(某某市县区)初中八年级下学期数学质量监测考试试题卷(附答案详解)

（某某市县区）初中八年级下学期数学质量监测考试
试题卷（附答案详解）
一、选择题（本大题共12小题，每题4分，共48分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）
3．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．3、4、5B．5、12、13C．D．4、5、6
4．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）
甲乙丙丁
24242320
S2 1.9 2.12 1.9 A．甲B．乙C．丙D．丁
5．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积比是（）
A．25：9B．9：4C．25：3D．5：3
6．用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，下列变形中正确的是（）
A．（x﹣4）2＝16+3B．（x+4）2＝16+3
C．（x+8）2＝﹣3+64D．（x﹣8）2＝3+64
7．下列说法错误的是（）
A．平行四边形对边平行且相等
B．菱形的对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形有四条对称轴
8．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（）
A．a＜4B．a≤4C．a＜4且a≠0D．a≤4且a≠0
9．AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t （h）的关系如图所示，则甲出发（）小时后与乙相遇．
A．1.5B．2C．2.5D．3
10．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB 的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
11．若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）
A．23B．25C．27D．28
12．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB+CB的最小值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
13．计算：＝．
14．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x增大而减小，则直线：y＝﹣kx+k不经过第象限．15．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为．
16．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2+bm+c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有（填序号）．
17．如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为．
18．某手机生产商将推手机生产工作交由旗下A、B、C三个工厂完成，A、B两个工厂有半自动、全自动、外包三种生产方式，C工厂只有半自动一种生产方式，且三个工厂同种生产方式每天的生产量相等，全自动每天的生产量是外包每天的生产量的2.5倍，B、C两工厂生产总量相等，均比A厂多40%，A厂用3天进行半自动生产，2天进行全自动生产，1天进行外包生产完成全部工作；B厂用2天进行半自动生产，3天进行全自动生产，2天进行外包生产完成全部工作；则C厂需要天生产完成全部工作．三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣6＝0；
（2）计算：．
20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD 于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．
四、解答题(本大题5个小题，每小题10分，共50分)
21．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级七年级八年级
平均数8.58.5
中位数a9
众数8b
优秀率45%55%
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝；b＝；
（2）估计该校七年级20名教师中竞赛成绩达到8分以上人数．
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下
列各小题．
x…﹣4﹣3﹣2﹣1012345…
y…6a0﹣1.5﹣2﹣1.5020b…
（1）表中a＝；b＝；
（2）根据表中的数据画出该函数的大致图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质．
（3）已知直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当y1＞y2时直接写出x的取值范
围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
23．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周
推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
24．（10分）一个三位自然数a，满足各数位上的数字之和不超过10，我们称这个数为“完美数”．将“完美数”a的个位数字与百位数字交换得到一个新数b，记G（a）＝．例如：a＝125，因为1+2+5＝8＜10，所以a为“完美数”，交换其个位数字和百位数字后得到b＝521，G（125）＝＝﹣36．（1）判断236是不是“完美数”，计算G（321）；
（2）已知两个“完美数”m＝100a+10b+2，n＝100c+30+d（0≤b＜a≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a、b、c、d为整数），若G（m）能被7整除，G（m）+G（n）＝18（d﹣2），求n．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
五、解答题:(本大题1个小题，共8分)
26．（8分）已知四边形ABCD是平行四边形，在△AEF中，点E、F是动点，AE＝EF，∠AEF＝90°．
（1）如图1，当点F于点B重合时，连接CE交AB于点G，连接AC，若AB＝BC，∠BAD＝120°，BE＝2，求点E到BC的距离；
（2）如图2，当点F在AB延长线上时，将△AEF绕着点A逆时针旋转得到△AE′F′，使点F′落在CD边上，点E′在平行四边形ABCD的内部，过点C作CH⊥CD，连接CH、DH，若AF′＝DH，∠AF′D＝∠H，求证：2BE′+CH＝CD；
（3）如图3，AB＝BC，∠BAD＝120°，AB＝2，点F从B点出发沿射线BC运动，求运动过程中（DE+AE）2的最小值．
（某某市县区）初中八年级下学期数学质量监测考试
试题卷（附答案详解）
一、选择题（本大题共12小题，每题4分，共48分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件进行判断即可．
【解答】解：是最简二次根式；
＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
被开方数含分母，不是最简二次根式，
故选：A．
2．将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得到新抛物线的顶点坐标是（）A．（2，4）B．（﹣1，1）C．（5，1）D．（2，﹣2）
【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2+1向上平移3个单位，得y＝（x﹣2）2+1+3，即y＝（x﹣2）2+4，顶点坐标为（2，4），
故选：A．
3．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．3、4、5B．5、12、13C．D．4、5、6
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长的边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A、（3）2+（4）2＝（5）2，则能组成直角三角形，故此选项不合题意；
B、52+122＝132，则能组成直角三角形，故此选项不合题意；
C、（）2+（）2＝（）2，则能组成直角三角形，故此选项不合题意；
D、42+52≠62，则不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示．今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（）
甲乙丙丁
24242320
S2 1.9 2.12 1.9
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，据此求解即可．【解答】解：∵甲的平均数最大，方差最小，最稳定．
∴应选的品种是甲．
故选：A．
5．如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA'：OA'＝2：3，则△ABC的面积与△A'B'C'的面积比是（）
A．25：9B．9：4C．25：3D．5：3
【分析】根据位似变换的性质得到△A'B'C'∽△ABC，A'B'∥AB，进而得到△OA'B'∽△OAB，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，
∴△A'B'C'∽△ABC，A'B'∥AB，
∴△OA'B'∽△OAB，
∴＝＝，
∴＝（）2＝，
故选：A．
6．用配方法解一元二次方程x2+8x﹣3＝0，下列变形中正确的是（）
A．（x﹣4）2＝16+3B．（x+4）2＝16+3
C．（x+8）2＝﹣3+64D．（x﹣8）2＝3+64
【分析】方程移项后，利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x﹣3＝0，
移项得：x2+8x＝3，
配方得：x2+8x+16＝16+3，即（x+4）2＝16+3．
故选：B．
7．下列说法错误的是（）
A．平行四边形对边平行且相等
B．菱形的对角线平分一组对角
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形有四条对称轴
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．
【解答】解：A、平行四边形对边平行且相等，是真命题；
B、菱形的对角线平分一组对角，是真命题；
C、矩形的对角线互相相等，原命题是假命题；
D、正方形有四条对称轴，是真命题；
故选：C．
8．已知二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（）
A．a＜4B．a≤4C．a＜4且a≠0D．a≤4且a≠0
【分析】由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+4x+1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
9．AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离s（km）与时间t （h）的关系如图所示，则甲出发（）小时后与乙相遇．
A．1.5B．2C．2.5D．3
【分析】根据题意结合图象分别求出甲减速后的速度已经乙的速度，再列方程解答即可．
【解答】解：甲减速后的速度为：（20﹣8）÷（4﹣1）＝4（km/h），
乙的速度为：20÷5＝4（km/h），
设甲出发x小时后与乙相遇，根据题意得
8+4（x﹣1）+4x＝20，
解得x＝2．
即甲出发2小时后与乙相遇．
故选：B．
10．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB 的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
11．若整数a使得关于x的方程2﹣＝的解为非负数，且使得关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（）
A．23B．25C．27D．28
【分析】表示出分式方程的解，根据解为非负数确定出a的范围，表示出不等式组的解集，由解集中至少有3个整数解，确定出a的范围，进而求出a的具体范围，确定出整数a的值，求出之和即可．【解答】解：分式方程去分母得：2（x﹣2）﹣3＝﹣a，
整理得：2x﹣4﹣3＝﹣a，
解得：x＝，
∵分式方程的解为非负数，且a为整数，
∴≥0且≠2，即a≤7且a≠3，
不等式组整理得：，即﹣2＜y≤a，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴a≥1，
综上，a的范围为1≤a≤7，即a＝1，2，4，5，6，7，
则满足条件的a之和为1+2+4+5+6+7＝25．
故选：B．
12．如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线上一动点，将点A向右平移1个单位得到点B，点C（1，0），则OB+CB的最小值为（）
A．B．C．D．
【分析】设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，根据题意OE就是OB+CB的最小值，由直线的解析式求得F的坐标，进而求得ED的长，从而求得OS和ES，然后根据勾股定理即可求得OE．
【解答】解：设D（﹣1，0），作D点关于直线的对称点E，连接OE，交直线于A，连接AD，ED，作ES⊥x轴于S，
∵AB∥DC，且AB＝OD＝OC＝1，
∴四边形ABOD和四边形ABCO是平行四边形，
∴AD＝OB，OA＝BC，
∴AD+OA＝OB+BC，
∵AE＝AD，
∴AE+OA＝OB+BC，
即OE＝OB+BC，
∴OB+CB的最小值为OE，
由可知∠AFO＝30°，F（﹣4，0），
∴FD＝3，∠FDG＝60°，
∴DG＝DF＝，
∴DE＝2DG＝3，
∴ES＝DE＝，DS＝DE＝，
∴OS＝，
∴OE＝＝，
∴OB+CB的最小值为，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
13．计算：＝．
【分析】根据负整数指数幂、去绝对值及二次根式化简的法则，计算即可得到答案．
【解答】解：＝﹣3+3﹣+2＝，
故答案为：．
14．已知正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x增大而减小，则直线：y＝﹣kx+k不经过第二象限．【分析】根据正比例函数的图象和性质得出k的取值范围，再根据k的取值和一次函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x增大而减小，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
即直线：y＝﹣kx+k中的﹣k＞0，k＜0，
因此直线经过一、三、四象限，不过第二象限，
故答案为：二．
15．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为2．
【分析】设AE＝x，则BE＝10﹣x，由勾股定理得AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，DE2+CE2＝CD2，则AD2+AE2+BC2+BE2＝CD2，即42+x2+42+（10﹣x）2＝102，解得：x＝2或x＝8（舍去），则AE＝2，然后由勾股定理即可求解．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠A＝∠B＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴AD2+AE2+BC2+BE2＝CD2，
即42+x2+42+（10﹣x）2＝102，
解得：x＝2或x＝8（舍去），
∴AE＝2，
∴DE＝＝＝2，
故答案为：2．
16．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2+bm+c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有①④⑤（填序号）．
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣3，﹣6），
∴当x＝﹣3时，y最小值＝﹣6，
∴对于任意的x＝m，其函数值y＝am2+bm+c≥﹣6，
因此①正确；
∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
因此②不正确；
∵点（），（，y2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
因此③不正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，﹣4），由对称轴为x＝﹣3，根据对称性可知，抛物线y＝ax2+bx+c还过点（﹣5，﹣4），
∴当y＝﹣4时，即方程ax2+bx+c＝﹣4有两个不相等的实数根﹣1和﹣5，
因此④正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣3，
∴b﹣6a＝0，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有①④⑤，
故答案为：①④⑤．
17．如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为 3.6．
【分析】首先通过HL证明Rt△ABE≌Rt△AFB，得BE＝EF，同理可得：DG＝FG，设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理列方程求出BE＝2，S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC代入计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∵将AB边沿AE折叠到AF，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△AFB中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AFB（HL），
∴BE＝EF，
同理可得：DG＝FG，
∵点G恰为CD边中点，
∴DG＝FG＝3，
设BE＝x，则CE＝6﹣x，EG＝3+x，
在Rt△CEG中，由勾股定理得：
（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2，
∴BE＝EF＝2，CE＝4，
∴S△CEG＝×4×3＝6，
∵EF：FG＝2：3，
∴S△EFC＝×6＝，
∴S△AFC＝S△AEC﹣S△AEF﹣S△EFC
＝×4×6﹣×2×6﹣
＝12﹣6﹣
＝3.6．
故答案为：3.6．
18．某手机生产商将推手机生产工作交由旗下A、B、C三个工厂完成，A、B两个工厂有半自动、全自动、外包三种生产方式，C工厂只有半自动一种生产方式，且三个工厂同种生产方式每天的生产量相等，全自动每天的生产量是外包每天的生产量的2.5倍，B、C两工厂生产总量相等，均比A厂多40%，A厂用
3天进行半自动生产，2天进行全自动生产，1天进行外包生产完成全部工作；B厂用2天进行半自动生产，3天进行全自动生产，2天进行外包生产完成全部工作；则C厂需要21天生产完成全部工作．【分析】设外包每天的生产量为a，半自动每天的生产量是b，则全自动每天的生产量是2.5a；利用A厂用3天进行半自动生产，2天进行全自动生产，1天进行外包生产完成全部工作可得A厂的工作量；利用B厂用2天进行半自动生产，3天进行全自动生产，2天进行外包生产完成全部工作可得B厂的工作量；
利用B、C两工厂生产总量相等，均比A厂多40%，可得C厂的生产量和a，b的数量关系；设C厂完成全部工作需m天，列出方程即可得出结论．
【解答】解：设外包每天的生产量为a，半自动每天的生产量是b，则全自动每天的生产量是2.5a，则A厂的工作量为：2×2.5a+3b+a＝6a+3b，
B厂的工作量为：3×2.5a+2b+2a＝9.5a+2b．
∵B厂生产总量比A厂多40%，
∴9.5a+2b＝（1+0.4）（6a+3b）．
∴a＝2b．
∴B厂的工作量为：9.5a+2b＝21b．
设C厂完成全部工作需m天，
∵B、C两工厂生产总量相等，C工厂只有半自动一种生产方式，
∴mb＝21b，
∴m＝21．
故答案为：21．
三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）（1）用公式法解方程：x2﹣2x﹣6＝0；
（2）计算：．
【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，进而代入求根公式求出解即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣6）＝4+24＝28＞0，
∴x＝＝＝1±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）原式＝÷
＝•
＝﹣x．
20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD 于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．
【分析】（1）延长CB到E使CE＝CD，然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F；
（2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，则CE＝AB，再证明∠ABF＝∠F得到AB＝AF，然后证明BE＝DF，从而可判断四边形BEDF为平行四边形．
【解答】（1）解：如图，DE、BF为所作；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，
∵CE＝CD，
∴CE＝AB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AF∥BC，
∴∠CBF＝∠F，
∴∠ABF＝∠F，
∴AB＝AF，
∴CE＝AF，即CB+BE＝AD+DF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF为平行四边形．
四、解答题(本大题5个小题，每小题10分，共50分)
21．（10分）2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀），相关数据统计、整理如下：
抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分）：
6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
七八年级教师竞赛成绩统计表
年级七年级八年级
平均数8.58.5
中位数a9
众数8b
优秀率45%55%
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：a＝8；b＝9；
（2）估计该校七年级20名教师中竞赛成绩达到8分以上人数．
（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．
【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值．
（2）计算出成绩达到8分及以上的人数的频率即可求解．
（3）根据优秀率进行评价即可．
【解答】解：（1）∵七年级教师的竞赛成绩：6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．
∴中位数a＝8．
根据扇形统计图可知D类是最多的，故b＝9．
故答案为：8；9．
（2）该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数估计为×100%×120＝102（人）．
（3）根据表中可得，七八年级的优秀率分别是：45%、55%．
故八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异．
22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程，以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下
列各小题．
x…﹣4﹣3﹣2﹣1012345…
y…6a0﹣1.5﹣2﹣1.5020b…
（1）表中a＝ 2.5；b＝﹣2；
（2）根据表中的数据画出该函数的大致图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质．
（3）已知直线的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当y1＞y2时直接写出x的取值范
围．（保留1位小数，误差不超过0.2）
【分析】（1）根据解析式计算即可；
（2）利用描点法画出函数图象，观察图象可得函数的一条性质．
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y1＝×（﹣3）2﹣2＝2.5，
∴a＝2.5，
当x＝5时，y1＝2﹣2×|5﹣3|＝﹣2，
∴b＝﹣2，
故答案为：2.5，﹣2；
（2）画出函数图象如图所示：
由图象得：x＜0时，y随x的增大而减小；
（3）画出直线的图象如图所示，
由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣2或1.5＜x＜5．
23．（10分）火锅是重庆人民钟爱的美食之一，解放碑某老火锅店为抓住“五一”这个商机，于四月第一周推出了A、B两种火锅套餐，5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，其中A套餐比B套餐每盒贵20元．
（1）求A套餐的售价是多少元；
（2）第一周A套餐的销售量为800桌，B套餐的销售量为1300桌，为了了解市场，第二周时，A套餐的销售价格比第一周的价格下调a%，销售量比第一周的销售量增加了a%，B套餐的销售价格比第一周的价格下调了a%，销售量比第一周的销量增加了140桌，最终第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，求a的值．
【分析】（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，根据5桌A套餐与10桌B套餐的总售价为1600元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据销售总额＝销售单价×销售数量，结合第二周A套餐的销售总额比B套餐的销售总额少了48000元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设A套餐的售价是x元，则B套餐的售价是（x﹣20）元，
依题意得：5x+10（x﹣20）＝1600，
解得：x＝120．
答：A套餐的售价是120元．
（2）依题意得：（120﹣20）（1﹣a%）×（1300+140）﹣120（1﹣a%）×800（1+a%）＝48000，
整理得：3.2a2﹣80a＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
24．（10分）一个三位自然数a，满足各数位上的数字之和不超过10，我们称这个数为“完美数”．将“完
美数”a的个位数字与百位数字交换得到一个新数b，记G（a）＝．例如：a＝125，因为1+2+5＝8＜10，所以a为“完美数”，交换其个位数字和百位数字后得到b＝521，G（125）＝＝﹣36．（1）判断236是不是“完美数”，计算G（321）；
（2）已知两个“完美数”m＝100a+10b+2，n＝100c+30+d（0≤b＜a≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，a、b、c、d为整数），若G（m）能被7整除，G（m）+G（n）＝18（d﹣2），求n．
【分析】（1）由2+3+6＝11＞10可知236不是“完美数”，G（321）＝＝18；
（2）G（m）+G（n）＝+＝+＝（9a﹣18）+（9c﹣9d）＝9（a+c﹣d﹣2）＝18（d﹣2），可得a+c＝3d﹣2，又G（m）＝是整数且0≤b＜a≤9，可得满足条件的a只有2或9，当a＝9时，m不是“完美数”；当a＝2时，m可以是“完美数”．当a＝2时，得2+c＝3d﹣2，即4+c＝3d，又由0≤c≤9，0≤d≤9可得，，．因为n是完美数，所以必须满足c+3+d≤10，即c+d≤7，则只有c＝2，d＝2满足要求．所以当
c＝2，d＝2时，n＝100×2+30+2＝232．
【解答】解：（1）∵2+3+6＝11＞10，
∴236不是“完美数”，
∴G（321）＝＝18；
（2）∵G（m）+G（n）
＝+
＝+
＝（9a﹣18）+（9c﹣9d）
＝9（a+c﹣d﹣2）
＝18（d﹣2），
可得a+c＝3d﹣2，
又∵G（m）＝是整数且0≤b＜a≤9，
可得满足条件的a只有2或9，
当a＝9时，m不是“完美数”；
当a＝2时，m可以是“完美数”．
当a＝2时，得2+c＝3d﹣2，
即4+c＝3d，
又由0≤c≤9，0≤d≤9，
可得，，．
∵n是完美数，
∴必须满足c+3+d≤10，
即c+d≤7，
∴只有c＝2，d＝2满足要求．
当c＝2，d＝2时，n＝100×2+30+2＝232．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；
（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【分析】（1）利用待定系数法将A（0，﹣1），B（4，1）代入y＝x2+bx+c，即可求得答案；
（2）先运用待定系数法求出AB的函数表达式，设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，根据点E在直线y ＝x﹣1上，PE∥x轴，可得出PE＝﹣2（t﹣2）2+8，再根据△PDE∽△AOC，即可得到△PDE的周长l＝﹣（t﹣2）2++8，运用二次函数最值方法即可求出答案；
（3）分两种情况：①若AB是平行四边形的对角线，②若AB是平行四边形的边，分别进行讨论即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）如图1，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，
∵A（0，﹣1），B（4，1），
∴，
解得：，
∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1，
令y＝0，得x﹣1＝0，
解得：x＝2，
∴C（2，0），
设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，
∵点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，
∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，
∴x＝2t2﹣7t，
∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），
∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，
∵PD⊥AB，
∴∠AOC＝∠PDE＝90°，
又∵PE∥x轴，
∴∠OCA＝∠PED，
∴△PDE∽△AOC，
∵AO＝1，OC＝2，
∴AC＝，
∴△AOC的周长为3+，
令△PDE的周长为l，则＝，
∴l＝•[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，
∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值，最大值为+8．
此时，点P的坐标为（2，﹣4）．
（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．
由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x，对称轴为直线x＝2，①若AB是平行四边形的对角线，
当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，
即MN经过AB的中点C（2，0），
∵点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2，
∴点M的坐标为（2，﹣4），
②若AB是平行四边形的边，
Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，四边形ABNM是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2﹣4＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣2，12）；
Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，四边形ABMN是平行四边形，
∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，
∴点M的横坐标为2+4＝6，
∴点M的坐标为（6，12）；
综上所述，点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．
五、解答题:(本大题1个小题，共8分)
26．（8分）已知四边形ABCD是平行四边形，在△AEF中，点E、F是动点，AE＝EF，∠AEF＝90°．（1）如图1，当点F于点B重合时，连接CE交AB于点G，连接AC，若AB＝BC，∠BAD＝120°，BE＝2，求点E到BC的距离；
（2）如图2，当点F在AB延长线上时，将△AEF绕着点A逆时针旋转得到△AE′F′，使点F′落在CD边上，点E′在平行四边形ABCD的内部，过点C作CH⊥CD，连接CH、DH，若AF′＝DH，∠AF′D＝∠H，求证：2BE′+CH＝CD；
（3）如图3，AB＝BC，∠BAD＝120°，AB＝2，点F从B点出发沿射线BC运动，求运动过程中（DE+AE）2的最小值．
【分析】（1））如图，过点E作EK⊥CB，交CB的延长线于点K，由勾股定理得AB＝AF＝2，根据题意可得△ABC是等边三角形，利用S△EBC＝CE•BG＝BC•EK，即可求出答案；
（2）如图2，过点A作AN⊥CD于点N，过点A作AG⊥AE'，且AG＝AE′，在AN上截取AK＝F'N，连接GK、GN、GF′，利用SAS证明△ANF′≌△DCH，则可得AN＝CD，F′N＝CH，通过角的和差关系可得∠NAG＝∠BAE′，再根据SAS证明△ABE′≌△ANG，则BE′＝NG，利用旋转性质得∠AEF ＝∠AE′F′＝90°，AE＝EF＝AE'＝E'F'，根据正方形的判定可证得四边形AE'F′G是正方形，由正方形性质及三角形全等判定可得△GAK≌△GF'N（SAS），则可推出△KGN是等腰直角三角形，进而证得结论；
（3）当点F在点B处时，△AEF记作△AE1B，当点F在BC上移动时，△AEF记作△AE2F2，连接E1E2，根据等腰直角三角形性质可得AF＝AE1，AF2＝AE2，∠F AE1＝∠F2AE2＝45°，利用相似三角形判定得△AE1E2∽△AFF2，可得∠AE1E2＝∠AFF2，根据当点F在射线BC上运动时，点E在过点E1与AE夹角为60*的直线上移动，延长E2E1交DA的延长线于点R，过点A作E1E2所在直线的对称点K，连接RK、DK、AK，设DK交E1E2于点E并连接AE，设AK交E1E2于点I，求出∠E1AR＝15°，则利用∠AE1E2＝∠ARE1+∠E1AR＝60°，得∠ARE1＝45°，根据轴对称性质可得AR＝KR，AE1＝E1K并确定DE+AE＝DE+EK≥DK，则DE+AE的最小值即为线段DK的长度，求出DK的长度即可得出点F从B 点出发沿射线BC运动，运动过程中（DE+AE）2的最小值．
【解答】解：（1）如图1，过点E作EK⊥CB于K，
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，点F于点B重合，BE＝2，。