2 宏观电磁场的基本规律

§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场
性质2
静电场是无旋场
∇ × E (r ) = = −1 4 πε
0
1 4 πε
0
∫∫∫
V '
R ∇ × 3 ρ r ' dV R
( )
，
∫∫∫ ( )
V
1 ρ r ∇ × ∇ dV = 0 R
由于标量场的梯度是无旋场，所以静电场又可以 表示为某个标量场的梯度。
1 Faraday电磁感应定律 电磁感应定律 Faraday从1820年开始探索 从 年开始探索 磁场产生电场的可能性， 磁场产生电场的可能性，经 年的努力， 过11年的努力，终于在 年的努力 终于在1831 年实验发现， 年实验发现，当穿过闭合线 圈的磁通量发生变化时， 圈的磁通量发生变化时，闭 合导线中有感应电流产生， 合导线中有感应电流产生， 感应电流的方向总是以自己 产生的磁通量对抗原来磁通 量的改变。 量的改变。
真空中的Maxwell Maxwell方程组 §2.4 真空中的Maxwell方程组
2 位移电流概念 将 Biot—Savart定律应 用到如图所表示的环 路L，同样以L为边界 的两个不同曲面S1和 S2，其旋涡源的通量 有两个不同的结果：
存在变化电场
µ 0 J ⋅ ds = µ 0 I ∫∫ B ⋅ d l = S1 ∫ l µ 0 ∫∫ J ⋅ d s = 0 S2
§2.4 真空中的Maxwell方程组 真空中的 方程组 进一步的实验还证明， 进一步的实验还证明，只要闭合曲线内磁通 量发生变化， 量发生变化，感应的电场不仅存在于导体回 路上，也同样存在于非导体回路上， 路上，也同样存在于非导体回路上，并满足 如下定量关系式： 如下定量关系式：
回路 电动势
d ∫ E ⋅ dl = − dt ∫∫ B ⋅ ds l s
1 Coulomb定律 定律 真空中任意两个静止 点电荷q1 点电荷 和q2之间 之间 作用力的大小与两电 荷的电荷量成正比， 荷的电荷量成正比， 与两电荷距离的平方 成反比；方向沿q1 成反比；方向沿 和 q2连线方向，同性电 连线方向， 连线方向 荷相互排斥， 荷相互排斥，异性电 荷相互吸引。 荷相互吸引。
F12
q1 q 2 R12 = 3 4πε 0 R12
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场 实验还证明， 实验还证明，真空中多 个点电荷构成的电荷体 两两间的作用力， 系，两两间的作用力， 不受其它电荷存在与否 的影响。多个电荷体系 的影响。 中某个电荷受到的作用 力是其余电荷与该电荷 单独存在时作用力之矢 量代数和， 量代数和，满足线性叠 加原理。 加原理。
I 2 dl 2 × (I1dl1 × R12 ) 3 ∫ l∫ R12 l1 2
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场
实验进一步证明， 实验进一步证明，电 流体对于置其中的电 流元 I0d l 有力的作 用，电流元 I0d l 受 到的作用力是电流体 中所有电流与电流元 I0d l 作用的叠加。 作用的叠加。
在外磁场力作用下磁偶极矩定向排列形成宏观上的磁偶极矩传导电流conductioncurrent介质中可自由移动的带电粒子在外场力作用下导致带电粒子的定向运动形成电流由于极化分子或原子的正负电荷发生位移体积元内一部分电荷因极化而迁移到的外部同时外部也有电荷迁移到体积元内部
第二章
宏观电磁场的基本规律
主要内容： 主要内容： 宏观电磁现象的实验定律 真空中的Maxwell Maxwell方程组 真空中的Maxwell方程组 介质的极化和磁化 介质中的Maxwell Maxwell方程组 介质中的Maxwell方程组 电磁场的边界条件
§2.1 电荷与电流
单位时间内，通过界面 进入V内部的电荷量为：
∆ q = − ∫∫ J ⋅ d s
s
∂ρ ∇ ⋅J + = 0 ∂t
J
s
V
n
该电荷量等于V内单位时 间内的电荷增加量，即：
d ∆q = − ∫∫ J ⋅ ds = dt s
∫∫∫ ρdV
V
孤立系统
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场
J 总 = J 传导 + J 位移 = J + J D ⇒ ∇ ⋅ J 总 = 0
为了获得位移电流表达式， 为了获得位移电流表达式，Maxwell认为静电场的 认为静电场的 Gauss定律和电荷守恒定律是实验的总结，应予 定律和电荷守恒定律是实验的总结， 定律和电荷守恒定律是实验的总结 以保留。利用这两个定律， 以保留。利用这两个定律，他对电流的形式进行 了如下的推广： 了如下的推广： ∂E J 总 = J＋J D = J＋ε 0 ∂t
2 Biot—Savart 定律与磁感应强度 实验证明，任一恒定电流元Idl在其周围空 间激发出对另一恒定电流元（或磁铁）具 有力作用的物理量，称为磁场。恒定电流 元之间的相互作用力是通过磁场传递的， 对恒定电流有力的作用是磁场的基本特性
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场
如果电荷是连续分布，密度为 ρ (r )。它在空间 任意一点产生的电场为：
ρ (ri ' )∆Vi
E (r ) = =
∑
i =1
∞
ρ ( ri ) ∆ V i R i 4πε 0 R i3
'
∫∫∫
V
ρ (r ' ) R dV 3 4πε 0 R
小体积元中的电荷产生的电场
曲面磁通 量改变率
§2.4 真空中的Maxwell方程组 真空中的 方程组
Faraday电磁感应实验定律表明： 电磁感应实验定律表明： 电磁感应实验定律表明 变化的磁场可以产生感应电场， 变化的磁场可以产生感应电场，该电场与 静电场都对电荷有力的作用， 静电场都对电荷有力的作用，所不同的是 感应电场沿闭合回路的积分不为零， 感应电场沿闭合回路的积分不为零，具有 涡旋场的性质，变化的磁场是其旋涡源。 涡旋场的性质，变化的磁场是其旋涡源。 因此静态场方程必须加以修正， 因此静态场方程必须加以修正，才能正确 描述更为一般的电磁现象。 描述更为一般的电磁现象。
一致， 一致，必须对电流 J 进行改造和推广 。
真空中的Maxwell Maxwell方程组 §2.4 真空中的Maxwell方程组
Maxwell认为电流由两个部分组成， Maxwell认为电流由两个部分组成，其中一部分为 认为电流由两个部分组成 传导电流， 传导电流，另一部分被他称之为位移电流 ，即：
qi
Fi = ∑
j ≠i
qi q j Rij
3 4πε 0 Rij
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场
2 电场强度 实验证明， 实验证明，任何电荷在其所在空间激发出 对置于其中的电荷有力作用的物理量， 对置于其中的电荷有力作用的物理量，称 为电场。 为电场。由静止电荷激发的电场称为静电 场。人们正是通过对电磁中电荷受力的特 性认识和研究电场的。 性认识和研究电场的。电荷之间的作用力 是通过电场来传递的。 是通过电场来传递的。因此电场对电荷的 作用力可以用于定义电场。 作用力可以用于定义电场。
出现了相互矛盾的结果。
真空中的Maxwell Maxwell方程组 §2.4 真空中的Maxwell方程组
在Maxwell所处的时代，磁力线的闭合特性被实验所 证明，因此他认为
∇ ⋅ (∇ × B ) ≡ 0
是正确的。如果要使
∂ρ = －∇ ⋅ J ≠ 0 ∂t
与 ∇ ⋅ (∇× B) = µ0∇ ⋅ J ≡ 0
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场
5 磁场对运动带电粒子的作用力 电荷运动形成电流， 电荷运动形成电流，磁场对电流的作用力实际上 是对运动电荷的作用力。 是对运动电荷的作用力。从而得到
dq F = Idl × B = (vdt) × B = dqv × B dt
B
J r' × R ∫∫∫ R 3 dV V
( )
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场 3 磁矢位 如果记
µ0 A (r ) = 4π
∫∫∫
V
J r' dV R
( )
磁感应强度矢量可表示为：
B (r ) =
µ0 4π
∫∫∫
V V
1 ∇ × J r ' dV R
真空中的Maxwell Maxwell方程组 §2.4 真空中的Maxwell方程组
Maxwell认为，在时变电磁场问题中，电荷密 度 ρ 一般是时间的函数，它对于时间的微分 不一定为零，即：
∂ρ = －∇ ⋅ J ≠ 0 (电荷守恒定律） ∂t 相互矛盾 而另一方面， 的结果
∇⋅ (∇× B) = µ0∇⋅ J ≡ 0
dF = I0dl × ∑
j
I0d l
µ0 4π
Id l j × R j = I 0dl × µ 0 R3 4π j
∫∫∫
V
J (r ′ ) × (r − r ′ ) dr ′ 3 r − r′
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场
称为称为Lorentz力 。磁场对运动带电粒子的作 力 称为称为 用力与粒子运动的方向垂直， 用力与粒子运动的方向垂直，这说明磁场对带电 粒子不做功，它只改变粒子的运动方向， 粒子不做功，它只改变粒子的运动方向，而不改 变粒子运动速度的大小。 变粒子运动速度的大小。
真空中的Maxwell方程组 §2.4 真空中的 方程组
§2.1 电荷与电流
1 电荷守恒定律 宏观实验表明：一个孤立系统的电荷总量是保持 不变的，即在任何时刻，系统中的正电荷与负电 荷的代数和保持不变。称之为电荷守恒定律。电 荷守恒定律表明，如果孤立系统中某处在一个物 理过程中产生（或消灭）了某种符号的电荷，那 么必有相等量的异号电荷伴随产生（或消灭）； 如果孤立系统中总的电荷量增加（或减小），必 有等量的电荷进入（或离开）该孤立系统。
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场
空间某点的电场强度定义为置于该点的单位 点电荷（又称试验电荷）受到的作用力： 点电荷（又称试验电荷）受到的作用力：
F (r ) E (r ) = lim q0 → 0 q 0
根据上述定义很容易得到真空中静止点电荷 q激发的电场为： 激发的电场为： 激发的电场为 qR E (r ) = 4πε 0 R 3
( )
µ =∇× 0 4π
∫∫∫
J r' dV = ∇ × A (r ) R
( )
A(r ) 称为磁矢位。
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场 4 磁场的基本性质 （1) 恒定电流的磁场是无散场，即：
∇ ⋅ B(r ) = ∇ ⋅ ∇ × A(r ) = 0
所以
∫∫∫∇ ⋅ B(r )dV = ∫∫ B(r ) ⋅ ds = 0
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场 3 静电场的性质 ρ (r ) 性质1 静电场是有散矢量场， 性质1 静电场是有散矢量场，∇ ⋅ E (r ) =
ε0
电荷是静电场的通量源。利用 电荷是静电场的通量源。利用Gauss定理得到 定理得到
∫∫∫ ∇ ⋅ EdV = ∫∫ E (r ) ⋅ ds = ε ∫∫∫ ρ (r )dV
区域V上的磁感应强度的数值为 检验电流元受到作用力最大值 与检验电流元比值的极限
d F = I 0 d l × B (r )
dF
[d F ]max B(r ) = liቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d l →0
I0d l
磁感应强度的方向垂直电流元与 电流元受力方向所构成的平面， 三者满足右手螺旋法则。
I0 dl
µ0 B (r ) = 4π
E (r ) = −∇φ (r )
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场
1 Ampere定律 定律 Ampere对电流的磁效 对电流的磁效 应进行了大量的实验研 究，在 1821～1825年 ～ 年 之间， 之间， 设 计 并完成了 四个关于电流相互作用 的精巧实验， 的精巧实验，得到了电 流相互作用力公式, 称 流相互作用力公式 µ0 F12 = 定律。 为Ampere定律。 定律 4π
V s
这说明磁场力线是闭合的，没有起点 也没有终点。
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 定律与恒定电流的磁场
（2) 恒定电流的磁场是有旋场，电流是磁场的 涡旋源。
∇ × B = µ 0 J (r )
∫∫ ∇ × B ⋅ ds = ∫ B ⋅ dl = µ ∫∫ J ⋅ ds = µ I
0 0 s l s
1
V s 0 V
称为静电场的Gauss定律。静电场的Gauss定律表 定律。静电场的 称为静电场的 定律 定律表 明静电场的力线发源于正电荷， 明静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷 。在 没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。 没有电荷的空间中，静电场的力线是连续的。
§2.2 Coulomb定律与静电场 定律与静电场