2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理 Word版含解析

3．1.2 共面向量定理

[对应学生用书P50]

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题．

问题1：、、可以移到一个平面内吗？

提示：可以，因为＝，三个向量可移到平面ABCD内．

问题2：，，三个向量的位置关系？

提示：三个向量都在平面ACC1A1内．

问题3：、、三个向量是什么关系？

提示：相等．

1．共面向量

一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．

2．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.

1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．

2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个

向量是否共面的依据．

[对应学生用书P51]

[例1] 给出以下命题：

①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面； ②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量； ③若存在有序实数组(x ，y )使得＝x ＋y ，则O 、P 、A 、B 四点共面； ④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面； ⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面． 其中正确命题的序号是________．

[思路点拨]先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断． [精解详析]①错：空间中任意两个向量都是共面的； ②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向； ③正确：因为、、共面， ∴O 、P 、A 、B 四点共面； ④错：没有强调零向量；

⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量． [答案]③

[一点通]共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．

1．下列说法正确的是________(填序号)．

①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体； ②设平行六面体的三条棱是、

、，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是＋

＋；

③若＝1

2

(＋)成立，则P 点一定是线段AB 的中点；

④在空间中，若向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面． ⑤

若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．

解析：①②③⑤不正确，④正确． 答案：④

2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？

解：设r ＝x p ＋y q ，

则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝3，

y ＝－5，

∴r ＝3p －5q . ∴p 、q 、r 共面.

[

例

2]

如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝1

3

BB 1，DF ＝

23

DD 1.证明：

与、共面．

[思路点拨]由共面向量定理，只要用、线性表示出即可．

[精解详析]∵＝＋＋

＝＋＋

13＋23 ＝(＋

13)＋(＋

23

)

＝＋＋＋ ＝＋， ∴

与、共面．

[一点通]利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量＝x ＋y 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用、表

示

.

3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量，，是

共面向量．

证明：法一：＝＋

＋

＝

12

－＋

12

＝12(＋－

＝12

－

.

由向量共面的充要条件知，

，

，是共面向量．

法二：连接A

1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊1

2DD 1，

BE 綊1

2DD 1，

∴FG 綊BE .

∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .

BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD ∴EF ∥平面A 1BD .

同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴，，都与平面A 1BD 平行． ∴

，

，是共面向量．

4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足＝k

，＝k (0≤k ≤

1)．求证：

与向量，

共面．

证明：如图，在封闭四边形MABN 中，＝＋＋.① 在封闭四边形MC 1CN 中，＝

＋

＋②

∵＝k ， ∴

＝k (

＋

) ∴(1－k )＝k ，即(1－k )

＋k ＝0，

同理(1－k )＋k ＝0. ①×(1－k )＋②×k 得＝(1－k )＋k ， ∵＝－

，∴＝(1－k )－k ，

故向量与向量，

共面.

[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．