精品解析：山西省实验中学2019-2020学年九年级上学期10月月考数学试题(解析版)

山西省实验中学
2019-2020学年第一学期九年级第一次阶段性测评
九年级数学
一、选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. x 2+2y ＝1
B. x 3﹣2x ＝3
C. x 2+21x ＝5
D. x 2＝0 【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A 、x 2+2y ＝1是二元二次方程，故A 错误；
B 、x 3﹣2x ＝3是一元三次方程，故B 错误；
C 、x 2+2
1x ＝5是分式方程，故C 错误； D 、x 2＝0是一元二次方程，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】本题考查了一 元二次方程的定义，掌握其定义 是解题的关键.
2.把一元二次方程x (x +1)＝3x +2化为一般形式，正确的是( )
A. x 2+4x +3＝0
B. x 2﹣2x +2＝0
C. x 2﹣3x ﹣1＝0
D. x 2﹣2x ﹣2＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
方程移项变形即可得到结果.
【详解】一元二次方程的一般形式为20ax bx c ++=
x(x+1)＝3x+2
x2+x﹣3x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣2＝0
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，难度较小.
3.下列说法中不正确的是（）
A. 四边相等的四边形是菱形
B. 对角线垂直的平行四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 菱形的邻边相等
【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的判定与性质即可得出结论.
【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．
4.一元二次方程2x2+x﹣3=0的根的情况是（）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：在方程2x 2+x ﹣3=0中，△=12﹣4×2×（﹣3）=25＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B ．
考点：根的判别式
5.如图，某农场拟建一间面积为200平方米的长方形种牛饲养室，饲养室一面靠墙（假设墙足够长）
，另三面用总长58米的建筑材料围成．若设该长方形垂直于墙的一边长为x 米，则下列方程正确的为（ ）
A. ()58200x x -=
B. ()29200x x -=
C. ()292200x x -=
D. ()582200x x -=
【答案】D
【解析】
【分析】 根据题意用含x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽列式.
【详解】解：∵垂直于墙的边长为xm ，
∴平行于墙的一边为（58-2x ）m ．
根据题意得：x （58-2x ）=200，
故选：D ．
【点睛】利用矩形的性质，正确理解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．
6.下列说法中，正确的有（ ）个.
①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边
形是菱形。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法对五个小项逐一进行分析，即可得到答案．
【详解】①对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①错误；
②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，此②正确；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形，故③错误；
④对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故④错误；
⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，故⑤正确.
故答案为：B
【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定．熟悉正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法是解题的关键.
7.如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 为斜边AB 上一动点，过点P 作PE AC ⊥于E ，PF BC ⊥于点F ，连结EF ，则线段EF 的最小值为（ ）
A. 24
B. 3.6
C. 4.8
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】 连接PC ，先证明四边形ECFP 是矩形，从而得EF=PC ，当CP ⊥AB 时，PC 最小，利用三角形面积解答即可． 详解】连接PC ，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°，∴四边形ECFP是矩形，
∴EF=PC，
∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∴PC的最小值为：AC BC
AB
=4.8．
∴线段EF长的最小值为4.8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．
8.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是（）
A. 小青
B. 小何
C. 小夏
D. 小雨
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得OA=OC，CD∥AB，从而得∠ACE=∠CAF，可判断出小雨的结论正确，证明
△EOC ≌△FOA ，可得OE=OF ，判断出小青的结论正确，由△EOC ≌△FOA 继而可得出S
四边形AFED =S 四边形FBCE ，判断出小夏的结论正确，由△EOC ≌△FOA 可得EC=AF ，继而可得出四边形DFBE 是平行四边形，从而可判断出四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，判断出故小何的结论错误即可.
【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA=OC ，CD ∥AB ，
∴∠ACE=∠CAF ，（故小雨的结论正确），
在△EOC 和FOA 中，
EOC AOF ECO OAF OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EOC ≌△FOA ，
∴OE=OF （故小青的结论正确），
∴S △EOC=S △AOF ，
∴S 四边形AFED =S △ADC =12
S 平行四边形ABCD ， ∴S 四边形AFED =S 四边形FBCE ，（故小夏的结论正确），
∵△EOC ≌△FOA ，
∴EC=AF ，∵CD=AB ，
∴DE=FB ，DE ∥FB ，
∴四边形DFBE 是平行四边形，
∵OD=OB ，EO ⊥DB ，
∴ED=EB ，
∴四边形DFBE 是菱形，无法判断是正方形，（故小何的结论错误），
故选B ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等，综合性较强，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
9.某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛( )
A. 10个
B. 6个
C. 5个
D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】 每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有x 个足球队，比赛场次共有()x x 1-场，再根据共有20场比赛活动来列出方程，从而求解．
【详解】解：设有x 个足球队参加，依题意，
()x x 120-=，
整理，得2x x 200--=，
()()x 5x 40-+=，
解得：1x 5=，2x 4(=-舍去)；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选：C ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10.若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为（ ）
A. 8
B. 7
C. 8或7
D. 9或8
【答案】C
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质可知“a ＝b ，或a 、b 中有一个数为4”，当a ＝b 时，由根的判别式b 2﹣4ac ＝0即可得出关于k 的一元一次方程，解方程可求出此时n 的值；a 、b 中有一个数为4时，将x ＝4代入到原方程可得出关于n 的一元一次方程，解方程即可求出此时的n 值，结合三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：∵等腰三角形三边长分别a 、b 、4，
∴a ＝b ，或a 、b 中有一个数为4．
当a ＝b 时，有b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，
解得：n ＝8；
当a 、b 中有一个数
4时，有42﹣6×4+n+1＝0，
解得：n ＝7，
故选：C ．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次方程以及三角形三边关系，解题的关键是分两种情况考虑k 值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出关于未知数k 的方程是关键．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11.已知关于x 的方程x 2﹣2x +2k ＝0的一个根是1，则k ＝_____． 【答案】12
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x 的方程，列出关于k 的一元一次方程，通过解该方程，即可求得k 的值．
【详解】根据题意，得
x=1满足关于x 的方程x 2-2x+2k=0，则
1-2+2k=0，
解得，k=
12
； 故答案是：12．
12.分解因式：3223363a b a b ab -+=________.
【答案】23()ab a b -.
【解析】
【分析】
首先提取公因式3ab ，再运用完全平方公式继续进行因式分解．
【详解】解：3223363a b a b ab -+=223(2)ab a ab b -+=23()ab a b -
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式．掌握完全平方公式的特点：两个平方项，中间一项是两个底数的积的2倍，难点在于要进行二次因式分解．
13.把方程x 2﹣4x +1＝0化成（x ﹣m ）2＝n 的形式，m ，n 均为常数，则mn 的值为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】
方程配方得到结果，确定出m 与n 的值，即可求出mn 的值．
【详解】解：方程x 2﹣4x +1＝0，变形得：x 2﹣4x ＝﹣1，
配方得：x 2﹣4x +4＝3，即（x ﹣2）2＝3，
∴m ＝2，n ＝3，
则mn ＝6，
故答案为：6
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14.如果关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围为______.
【答案】3m <且2m ≠
【解析】
【分析】
根据根的判别式即可求出答案．
【详解】∵关于x 的一元二次方程()2
2210m x x -++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4（m ﹣2）＞0，∴m ＜3．
∵m ﹣2≠0，∴m ≠2．
故答案为：m ＜3且m ≠2．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．
15.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△BAD 和△ACD 的高，得到下列四个结论：①OA ＝OD ；②AD ⊥EF ；③当∠A ＝90°时，四边形 AEDF 是正方形；④AE +DF ＝AF +DE ．其中正确的是_________（填序号）．
【答案】②③④．
【解析】
【分析】
①如果OA=OD ，则四边形AEDF 是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确；
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED ≌△AFD ，AE=AF ，DE=DF ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO ，即可判断出AD ⊥EF ；
③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF 的四个角都是直角，四边形AEDF 是矩形，然后根据DE=DF ，判断出四边形AEDF 是正方形即可；
④根据△AED ≌△AFD ，判断出AE=AF ，DE=DF ，即可判断出AE+DF=AF+DE 成立．
【详解】如果OA=OD ，则四边形AEDF 是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误；
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD ，
在△AED 和△AFD 中，
90EAD FAD AED AFD AD AD ∠∠∠∠︒⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝＝
∴△AED ≌△AFD （AAS ），
∴AE=AF ，DE=DF ，
∴AE+DF=AF+DE ，故④正确；
∵在△AEO 和△AFO 中，
AE AF EAO FAO AO AO ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△AEO ≌△AFO （SAS ），
∴EO=FO ，
又∵AE=AF ，
∴AO 是EF 的中垂线，
∴AD ⊥EF ，故②正确；
∵当∠A=90°时，四边形AEDF 的四个角都是直角，
∴四边形AEDF 是矩形，
又∵DE=DF ，
∴四边形AEDF 是正方形，故③正确．
综上可得：正确的是：②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握．
三、解答题（共7小题，满分6分）
16.解方程（按要求方法解方程，否则不得分，没有要求的请用适当的方法解方程）
（1）()229x -=（直接开方法） （2）2660x x -+=（配方法）
（3）23125x x -=+（公式法） （4）()()3222x x x -=-（因式分解法）
（5）()()215140x x ---+= （6）22122x x x
-=--
【答案】（1）15=x ，21x =-；（2）13x =23x =（3）113x +=，213x -= （4）12x =，223
x =-；（5）12x =，25x =；（6）4x =- 【解析】
【分析】
（1）用直接开平方法解答即可；
（2）用配方法解答即可；
（3）化为一般形式，用公式法解答即可；
（4）移项后用因式分解法解答即可；
（5）用因式分解法解答即可；
（6）去分母化为整式方程，求解即可．
【详解】（1）x -2=±3，∴x =2±3，∴15=x ，21x =-；
（2）266x x -=-，26969x x -+=-+，2
(3)3x -=，∴3x -=13x =23x = （3）整理得：23260x x --=，a =3，b =－2，c =－6，∴△=2(2)43(6)--⨯⨯-=76＞0，
∴x =2163±=，∴113x +=，213
x =； （4）()()32220x x x ---=，()()32220x x x -+-=，∴（3x +2）（x －2）=0，∴12x =，223
x =-； （5）(11)(14)0x x ----=，(2)(5)0x x --=，∴12x =，25x =； （6）两边同乘以（x -2）得：2x +2=x －2，移项得：2x －x =－2－2，合并同类项得：x =－4．经检验：x =－4是原方程的解．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法以及解分式方程．熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
17.先化简，后求值2211121a a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中1a =.
【答案】3 【解析】 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可.
【详解】原式()()211111(1)a a a a a a a +-+⎛⎫=-÷ ⎪+++⎝⎭ 1111
a a a +=⋅+- 11
a =-. 当31a =+时，原式33113
===+-. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
18.如图，在四边形ABCD 中，//, 2,90AD BC BC AD BAC ︒=∠=,点E 为BC 的中点.
(1)求证:四边形AECD 是菱形;
(2)联结BD ,如果BD 平分,2ABC AD ∠=， 求BD
长. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】
【分析】
（1）根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.
（2）此题有两种解决方法，方法一：证明四边形ABCD 是等腰梯形，方法二：证明∠BDC 为直角.
【详解】（1）证明:90BAC ︒∠=，点E 为BC 的中点，12
AE EC BC ∴==
12, , 2BC AD AD BC AD EC =∴=
∴=， 又//,AD BC ∴四边形AECD 是平行四边形
AE EC ∴=,∴四边形AECD 是菱形
（2）解:方法一//,AD BC AD BC <∴四边形ABCD 是梯形. BD 平分1,2
ABD ABD DBC ABC ∠∴∠=∠=∠ //,,AD BC ADB DBC ∴∠=∠,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=
四边形AECD 是菱形，2AD DC ∴==.
2AB DC ∴==
∴四边形ABCD 是等腰梯形，AC BD ∴=
24,BC AD ∴==
BD AC ∴====方法二：BD 平分1,2
ABD ABD DBC ABC ∠∴∠=∠=∠ //,,AD BC ADB DBC ∴∠=∠,ABD ADB AB AD ∴∠=∠∴=
224,30BC AD AB ACB ∴===∴∠=
18060ABC ACB ∴∠=-∠=，即1302
DBC ABC ∠=∠=， 四边形AECD 是菱形，2,AD DC DAC DCA ∴==∴∠=∠
//,AD BC DAC ACB ∴∠=∠，即30DCA DAC ACB ∠=∠=∠=，
18090BDC DBC DCA ACB ∴∠=-∠-∠-∠=
BD ∴===【点睛】此题考查菱形的判定与性质，解题关键在于结结合题意运用菱形的判定与性质即可.
19.阳光小区附近有一块长100m ，宽80m 的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，设步道的宽为()a m ，求步道的宽.
【答案】3.6
【解析】
【分析】
根据“两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等”列出方程，求解即可．
【详解】由题意，得：
()22100807a a a a +-=
化简，得：2 3.6a a =．
∵0a >，∴ 3.6a =．
答：步道的宽为3.6m ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-几何问题，解题的关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
20.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE AC ，AE BD .
（1）求证：四边形AODE 是矩形；
（2）若2AB =，1DE =，求四边形AODE 的面积.
【答案】（1）详见解析；（23
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定定理得四边形AODE 为平行四边形，再根据菱形的性质得出AC ⊥BD ，由矩形的判定定理得出四边形AODE 是矩形；
（2）由矩形的性质，得出OA =DE =1．在Rt △AOB 中，由勾股定理得出OB 的长，由菱形的性质得出OD 的长，即可求出四边形AODE 的面积．
【详解】（1）∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形．
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD =90°，∴四边形AODE 是矩形；
（2）∵四边形AODE 是矩形，∴AO =DE =1．
∵AB =2，AC ⊥BD ，∴OB =
∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB =AODE 的面积=OA •OD =
【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
21.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？
【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．
【解析】
【分析】
（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：
（400﹣x ﹣240）（200+10
x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．
解得：x1=30，x2=80．
答：每千克茶叶应降价30元或80元．
（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．
此时，售价为：400﹣80=320（元），320
100%80% 400
⨯=．
答：该店应按原售价的8折出售．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
22.在平面直角坐标系xOy中，四边形OADC为正方形，点D的坐标为()
4,4，动点E沿边AO从A向O 以每秒1cm的速度运动，同时动点F沿边OC从O向C以同样的速度运动，连接AF、DE交于点G.
（1）试探索线段AF、DE的关系，写出你的结论并说明理由；
（2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图①中补全图形，并说明理由.
（3）如图②当点E运动到AO中点时，点M是直线EC上任意一点，点N是平面内任意一点，是否存在点N使以O、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）AF=DE，AF⊥DE，理由详见解析；（2）四边形HIJK为正方形，理由详见解析；（3）N的坐
标为（2，－1），（
85
5
-，
5
5
），（
85
5
，
45
5
-），（
8
5
，
16
5
）．
【解析】
【分析】
（1）用SAS证明△DAE≌△AOF，根据全等三角形的性质得到DE=AF，∠ADE=∠OAF．根据等式的性质得到∠AGD=90°，从而得到AF⊥DE．
（2）根据三角形中位线定理得到IH=KJ=1
2
AF，IH∥KJ，得到四边形HIJK为平行四边形，同理IJ=
1
2
DE，
IJ∥DE，从而得到IJ=IH，IJ⊥IH，即可证明HIJK为正方形．
（3）要求O、C、M、N四点构成菱形，OC为唯一已知线段，对OC的角色进行讨论：OC为对角线或OC 为边．
当OC为对角线时，此时MN也为对角线，MN垂直平分OC，则M为OC中垂线与直线EC交点，可得M1的坐标，由对称可得此时N1的坐标．
当OC为边时，考虑M的位置，M与O相邻或者与C相邻．
Ⅰ．若M与C相邻，CM=CO=4，此时以C为圆心，OC长为半径作圆与直线EC交点即为M2和M3，过M2作M2P⊥OC于点P，得到OE∥PM2，即有△OEC∽△PM2C．根据相似三角形的对应边成比例，即可求出PM2，PC的长，进而得到OP的长．由N2M2∥OC，N2M2=OC，即可得到N2的坐标，由N3和N2关于原点对称，可得N3的坐标；
Ⅱ．若M与O相邻，OM=OC=4此时以O为圆心，OC长为半径作圆与直线EC交点即为M4．求出直线EC 的解析式，则可得出M4的坐标，由OM4=4，解方程即可得出M4的坐标，从而得出N4的坐标．
【详解】（1）AF=DE，AF⊥DE．理由如下：
∵E、F速度相等，∴AE=OF．
∵OADC是正方形，∴AD=OA，∠DAE=∠AOF=90°，∴△DAE≌△AOF（SAS），∴DE=AF，∠ADE=∠OAF．∵∠OAF+∠DAF=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE，∴AF=DE，AF⊥DE．
（2）四边形HIJK为正方形．理由如下：
由（1）知：AF=DE，AF⊥DE．
∵HI是△AEF的中位线、JK是△AFD的中位线，∴IH=1
2
AF，IH∥AF，KJ=
1
2
AF，KJ∥AF，∴IH=KJ，IH∥KJ，
∴四边形HIJK为平行四边形，同理IJ=1
2
DE，IJ∥DE．
∵AF=DE，AF⊥DE，∴IJ=IH，IJ⊥IH，∴四边形HIJK为正方形．
（3）N 的坐标为（2，－1），（8545），85，45），（85，165）． 要求O 、C 、M 、N 四点构成菱形，OC 为唯一已知线段，对OC 的角色进行讨论：OC 为对角线或OC 为边． 当OC 为对角线时，此时MN 也为对角线，MN 垂直平分OC ，则M 为OC 中垂线与直线EC 交点，可得M 1（2，1）由对称可得此时N 1（2，－1）．
②当OC 为边时，考虑M 的位置，M 与O 相邻或者与C 相邻．
Ⅰ．若M 与C 相邻，CM =CO =4，此时以C 为圆心，OC 长为半径作圆与直线EC 交点即为M 2和M 3，过M 2作M 2P ⊥OC 于点P ，∴OE ∥PM 2，∴△OEC ∽△PM 2C ．
∵OE =2，OC =4，∴EC =25
∵△OEC ∽△PM 2C ，∴22OE EC OC PM M C PC ==，∴222544PM PC ==，解得：PM 245，PC 85，∴OP =OC －PC =854． ∵N 2M 2∥OC ，N 2M 2=OC ，∴N 2（8545），易证N 3和N 2关于原点对称，∴N 385，45）． Ⅱ．若M 与O 相邻，OM =OC =4此时以O 为圆心，OC 长为半径作圆与直线EC 交点即为M 4．
设直线EC 为y =kx +b ，∴240b k b =⎧⎨+=⎩，解得：122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线EC 为122y x =-+． 设M 4（x ，122x -+），则2
22241242OM x x ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭，解得：10x =，2125x =-，∴M 4（125-，165），
∴N4（8
5
，
16
5
）．
综上所述：N的坐标为（2，－1），（8545
），
85
，
45
），（
8
5
，
16
5
）．
【点睛】本题是四边形综合题．考查了正方形的判定与性质、菱形的判定和三角形中位线定理．第（3）问难度比较大．关键是准确找出M、N的位置．
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