×C′E ×C′E=2，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．
【解答】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，
∴△ACB≌△AC′B′，
∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵∠CAC′=15°，
∴∠C′AE=30°，
∴AE=2C′E，AC′=C′E，
∵阴影部分面积为，
∴×C′E×C′E=2，
C′E=2，
∴AC=BC=C′B′=C′E=2，
∴B′E=2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=4cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为秒．（结果可含根号）．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论．
【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当D是顶角顶点，当B是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得BD的长，从而求解．
【解答】解：①如图1，当AD=BD时，在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+42，解得，BD=5（cm），
则t==（秒）；
②如图2，当AB=BD时．在Rt△ABC中，根据勾股定理得到：
AB===4，则t==4（秒）；
③如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t==（秒）；
综上所述，t的值可以是：；
故答案是：
【点评】本题考查了等腰三角形的判定．注意要分类讨论，以防漏解．
三、解答题（共50分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．
（1）求∠ADE；（直接写出结果）
（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．
【分析】（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠ADE=90°；
（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，
∴BC==4，
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
22．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】几何图形问题．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
23．现在给出两个三角形，请你把图（1）分割成两个等腰三角形，把图（2）分割成三个等腰三角形．要求：在图（1）、（2）上分割：标出分割后的三角形的各内角的度
数．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）将图中75°的角分成35°和40°的两个角，则可将图1分割成两个等腰三角形；（2）作其中一个底角的角平分线即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．主要利用两角相等来求证三角形是等腰三角形．因此作底角的平分线即可．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA=BD，∠DAC=∠B，∠C=50°．求∠BAC的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】设∠DAC=x°，则∠B=2x°，∠BDA=∠C+∠DAC=50°+x°．根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠BDA=50°+x°，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠DAC=x°，则∠B=2x°，∠BDA=∠C+∠DAC=50°+x°．
∴∠BAD=∠BDA=50°+x°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
即2x+50+x+50+x=180，
解得x=20．
∴∠BAD=∠BDA=50°+20°=70°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°+20°=90°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
25．已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延长线于点E，点F是点C关于直线AE的对称点，连接AF．
（1）求证：CE=AF；
（2）若CD=1，AD=，且∠B=20°，求∠BAF的度数．
【考点】勾股定理；轴对称的性质．
【分析】（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根据等腰三角形的判定方法得到△ACE为等腰三角形，则AC=CE，由点F是点C关于AE的对称点，根据对称的性质得到AD垂直平分FC，则AF=AC，则CE=AF；
（2）在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AC==2，所以CD=AC，故∠DAC=30°；同理可得∠DAF=30°，所以∠BAF=90°﹣∠B﹣∠DAF=40°．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，
∴△ACE为等腰三角形，
又∵点F是点C关于AE的对称点，
∴AF=AC，
∴CE=AF；
（2）解：在Rt△ACD中，CD=1，AD=，根据勾股定理得到：AC==2，
∴CD=AC，
∴∠DAC=30°．
同理可得∠DAF=30°，
在Rt△ABD中，∠B=20°，
∴∠BAF=90°﹣∠B﹣∠DAF=40°．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称的性质．如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
26．（10分）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 90°°．
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．
【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）先用等式的性质得出∠CAE=∠BAD，进而得出△ABD≌△ACE，有∠B=∠ACE，最后用等式的性质即可得出结论；
（2）①由（1）的结论即可得出α+β=180°；
②同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠DAE=∠BAC，∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC；
∴∠CAE=∠BAD；
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠B=∠ACE；
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠B=180°﹣∠BAC=90°；
故答案为90°；
（2）①由（1）中可知β=180°﹣α，
∴α、β存在的数量关系为α+β=180°；
②当点D在射线BC上时，如图1，
同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABD=180°﹣∠BAC=180°﹣α，
∴α+β=180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，如图2，
同（1）的方法即可得出，△ABD≌△ACE（SAS）；
∴∠ABD=∠ACE，
∴β=∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=∠ABD﹣∠ACB=∠BAC=α，
∴α=β．
【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了等式的性质，全等三角形的判定，解本题的关键是得出△ABD≌△ACE．。