人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题(含答案)

人教版七年级上第四章余角和补角同步练习题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知7622α'∠=︒，则α∠的补角是（ ）．
A ．10338'︒
B ．10378'︒
C ．1338'︒
D ．1378'︒ 2．若一个角的补角加上20︒后等于这个角余角的3倍，则这个角的度数为（ ）． A ．25︒ B ．35︒ C ．45︒ D ．55︒ 3．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中α∠与β∠互补的是（ ） A ． B ． C ． D ．
4．将一副三角板按如图方式摆放，则下列结论错误的是（ ）
A ．1135∠=︒
B ．2145∠=︒
C ．12∠=∠
D ．12270∠+∠=︒ 5．如果∠α和∠β互补，且∠α＜∠β，则下列表示∠α的余角的式子中：∠90°﹣∠α；∠∠β﹣90°；∠12（∠α+∠β）；∠12（∠β﹣∠α）．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 6．如图，点A 在点O 的北偏西60°的方向上，点B 在点O 的南偏东20°的方向上，那么AOB ∠的大小为（ ）
A ．110°
B ．130°
C ．140°
D ．150°
7．在如图所示的方位角中，射线OA 表示的方向是（ ）
A ．东偏南60°
B ．南偏东30°
C ．南偏东60°
D ．南偏西60°
8．如果一个角的余角等于这个角的补角的14
，那么这个角是（ ） A ．30 B ．45︒ C ．60︒ D ．75︒
9．如图，直线DE 与BC 相交于点O ，1∠与2∠互余，150BOE ∠=︒，则AOE ∠的度数是（ ）
A ．120︒
B ．130︒
C ．140︒
D ．150︒
10．已知∠AOB ＝70°，以O 为端点作射线OC ，使∠AOC ＝42°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．28° B ．112° C ．28°或112° D ．68°
二、填空题
11．将18.25°换算成度、分、秒的结果是__________．
12．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ∠AB ，垂足为O ，∠EOC =35°，则∠AOD 的度数为______．
13．如图，在渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时灯塔M 与渔船的距离是______海里．
14．如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1＝∠3，∠2＝55°，那么∠4＝_____度．
三、解答题
15．如图，AB CD ，连接CA 并延长至点H ，
CF 平分ACD ∠，CE CF ⊥，GAH ∠与AFC ∠互余．
(1)求证：AG CE ∥；
(2)若110GAF ∠=，求AFC ∠的度数．
16．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D
作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；
(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．
17．南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向以20海里/小时的速度前去拦截．问：经过多少小时，海监执法船恰好在C 处成功拦截．
18．如图，点O 是等边三角形ABC 内的一点，∠BOC ＝150°，将∠BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到∠ADC ，连接OD ，OA ．
(1)求∠ODC 的度数；
(2)试判断AD 与OD 的位置关系，并说明理由；
(3)若OB ＝2，OC ＝3，求AO 的长（直接写出结果）．
参考答案：
1．A
【分析】直接将180°减去∠α即可．
【详解】解：∠∠α=7622︒'，
∠∠α的补角为180180762210338α︒-∠=︒-︒'=︒'，
故选A ．
【点睛】本题考查了补角的定义，即如果两个角的和是180°，那么其中一个角就是另一个角的补角，因此，已知一个角，那么它的补角就等于180°减去这个已知角，解题的关键是牢记概念和公式等．
2．B
【分析】可先设这个角为∠α，则根据题意列出关于∠α的方程，问题可解
【详解】解：设这个角为∠α，依题意，
得180°-∠α+20°＝3（90°﹣∠α）
解得∠α＝35°．
故选B ．
【点睛】此题考查的两角互余和为90°，互补和为180°的性质，关键是根据题意列出方程求解．
3．D
【分析】根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：A 、图中∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，故本选项不符合题意；
B 、图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项错误；
C 、图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；
D 、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项正确．
故选：D ．
【点睛】本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
4．B
【分析】如图，根据一副三角板的特征可得∠3=∠4=45°，然后根据平角的定义可得∠1和∠2的度数，进而可排除选项．
【详解】解：如图，
由题意得：∠3=∠4=45°，
∠13180,24180∠+∠=︒∠+∠=︒，
∠12135∠=∠=︒，故A 、C 正确，B 错误；
∠12270∠+∠=︒，故D 正确；
故选B ．
【点睛】本题主要考查补角的性质及角的和差关系，熟练掌握补角的性质及角的和差关系是解题的关键．
5．C
【分析】由α∠和β∠互补，可得180αβ∠+∠=︒，即：180αβ=︒-∠，119022
αβ∠+∠=︒，再用不同的形式表示α∠的余角．
【详解】解：α∠和β∠互补， 180αβ∴∠+∠=︒，
180αβ∴∠=︒-∠，119022
αβ∠+∠=︒ 于是有：
α∠的余角为：90α︒-∠，故∠正确，
α∠的余角为：9090(180)90αββ︒-∠=︒-︒-∠=∠-︒，故∠正确，
α∠的余角为：1111902222
ααβαβα︒-∠=∠+∠-∠=∠-∠，故∠正确， 而1()902αβ∠+∠=︒，而α∠不一定是直角，因此∠不正确，
因此正确的有∠∠∠，
故选：C ．
【点睛】本题考查互为余角、互为补角的意义，熟悉利用等式的性质进行变形和整体代入的方法是解题的关键．
6．C
【分析】结合图形，然后求出OA 与西方的夹角的度数，再列式计算即可得解．
【详解】解：∠点A 在点O 北偏西60°的方向上，
∠OA 与西方的夹角为90°-60°=30°，
又∠点B 在点O 的南偏东20°的方向上，
∠∠AOB =30°+90°+20°=140°．
故选：C ．
【点睛】本题考查了方向角，熟记概念是解题的关键，结合图形更形象直观．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
7．C
【分析】表示OA 的方式有两种，东偏南30°；南偏东60°；作出判断即可.
【详解】根据题意，得表示OA 的方式有东偏南30°；南偏东60°两种，
故选C.
【点睛】本题考查了方位角的表示法，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键. 8．C
【分析】设这个角是x ︒，根据题意得190(180)4
x x -=-，解方程即可． 【详解】解：设这个角是x ︒，根据题意得
190(180)4
x x -=-， 解得x =60，
故选：C ．
【点睛】此题考查角度计算，熟练掌握一个角的余角及补角定义，并正确列得方程解决问题是解题的关键．
9．A
【分析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC 以及∠EOC 的度数，进而得出答案．
【详解】解：∠∠1与∠2互余，
∠1290∠+∠=︒，
∠90AOC ∠=°，
∠150BOE ∠=︒，
∠18015030EOC ∠=︒-︒=°，
∠9030120AOE AOC EOC ∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故选：A
【点睛】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．
10．C
【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．
【详解】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；
当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．
故选C．
【点睛】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．11．18°15′0″
【分析】根据将高级单位化为低级单位时，乘以60，即可求得答案．
【详解】18.25°=18°+0.25×60=18°15′0″，
故答案为18°15′0″．
【点睛】本题考查了度、分、秒的换算，掌握1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″是解题的关键．
12．125°
【分析】由两直线垂直，求得∠AOE=90°；由∠AOC与∠EOC互余，∠EOC=35°，即可得到∠AOC的度数；再由∠AOD与∠AOC互补，即可得出∠AOD的度数．
【详解】解：∠EO∠AB，
∠∠AOE=90°，
又∠∠EOC=35°，
∠∠AOC=∠AOE-∠EOC=90°-35°= 55°，
∠∠AOD=180°-∠AOC=180°-55°=125°，
故答案为：125°．
【点睛】本题主要考查补角、余角和垂直的定义．解题的关键是熟练利用补角、余角关系求角的度数．
13
．
【分析】过点B作BN∠AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长．
×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°．
【详解】解：由已知得，AB=1
2
过点B作BN∠AM于点N．
∠在直角∠ABN中，∠BAN=30°
AB=7海里．
∠BN=1
2
在直角∠BNM中，∠MBN=45°，
则直角∠BNM是等腰直角三角形．
即BN=MN=7海里，
∠BM=．
故答案为：
【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键．
14．55
【分析】根据余角的定义及等角的余角相等即可求解．
【详解】解：∠∠1与∠2互余，
∠∠1+∠2=90°，
∠∠3与∠4互余，
∠∠3+∠4=90°，
又∠1=∠3，
∠∠2=∠4=55°，
故答案为：55．
【点睛】本题考查了余角的定义及等角的余角相等等知识点，属于基础题，计算过程中细心即可．
15．(1)见解析
(2)20AFC ∠=︒
【分析】（1）根据角平分线得出ACF FCD ∠∠＝，利用平行线的性质可得AFC FCD ∠∠＝，然后利用各角之间的关系得出GAH ECA ∠∠＝，再由平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质得出HAF ACD ∠∠＝，GAH ECA ∠∠＝．结合图形利用各角之间的数量关系得出20∠︒＝FCD ，再由平行线的性质即可得出结果．
(1)
证明：∠CF 平分ACD ∠，
∠ACF FCD ∠∠＝．
∠AB ∠CD ，
∠AFC FCD ∠∠＝，
∠ACF AFC ∠∠＝，
∠GAH ∠与AFC ∠互余，即90GAH AFC ∠+∠︒＝，
∠90GAH ACF ∠+∠︒＝．
∠CE CF ⊥，
∠90ECF ECA ACF ∠∠+∠︒＝＝，
∠GAH ECA ∠∠＝，
∠AG ∠CE
(2)
解：∠AB ∠CD ，AG ∠CE ，
∠HAF ACD ∠∠＝，GAH ECA ∠∠＝．
∠HAF GAH ACD ECA ∠+∠∠+∠＝，即GAF ECD ∠∠＝．
∠110GAF ∠︒＝，
∠110ECD ∠︒＝．
∠90ECF ∠︒＝，
∠1109020FCD ECD ECF ∠∠∠︒︒＝－＝－＝．
∠AB ∠CD ，
∠20AFC ∠︒＝．
【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质及各角之间的等量代换，熟练掌握平行线的判定
和性质是解题关键．
16．(1)DE ，AE ；
(2)AC ．证明见详解．
【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；
（2）过D 作DE ∠直线l 于E ，先证∠MCA ∠∠AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证∠NGP ∠∠DEP （AAS ）即可．
（1）
解：∠(AAS)≌ABC DAE ，
∠AC =DE ，BC =AE ，
故答案为DE ，AE ；
（2）
证明：过D 作DE ∠直线l 于E ，
∠90MAN ∠=︒，
∠∠CAM +∠NAG =90°，
∠BM ∠l ，
∠∠MCA =90°，
∠∠M +∠CAM =90°，
∠∠M =∠NAG ，
∠NG l ⊥，
∠∠AGN =90°，
在∠MCA 和∠AGN 中，
MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠MCA ∠∠AGN （AAS ），
∠AC =NG ，
由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，
∠AC =DE ，
∠NG =DE ，
在∠NGP 和∠DEP 中，
90NGP DEP GPN EPD
NG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∠∠NGP ∠∠DEP （AAS ）
∠NP =DP ，
故答案为AC ．
【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键． 17
【分析】过点C 作CD ∠AB 交线段AB 延长线于点D ，证∠ACD 是等腰直角三角形，得AD ＝CD ，由勾股定理得AC
，AD ＝CD
，然后由AD −BD ＝AB 求出BD ，进而求出AC ，再利用路程＝速度×时间即可求解．
【详解】解：如图，过点C 作CD ∠AB 交线段AB 延长线于点D ，
∠∠BAC ＝75°−30°＝45°，
∠∠ACD 是等腰直角三角形，
∠AD ＝CD ，
∠AC
CD ，
∠∠DBC ＝∠BAE ＝90°−30°＝60°，
∠∠BCD ＝30°，
∠BC ＝2BD ，AD ＝CD =
， ∠AD −BD ＝AB ，
20BD -= 海里，
解得：BD ＝10)1 海里，
∠CD (30=+ 海里，
∠AC =（海里），
∠t ==
C 处成功拦截． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，勾股定理、等腰直角三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．(1)60°
(2)AD OD ⊥，见解析
(3)AO =
【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC 为等边三角形即可求解；
（2）将∠BOC 绕点C 按顺时针方向旋转一定的角度，得到∠ADC ，可知∠ADC =∠BOC =150°，即得∠ADO =∠ADC -∠ODC =90°，故AD ∠OD ；
（3）在Rt ∠AOD 中，由勾股定理即可求得AO 的长．
（1）
由旋转的性质得：CD CO =，OCB DCA ∠=∠．
∠ACO OCB ACO DCA ∠+∠=∠+∠，即ACB DCO ∠=∠．
∠ABC 为等边三角形，∠60ACB ∠=︒．
∠60DCO ∠=︒．∠OCD 为等边三角形，60ODC ∠=︒．
（2）
由旋转的性质得，150BOC ADC ∠=∠=︒．
∠60ODC ∠=︒，∠90ADO ADC ODC ∠=∠-∠=︒．
即AD OD ⊥．
（3）
由旋转的性质得，AD =OB =2，
∠∠OCD 为等边三角形，
∠OD =OC =3，
在Rt ∠AOD 中，由勾股定理得：
AO
【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状．。