高考一轮复习理数课件第十二章第二节选修4-4《坐标系与参数方程》

判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极
第一步 轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐
标方程与直角坐标方程可以互化
通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos θ， 第二步 ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程要保持
同解，不要出现增解或漏解
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式
1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面上取一个 定点 O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条 射线 Ox，Ox 叫做 极轴；同时确定一个 长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时 针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与_(_ρ_，__θ_＋__2_k_π_)_(_k_∈__Z_)_表示同一 个点，特别地，极点O的坐标为_(_0_，__θ_)_(_θ_∈__R_)_，和直角坐标 不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点 可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的 点也是唯一确定的．
第二节 选修4－4《坐标系与参数方程》
本节主要包括 3 个知识点： 1.极坐标系； 2.参数方程； 3.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点(一) 极坐标系
突破点(二) 参数方程
02341
突破点(三) 参数方程与极坐标方程的综合问题
课时达标检测
01 突破点（一） 极坐标系
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
02 突破点(二) 参数方程
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线 C 上_任__意__一__点__P_ 的坐标 x，y 都可以表示为某个变量 t 的函数：xy＝＝gftt，， 反过 来，对于 t 的每一个允许值，由函数式xy＝＝gftt， 所确定的点 P(x，y)都在这曲线 C 上，那么方程xy＝＝gftt， 叫做曲线 C 的参 数方程，变数 t 是参变数，简称 参数 ．
极坐标方程的应用
[例 2] (2018·福州五校联考)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ2－2 2ρcosθ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x 若直线 l 过原点，且被曲线 C 截得的弦长最小，求直 线 l 的直角坐标方程；
(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点 M 的直角坐标为(x， y)，求 x＋y 的最大值．
2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相 对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定 x，y 的值； (2)具体步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数 t； 第二步，确定参数 t 与变量 x 或 y 的一个关系式 x＝f(t)(或 y＝φ(t)); 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方 程 F(x，y)＝0，求得另一关系 y＝g(t)(或 x＝ψ(t))，问题得解．
当 t≤－1 时，－1≤x＜0，
∴所求普通方程为 x2＋y2＝1，其中00＜≤xy＜≤11，或－－11≤＜xy≤＜00.，
(2)∵y＝－1＋cos 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2， ∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0. ∵0≤sin2θ≤1， ∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3， ∴所求的普通方程为 2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
(3)椭圆ax22＋by22＝1(a＞
b＞0)的参
数
方
程为
x＝ y＝
acos bsin
φ，
φ
(φ 为参数).
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
参数方程与普通方程的互化 1.参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法； ②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再 加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程 的技巧，三角恒等式消元法常利用公式 sin2θ＋cos2θ＝1 等．
(2)因为 M 是曲线 C 上的动点，因而利用圆的参数方程可 设xy＝＝－1＋1＋2co2ssiφn，φ (φ 为参数)，则 x＋y＝2sin φ＋2cos φ＝ 2 2sinφ＋π4，当 sinφ＋π4＝1 时，x＋y 取得最大值 2 2.
[易错提醒] 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果 几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方 程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
极坐标方程 _ρ_＝__r_(_0_≤__θ_＜__2_π_) _ρ_＝__2_r_c_o_s_θ__－__π2_≤__θ_≤__π2__ _ρ_＝__2_r_s_in__θ_(_0_≤__θ_＜__π_)
曲线 过极点，倾斜角
为 α 的直线 过点(a,0)，与极 轴垂直的直线 过点a，π2，与极 轴平行的直线
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，由坐标变换公式，得 x2＋y2＝4.
因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2，
所以 ρ2－2
2ρcos
θcosπ4＋sin
θsinπ4＝2.
由坐标变换公式，得 x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程
2．极坐标与直角坐标的互化
点M 互化公式
直角坐标(x，y) x＝_ρ_c_o_s_θ_， y＝__ρ_si_n__θ_
极坐标(ρ，θ)
ρ2＝x2＋y2，
tan
θ＝xyx≠0
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点，
半径为 r 的圆
圆心为(r,0)， 半径为 r 的圆
圆心为r，π2， 半径为 r 的圆
[例 1] 将下列参数方程化为普通方程．
x＝1t ， (1)y＝1t t2－1
(t 为参数)；
x＝2＋sin2θ， (2)y＝－1＋cos 2θ
(θ 为参数)．
[解]
(1)∵1t 2＋1t
t2－12＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，
∴t≥1 或 t≤－1.
又 x＝1t ，∴x≠0. 当 t≥1 时，0＜x≤1，
[易错提醒] (1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意 x，y 的取值范围，保证消参前后的方程的一致性． (2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围 对普通方程中 x，y 的取值范围的影响．
图形
极坐标方程 θ＝α(ρ∈R)或 θ＝π＋α(ρ ∈R)；θ＝α 和 θ＝π＋α _ρ_c_o_s__θ_＝__a_－__π2__＜__θ_＜__π2_
ρ__si_n__θ_＝__a_(0_＜__θ_＜ ___π_)
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
ρ2＋2
2ρ
2 2 sin
θ－
2 2 cos
θ－4＝0，
化简，得 ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆 C 的半径为 6.
4.[考点一、二](2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐 标方程为 ρcos θ＝4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP| ＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为2，π3，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一、二]已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsinθ＋π4＝ 2，点
A 的极坐标为 A2
2，74π，求点 A 到直线 l 的距离．
解：由 2ρsinθ＋π4＝
2，得
2ρ
2 2 sin
θ＋
2 2 cos
θ＝
2，
由坐标变换公式得直线 l 的直角坐标方程为 y＋x＝1，
解：(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝co4s θ. 由|OM|·|OP|＝16，得 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)， 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积 S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·sinα－π3 ＝2sin2α－π3－ 23≤2＋ 3. 当 α＝－1π2时，S 取得最大值 2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.
即 x＋y－1＝0.
由点 A 的极坐标为2
2，74π得点 A 的直角坐标为(2，－2)，
所以点 A 到直线 l 的距离 d＝|2－22－1|＝ 22.
2.[考点一、二](2018·洛阳统考)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分
别为 ρ＝2，ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2. (1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；
[例 1] 在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和
直线
l：ρsinθ－π4＝
2 2.
(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；
(2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标．
[解] (1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即 x2＋y2－x－y ＝0，直线 l：ρsinθ－π4＝ 22，即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线 l 的直角坐标方程为：y－x＝1，即 x－y＋1＝0. (2)由xx2－＋yy＋2－1＝x－0 y＝0， 得xy＝＝10，， 则直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为1，π2.
第三步
x＝ρcos y＝ρsin
θ，及 θ
ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转化为直角坐
标方程
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐 标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角 坐标方程中的 x，y 分别用 ρcos θ，ρsin θ 代替即可得到相应 极坐标方程．
(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为
x＝ x0＋tcos α， y＝ y0＋tsin α
(t 为参数)．
(2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝ x0＋rcos θ ， y＝_y_0_＋__r_si_n_θ_
(θ 为参数)．
为 x＋y＝1.
化为极坐标方程为
ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，即
ρsinθ＋π4＝
2 2.
3.[考点二]已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2 2ρ·sinθ－π4－4＝0， 求圆 C 的半径．
解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴
为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为
[方法技巧] 1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以 x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角 θ 的表示方法具有周期性， 故点 M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无 穷多个．当限定 ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点 M 的极坐 标是唯一的． (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角 θ 应注意判断 点 M 所在的象限(即角 θ 的终边的位置)，以便正确地求出角 θ(θ∈[0,2π))的值．
[解] (1)ρ2－2 2ρcosθ＋π4－2＝0，即 ρ2－2ρcos θ＋ 2ρsin θ－2＝0，
将xy＝＝ρρscions
θ， θ
代入得曲线 C 的直角坐标方程为(x－1)2
＋(y＋1)2＝4，
圆心 C(1，－1)，若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小，则
直线 l 与 OC 垂直，
即 kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而 kl＝1，故直线 l 的直角 坐标方程为 y＝x.