二端网络的等效概念

二端网络的等效概念
具有两个端钮的部分电路，就称为二端网络，如图1.2所示。

如果电路的结构、元件参数完全不同的两个二端网络具有相同的电压、电流关系即相同的伏安关系时，则这两个二端网络称为等效网络。

等效网络在电路中可以相互代换。

部有独立电源（电压源的电压或电流源的电流不受外电路控制而独立存在的电源叫独立电源）的二端网络，称为有源二端网络；部没有独立电源的二端网络，称为无源二端网络。

无源二端网络可用一个电阻元件与之等效。

这个电阻元件的电阻值称为该网络的等效电阻或输入电阻，也称为总电阻，用i R 表示。

二、电源的等效变换
任何一个实际电源本身都具有阻，因而实际电源的电路模型由理想电源元件与其阻组合而成。

理想电源元件有电压源和电流源，因此，实际电源的电路模型也相应的有电压源模型和电流源模型，如图29.1所示。

在图)(29.1a 电路中，由式)16.1(可知：
i S IR U U -=
式中，S U 为电压源的电压。

在图)(29.1b 电路中，由式)17.1(可知：
U R I I i
S '1
-
=
整理后得：''i i S IR R I U -=
由此可见，实际电压源和实际电流源若要等效互换，其伏安特性方程必相同，即电路参数必须满足条件：
'i i R R =；'i S S R I U = )18.1(
当一个实际的电压源要等效变换成实际的电流源时，电流源的电流等 于电压源的电压与其阻的比值)('
i S
S R U I =，电流源的阻等于电压源的 阻)('i i R R =；
当一个实际的电流源要等效变换成实际的电压源时，电压源的电压等于电流源的电流与其阻的乘积)('i S S R I U =，电压源的阻等于电流源的阻)('i i R R =。

在进行等效互换时，必须重视电压极性与电流方向之间的关系，即两者的参考方向要求一致，也就是说电压源的正极对应着电流源电流的流出端。

实际电源的两种模型的等效互换只能保证其外部电路的电压、电流和功率相同，对其部电路，并无等效而言。

通俗地讲，当电路中某一部分用其等效电路替代后，未被替代部分的电压、电流应保持不变。

应用电源等效转换分析电路时还应注意以下几点：
（1）电源等效转换是电路等效变换的一种方法。

这种等效是对电源输出电流I 、端电压U 的等效。

（2）有阻i R 的实际电源，它的电压源模型与电流源模型之间可以互换等效；理想的电压源与理想的电流源之间不便互换。

（3）电源等效互换的方法可以推广运用，如果理想电压源与外接电 阻串联，可把外接电阻看其作阻，则可转换为电流源形式；如果理想电流源与外接电阻并联，可把外接电阻看作其阻，则可转换为电压源形式。

例1.5 将下图电路进行等效变换。

a
a
a
b (b)图
a
b
(a)图
解题思路：
解题前先要看清电路的连接形式，因为并联电路电压相等，对于并联电路则要看电压源；而串联电路的电流相等，对于串联电路则要看电流源。

在图)(a 电路中，因为R 和S u 相并联，b a ,两点间的端电压相等，所以对外电路而言则可等效成R S u u u ==；
在图)(b 电路中，因为S i 和S u 相并联，b a ,两点间的端电压相等，所以对外电路而言则可等效成iS S u u u ==；
在图)(c 电路中，因为S i 和S u 相串联，b a ,两点间流过同一电流，所以对外电路而言则可等效成S i ；
在图)(d 电路中，因为S i 和S u 相串联，b a ,两点间流过同一电流，所以对外电路而言则可等效成S i ；
例2.5 已知V U S 41=，A I S 22=，Ω=2.12R ，试化简图)(30.1a 电路。

解题思路：
在图)(30.1a 中，先把电流源2S I 与电阻2R 的并联变换为电压源2S U 与电阻2
R 的串联（注意：电压源的正极对应着电流源电流的流出端），如图)(30.1b ，其中
V I R U S S 24212222=⨯=⨯=
(a)图
(c)图
(d)图
a
b
a
b
在图)(30.1b 中，再将电压源2S U 与电压源1S U 的串联变换为电压源S U ，如图
)(30.1c ，其中：
V U U U S S S 2842412=+=+=（若1S U 和2S U 方向不同则相减）。

例3.5 将下图电路等效化简为电压源和电阻的串联组合。

解题思路：
在第一条支路上Ω2电阻和V 2电压源相串联，应用等效变换公式
'
i
S S R U I =
和i i R R ='
将其等效变换成A 1电流源（电压源的正极对应着电流源电流的流出端）与Ω2电阻的并联组合；在第二条支路上Ω1电阻和A 3电流源相
串联，等效结果如图)(b 所示。

在)(b 中，三路电流源相并联，其中A 3电流方向向下，则有A I S 3531=+-=，进一步等效为图)(c 所示。

在图)(c 中，Ω2电阻和A 3电流源相并联，再应用等效变换公式'i S S R I U =和
'i i R R =，将其等效为图)(d 所示简化形式。

a
5A
3A
＋ 2V －
1Ω
2Ω
＋ 6V － 2Ω
a
b
3A
1A
5A a
b
2Ω 3A
2Ω
a 注意电流
源的极性电流源
进行合并
例4.5 电路如图31.1所示，已知V U S 101=，A I S 151=，A I S 52=，Ω=30R ，
Ω=202R ，求电流I 。

解题思路：
在图)(31.1a 中，电压源1S U 与电流源1S I 并联，可等效为该电压源1S U ；电流源2S I 与电阻2R 的并联可等效变换为电压源2S U 与电阻2R 的串联，电路变换如图
)(31.1b ，其中：
V R I U S S 1002025222=⨯=⨯=。

在图)(31.1b 中，电压源1S U 与电压源2S U 的串联可等效变换电压源U ，电路变换如图)(31.1c ，其中：
V U U U S S S 1101010012=+=+=
在图)(31.1c 中，根据欧姆定律求得：
A R R U I S 2.220
30110
2=+=+=
三、电阻的串联
两个或两个以上的电阻元件依次相连，且中间无分支的连接方式叫串联，如图)(3.2a 所示。

串联电路有以下特点：
①串联电路中流过每个电阻的电流都相等，即：
n I I I I ==== 21；
②串联电路两端的总电压等于各个电阻两端的电压之和。

即：
n U U U U +++= 21；
③串联电路两端的总电阻（等效电阻）等于各串联电阻之和。

即：
n i R R R R +++= 21。

图)(3.2b 是图)(3.2a 的等效网络，根据等效的概念，在图)(3.2b 中有：
I R U i =。

④串联电阻有“分压”作用。

在两个电阻的串联电路中，若已知电路的总电压U 和1R 、2R 的阻值时，则这两个电阻上的电压分配关系为：
U R R R U 2111+=
U R R R U 2
12
2+=
在电工测量仪表中，用串联电阻来扩大测量仪表的电压量程。

例5.5 一个额定值为5W 、100Ω的电阻，在使用时最高能加多少伏特电压？能允许通过多少安培的电流？
解题思路：本题中已知功率和电阻值，由功率公式R
U R U U UI P 2
===得
V PR U 5.221005=⨯==；
由功率公式R I I IR UI P 2=⋅==得
A R P I 225.0100
5
===。

四、电阻的并联
两个或两个以上电阻元件接在电路中相同的两点之间的连接方式叫电阻的并联，如图)(5.2a 所示。

并联电路有以下特点：
①并联电路中各电阻两端的电压均相等，且等于电路两端的电压，即
n U U U U ==== 21；
②并联电路中总电流等于各电阻中的电流之和，即
n I I I I +++= 21；
③并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和，即
n
n R R R R 111121+++= ④并联电阻有“分流”作用。

在两个电阻的并联电路中，若只有R 1、R 2两个电阻并联，如图2．6所示，可得等效电阻R i 为：
2
12
1R R R R R n +=
当已知电路的总电流I 和1R 、2R 的 阻值，则流过两个电阻上的电流分别为：
I R R R R I R R U
I n 212111+=== I R R R R I R R U
I n 2
11122+===
在电工测量仪表中，用并联电阻来扩大测量仪表的电流量程。

例3.3 在图6.2所示的电路中，已知mA I 500=，Ω=K R 1.51，Ω=3102R ，求1I ，和2I 。

解题思路：
根据分流公式得：
mA I R R R I 65.2850031.01.531
.02121=⨯+=+=
mA I R R R I 35.47150031
.01.51
.52112=⨯+=+=
例4.3 求图1.2所示电路中Ω6电阻上的功率。

解题思路：该题是一个既有串联电阻又有并联电阻的混合电路。

首先，利用电阻的串联、并联关系简化电路，求出相关电流。

图1.2中Ω4和Ω6电阻是并联关系，其并联等效电阻又和Ω6.1电阻是串联关系，依据电阻串、并联公式将图1.2所示电路简化为图2.2所示的形式。

用分流公式求电流i ：
A i 8104
1616
=⨯+=
i 是图1.2中Ω6.1电阻上的电流，这个电流又是Ω4和Ω6电阻的总电流。

再根据分流公式，进一步求出Ω6和Ω4电阻上的分流，在Ω6电阻上的电流1i 是：
A i i 2.384
644641=⨯+=⨯+=
消耗在Ω6电阻上的功率是：
W i p 44.612.366221=⨯==
五、电阻的混联
由串联和并联电阻组合而成的二端电阻网络称为电阻的混联网络，分析混联电阻网络的一般步骤如下：
（1）计算各串联电阻、并联电阻的等效电阻，再计算总的等效电阻。

（2）由端口激励计算出端口响应。

（3）根据串联电阻的分压关系、并联电阻的分流关系逐步计算各部分电压和电流。

例6.3 图7.2所示的是一个利用滑线变阻器组成的简单分压器电路。

电阻分压器的固定端a 、b 接到直流电压源上。

固定端b 与活动端c 接到负载上。

利用分压器上滑动触头c 的滑动，可在负载电阻上输出U ~0的可变电压。

已知直流理想电压源电压V U S 9=，负载电阻Ω=800L R ，滑线变阻器的总电阻Ω=1000R ，滑动触头c 的位置使Ω=2001R ，Ω=8002R 。

①求输出电压2U 及滑线变阻器两段电阻中的电流1I 和2I ；
②若用阻为Ω=12001V R 的电压表去测量此电压，求电压表的读数； ③若用阻为Ω=36002V R 的电压表再测量此电压，求这时电压表的读数。

解题思路：
)1(在图)(7.2a 中，电阻2R 与L R 并联后再与1R 串联。

得总电阻为
Ω=+⨯+=++
=600800
800800
800200221L L R R R R R R 总
由欧姆定律求得总电流为
A R U I S 015.0600
91===
总 再由分流公式求得电流2I 为
A I R R R I L L 0075.0015.0800
800800
122=⨯+=+=
V I R U 60075.0800222=⨯==
)2(在图)(7.2b 中，电阻2R 、L R 与电压表阻1V R 并联后再与1R 串联，得总电
阻为
Ω=+++=+++
=5001200
1800180011
2001111121V L R R R R R 总
由分压公式求得电压1V U 为
V R R R R U U V L S V 79.53600
180018001150091111121=++⨯=++⨯=
总 )3(在图)(7.2b 中，电阻2R 、L R 与电压表阻2V R 并联后再与1R 串联，得总电
阻为
Ω=+++=+++
=5603600
1800180011
2001111221V L R R R R R 总
由分压公式求得电压2V U 为
V R R R R U U V L i S V 79.53600
1800180011500911111222=++⨯=++⨯=
由此可见，由于实际电压表都有一定的阻，将电压表并联在电路中测量电压时，对被测试电路都有一定的影响。

电压表阻越大，对测试电路的影响越小。

理想电压表的阻为无穷大，对测试电路才无影响，但实际中并不存在。