平抛运动临界问题典型例题

平抛运动临界问题
平抛运动是指一个物体在不受外力影响下，沿着一个水平方向进行抛掷的运动。

在平抛运动中，物体受到重力的作用而向下做加速运动，而在水平方向上则保持匀速直线运动。

当物体的初速度和抛掷角度确定时，我们可以通过解析的方法来求解物体的最大高度、最大飞行距离以及落地处的速度等问题。

问题描述
一个足球运动员以θ的角度用力将足球从地面上以v0的初速度抛出。

为了使
足球能够在某一距离d处接触地面，求抛出足球时的最小速度v0。

解题思路
根据平抛运动的基本公式，可以得到足球在竖直方向的运动方程为：
ℎ=v0sinθt−gt2 2
其中，ℎ是足球抛出后的最大高度，g是重力加速度，t是足球从抛出到落地所需的时间。

当足球接触地面时，ℎ的值为0，即：
0=v0sinθt−gt2
2
 ⇒ v0sinθt=
gt2
2
将t表示为：
t=2v0sinθ
g
代入求解接触地面的位置d与时间t的关系：
d=v0cosθ⋅t ⇒ d=v0cosθ⋅2v0sinθ
g
化简得到：
d=2v02sinθ⋅cosθ
g
将上述方程转化为关于v0的二次方程形式：
v02sin2θ−gd
2
=0
解二次方程，并根据物理意义得到一个物理解：
v 0=√gd 2sin2θ
该解即为足球抛出时的最小速度。

示例计算
假设 d =50 m ，θ=45∘，g =9.8 m/s²，代入上述公式可得：
v 0=√9.8×502sin90∘≈22.142
≈11.07 m/s 因此，足球抛出时的最小速度为约 11.07 m/s 。

总结
本文使用物理学中的平抛运动公式，通过计算和代数运算的方法，解决了一个关于平抛运动临界问题的例题。

通过该例题，我们了解到通过解析方法可以推导出平抛运动的高度和水平距离与初速度和抛射角度之间的关系，并使用这个关系来解决实际问题。