专题5：矩形中的折叠问题
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(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°. ∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折， 点B落在点F处， ∴AF＝CD，∠F＝∠D. ∴∠F＝∠B，AB＝AF， ∴△AFE ≌△CDE(AAS)
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
(2)解：∵AB＝4，BC＝8， ∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4. ∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE. 在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2， 即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5， ∴S阴影＝12 ×4×5＝10.
∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM. 在Rt△ADM中，∵AD＝3， ∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，
即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ 3 .
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积 解：(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图a所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠DMA＝∠MAQ， 由折叠性质得△ANM ≌△ADM， ∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，
A．3 B.24 C．5 D.89
5
16
6．★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的 中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接 CF，则CF的长为___1_58____．
◆类型三 折叠中求面积
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在
点F处，FC交AD于E. (1)求证：△AFE≌△CDE；
人教版.八年级下册
（1）通过学习，掌握矩形中的折叠问题的解题规律。 （2）通过操作、观察、猜想、验证、归纳等方法进一步提高 综合解决问题的能力。 （3）学习如何把问题归类，形成发现解题规律的能力。 （4）通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会 知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
如图矩形ABCD，你能说说它有哪些性质？
8．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD
上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
解：(1)由折叠性质得 △ANM≌△ADM， ∴∠MAN＝∠DAM. ∵AN平分∠MAB， ∴∠MAN＝∠NAB， ∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，
AB＝4，AQ＝5，
∴S△NAB＝ 4 S△NAQ 4 15
＝ 5 × 2 ×AN·NQ
＝ 4 × 1 ×3×4＝ 24 .
52
5
1.本节课你有哪些收获？ 2.你还有哪些疑惑？
作业布置：详见《精准作业》
边： AB=CD , BC=AD AB∥CD, BC∥AD
角：∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 对角线： OA=OB=OC=OD
折一折
活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。 ①②你从想几一何想学矩习形的纸角片度相，同你，对折折叠叠规后则的相哪同个，图为形什最么感折兴叠趣生？成了不同 的图形？
解析：由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90° ， ∴∠EBG ＝ ∠EGB.∴∠EGH － ∠EGB ＝ ∠EBC － ∠EBG ， 即∠GBC＝∠BGH.又∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC. ∴∠AGB＝∠BGH.∵∠DGH＝30°， ∴∠AGH＝150°，∴∠AGB＝ 1∠AGH＝75°.
2
3．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动： (1)对折矩形纸片 ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠 纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到 线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( B)
A.25° B.30° C.36° D.45°
AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，
∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.
∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.
在Rt△ANQ中，
由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，
即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4， ∴NQ＝4，AQ＝5.
∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，
◆类型二 折叠中求线段长
4．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长 为( C ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使
点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( C)
折叠问题因为有了“折”就有了“形”----轴对称图形、全等形； 有了“折”就有了“数”----线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就 为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。
◆类型一 折叠中求角度
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落 在点H处．已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝ 75° .
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
(2)解：∵AB＝4，BC＝8， ∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4. ∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE. 在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2， 即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5， ∴S阴影＝12 ×4×5＝10.
∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM. 在Rt△ADM中，∵AD＝3， ∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，
即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝ 3 .
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积 解：(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图a所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC， ∴∠DMA＝∠MAQ， 由折叠性质得△ANM ≌△ADM， ∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，
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6．★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的 中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接 CF，则CF的长为___1_58____．
◆类型三 折叠中求面积
7．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在
点F处，FC交AD于E. (1)求证：△AFE≌△CDE；
人教版.八年级下册
（1）通过学习，掌握矩形中的折叠问题的解题规律。 （2）通过操作、观察、猜想、验证、归纳等方法进一步提高 综合解决问题的能力。 （3）学习如何把问题归类，形成发现解题规律的能力。 （4）通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会 知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
如图矩形ABCD，你能说说它有哪些性质？
8．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD
上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
解：(1)由折叠性质得 △ANM≌△ADM， ∴∠MAN＝∠DAM. ∵AN平分∠MAB， ∴∠MAN＝∠NAB， ∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°，
AB＝4，AQ＝5，
∴S△NAB＝ 4 S△NAQ 4 15
＝ 5 × 2 ×AN·NQ
＝ 4 × 1 ×3×4＝ 24 .
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1.本节课你有哪些收获？ 2.你还有哪些疑惑？
作业布置：详见《精准作业》
边： AB=CD , BC=AD AB∥CD, BC∥AD
角：∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 对角线： OA=OB=OC=OD
折一折
活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。 ①②你从想几一何想学矩习形的纸角片度相，同你，对折折叠叠规后则的相哪同个，图为形什最么感折兴叠趣生？成了不同 的图形？
解析：由折叠的性质可知：GE＝BE，∠EGH＝∠ABC＝90° ， ∴∠EBG ＝ ∠EGB.∴∠EGH － ∠EGB ＝ ∠EBC － ∠EBG ， 即∠GBC＝∠BGH.又∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠GBC. ∴∠AGB＝∠BGH.∵∠DGH＝30°， ∴∠AGH＝150°，∴∠AGB＝ 1∠AGH＝75°.
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3．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动： (1)对折矩形纸片 ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠 纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到 线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( B)
A.25° B.30° C.36° D.45°
AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，
∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.
设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.
∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.
在Rt△ANQ中，
由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，
即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4， ∴NQ＝4，AQ＝5.
∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，
◆类型二 折叠中求线段长
4．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长 为( C ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
5.如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使
点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( C)
折叠问题因为有了“折”就有了“形”----轴对称图形、全等形； 有了“折”就有了“数”----线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就 为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。
◆类型一 折叠中求角度
2．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落 在点H处．已知∠DGH＝30°，连接BG，则∠AGB＝ 75° .