第三章线性规讲义划模型
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➢ 对偶问题的对偶是原问题。
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
8000
设备 C
1.5 3.0 3.5 1.0
5000
利润（元/件） 5.24 7.30 8.34 4.18
目标函数： min W = 8Y1+16Y2+12Y3
s.t
Y1+4Y2≥2
2Y1+4Y3≥3
Y1,Y2,Y3≥0
第三章 线性规划模型
线性规划模型：
目标函数：
MAX Z = 2X1+3X2
s.t. X1+2X2≤ 8
4X1
≤16
4X2≤12
X1, X2≥0
最优解：X1=4, X2=2, Z=14
原问题
第三章线性规划模型
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 敏感分析与影子价格 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 解决有限资源的最佳分配问题。即如何对
有限的资源作出最佳方式的调配和最有利的 使用，以使最充分地发挥资源的效能去获取 最佳的经济效益。
第三章 线性规划模型
▪ 将非标准形式转化为标准形式
• 目标函数为最小化： 令 Z’ = - Z , Z’ 为最大化问题。
• 若约束条件是小于等于型： 在不等式左边加上一个新变量（松弛变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
• 若约束条件是大于等于型： 在不等式左边减去一个新变量（剩余变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
源出租或出售，这时工厂的决策者就要考虑给每种 资单源位如设何 备定 台价 时的的问租题金。和设出用让原Y1材,Y2料,Y3A分、别B表示的出附租加 值。作如下比较，用一个单位设备台时和四个单位 的原材料可以生产甲产品一件，获利2元，那么出 租和出让的收益不应低于自己生产时的收益。因此 有
Y1+4Y2≥2 ;
1.0x1 +5.0x2 +1.0x3 +3.5x4
1.5x1 +3.0x2 +3.5x3 +1.0x4
x1,
x2,
x3,
x4
≤2000 ≤8000 ≤5000
≥0
第三章 线性规划模型
▪ 求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=294.12 x2=1500 ▪ 最大利润为：
x3=0 x4=58.82
(s.t.)
2×G + 1×T≤40 （整流工序约束）
1×G + 1×T≤25 （包装工序约束）
G≥0; T≥0 （生产批次的非负约束）
第三章 线性规划模型
▪ 建立线性规划问题模型
总结模型构建的一般思路： 确定该LP问题的目标是什么？ 实现目标取决于什么因素和条件？ 确定哪几个因素为决策变量？ 目标如何用决策变量来加以描述？ 约束条件如何表达？ 决策变量本身是否有限制条件？
▪ 两个变量的线性规划问题的几何解释
例3-3:
目标函数等值线
Z = X1+3X2
Max z = X1+3X2
s.t. X1+ X2≤6
z=15.3 z=12
-X1+2X2≤8
z=9 z=6
z=3
X1 , X2≥0
z=0
x2
6 (4/3,14/3) 5 4 3 2 1
可行域
x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
变量的取值 解决环节：确定问题、建立模型、问题求解、
经济分析、敏感性分析
第三章 线性规划模型
▪ 建立线性规划问题模型
线性规划问题举例：教材 P40
LP模型：
决策变量：每周的生产批次 G、T
目标函数： max Z＝ 30×G+20×T （获利最大）
约束条件： 1×G + 2×T≤40 （配料工序约束）
第三章 线性规划模型
(a)凸集
(b)凸集
(a)非凸集
(b)非凸集
(c)凸集 (c)非凸集
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划的可行域及最优解的可能结果
➢ 可行域为封闭的有界区域：唯一、多个最优解 ➢ 可行域为非封闭的无界区域：唯一、多个最优解、
目标函数无界，无最优解 ➢ 可行域为空集：没有可行解，更无最优解
Xj ≥ 0 i = 1,2,3, …… ,m
Xj 的单位贡献 第i 资源的约束量
j = 1,2,3, …… ,n
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的标准形式
目标函数为最大化； 约束条件（非负条件除外）全为等式； 约束条件右端项为大于等于零；
max Z = C1X1+C2X2+…+CnXn s.t. a11X1+a12X2+…+a1nXn=b1 a21X1+a22X2+…+a2nXn=b2 …………… am1X1+am2X2+…+amnXn=bm X1,X2,...,Xn≥0
第三章 线性规划模型
▪ 例3-2: 将下列LP问题转化为标准形式
min Z = 2x1 -3x2 +x3
s.t.
x1 -x2 +2x3 ≤3
2x1 +3x2 -x3 ≥5
x1 +x2 +x3 =4
x1,x3≥0, x2 无符号限制
第三章 线性规划模型
▪ 令Z’=-Z， ▪ 引进松弛变量x4≥0,和剩余变量 x5≥0， ▪ 令 x2=x2'-x2'‘ 其中x2'≥0，x2''≥0,
对 偶 问 题
min Y= 4w1 +7w2
s.t.
3w1 +5w2 ≥6
w1 +2w2 ≤8
w1 ≤0 , w2 ≥0
第三章 线性规划模型
▪ 对偶问题与原始问题的关系
目标
极大化问题 Cj （max Z）
变 xj≥0 量 xj无约束 n xj≤0
约 aijxj≥bi
束 aijxj=bi m aijxj≤bi
第三章 线性规划模型
▪ 例3-1:请你构建以下问题的LP模型：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、 丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数， 每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示： 用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 机时数（小时/件）
—— —— —— —— —— ——
极小化问题bi （min W）
aTijyi≥cj aTijyi=cj aTijyi≤cj yi≤0 yi无约束 yi≥0
目标
约 束 n
变 量 m
第三章 线性规划模型
▪ 对偶问题的性质
原问题标准型：
对偶问题标准型：
Max Z= CX AX + XL= b
X,XL≥0
第三章 线性规划模型
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题模型的一般形式： 目标函数： 约束条件：
x 1 ,x 2 ,x n 0
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题一般模型的简化形式：
目标函数： max Z = ∑Cj Xj
约束条件：
n
∑j=1ai
j
Xj
≥(=,
≤)
bi
Xj 的技术性系数： 表示第 j 种活动消 耗资源 i 的数量
同样地乙产品也有：2Y1+4Y3≥3
第三章 线性规划模型
全部出让或出租的总收入为 W = 8Y1+16Y2+12Y3 从决策者来看，当然希望W值越大越好。但从接受者来讲， 支付越少越好。为提高竞争力，因此工厂只能在满足≥所有 产品的利润条件，使其总收入具有竞争力的，因此，W需要 求解最小值。
因此有线性规划模型：
线性规划（Linear Programming, LP) 康托洛维奇 1939 《生产组织与计划中
的数学方法》 丹捷格（美）1947 单纯形方法
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 线性规划（LP)问题包含下列要素： 变量：决策要控制的因素 目标：决策目标（最优）的数学描述
约束条件：实现目标的一组限制条件 求LP问题：在约束条件下使目标最优的一组
▪ 总结：线性规划问题的典型特征
➢ 可用一些变量表示这类问题的待定方案，这些变
量 （决策变量）的一组值代表一个具体方案； ➢ 存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于
决策变量的线性不等式或等式来表示； ➢ 有一个期望达到的目标，这个目标能以某种确定
的数量指标刻划出来，而这种数量指标可表示为关 于决策变量的线性函数，按所考虑的问题的不同， 要求该函数值最大化或最小值。
线性规划模型：
目标函数： MIN W = 8Y1+16Y2+12Y3
s.t. Y1+4Y2≥ 2 2Y1 +4Y3≥ 3 Y1, Y2,Y3≥0
最优解：Y1=1.5,Y2=0.125, Y3=0,W=14
对偶问题
第三章 线性规划模型
▪ 对偶问题与影子价格
定义： 设以下线性规划问题
MAX Z = CTX
第三章 线性规划模型
线性规划的可行域及最优解的可能结果图示：
(a)可行域封闭，唯一最优解
(a)可行域封闭，多个最优解
(c)可行域开放，唯一最优解
(d)可行域开放，多个最优解
(e)可行域开放，目标函数无界
(f) 可行域为空集
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划的EXCEL求解：
▪ 例3-1: 某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、 乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备 机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的 时数如下表所示：
得到以下等价的标准形式 :
MAX z’= -2x1 +3x2' -3x2'' -x3
s.t.
x1 -x2' +x2'' +2x3 +x4
=3
2x1 +3x2' -3x2'' -x3
-x5 =5
x1 +x2' -x2'' +#39;', x3, x4, x5 ≥0
第三章 线性规划模型
甲 乙 总量
设备台时 1 2 8
原材料A 4 0 16
原材料B 0 4 12
建立线性规划模型：
目标函数： MAX Z = 2X1+3X2
约束条件：
X1+2X2≤ 8 4X1+ ≤16
4X2≤12 X1, X2≥0
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
从另一角度考虑： 如果该厂决定不生产甲、乙两种产品，而将其资
设变量xi为第i种产品的生产件数（i＝1，2，3， 4），目标函数Z为相应的生产计划可以获得的总利 润。在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的 假设下，可以建立如下的线性规划模型：
max Z = 5.24x1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4
s.t.
1.5x1 +1.0x2 +2.4x3 +1.0x4
第三章 线性规划模型
▪ 将非标准形式转化为标准形式
• 若约束方程右端项 bi < 0 :
在约束方程两端乘以（－1），不等号改变方向， 然后再转化成等式。
• 若决策变量Xk没有非负要求：
作两个新变量Xk’≥0, Xk” ≥0,令Xk＝ Xk’ - Xk” ，在 原有模型中用（ Xk’ － Xk” ）代替所有的Xk，在非负 约束中增加Xk’≥0和Xk” ≥0 。
s.t.
AX≤b
X≤0 为原始问题，则称以下问题
MIN W = bTY s.t. ATY≤C
Y≥0 为原始问题的对偶问题，最优值Y为影子价格
第三章 线性规划模型
max s.t.
Z= 6x1 +8x2 3x1 +x2 ≥4 5x1 +2x2 ≤7
x1 ≥0 , x2 ≤0
对 偶 问 题
原问题与对偶问题转换：
Min W= Yb
YA - YS= C Y,YS≥0
➢ 若两个互为对偶问题之一有最优解，则另一个必有最优解， 且目标函数值相等(Z*=W*)，最优解满足CX*=Y*b。
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 影子价格与敏感分析 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
某厂生产甲、乙两 种产品，消耗A、B两 种原材料 。生产一件 甲产品可获利2元，生 产乙产品获利3元。问 在 以 下条件下如何安 排生产？
设备 A 设备 B 设备 C 利润（元/件）
产品 产品 产品 产品 甲乙丙丁 1.5 1.0 2.4 1.0 1.0 5.0 1.0 3.5 1.5 3.0 3.5 1.0 5.24 7.30 8.34 4.18
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
第三章 线性规划模型
▪ 建立的模型如下：
z=12737.06（元）
▪ 请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计 划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产 品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法 安排生产计划很难获得满意的结果。另外，变量是 否需要取整也是需要考虑的问题。
第三章 线性规划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
8000
设备 C
1.5 3.0 3.5 1.0
5000
利润（元/件） 5.24 7.30 8.34 4.18
目标函数： min W = 8Y1+16Y2+12Y3
s.t
Y1+4Y2≥2
2Y1+4Y3≥3
Y1,Y2,Y3≥0
第三章 线性规划模型
线性规划模型：
目标函数：
MAX Z = 2X1+3X2
s.t. X1+2X2≤ 8
4X1
≤16
4X2≤12
X1, X2≥0
最优解：X1=4, X2=2, Z=14
原问题
第三章线性规划模型
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 ▪ 线性规划问题的建模 ▪ 典型特征和基本条件 ▪ 一般模型和标准模型 ▪ 线性规划的图解方法 ▪ 敏感分析与影子价格 ▪ 线性规划模型的应用
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 解决有限资源的最佳分配问题。即如何对
有限的资源作出最佳方式的调配和最有利的 使用，以使最充分地发挥资源的效能去获取 最佳的经济效益。
第三章 线性规划模型
▪ 将非标准形式转化为标准形式
• 目标函数为最小化： 令 Z’ = - Z , Z’ 为最大化问题。
• 若约束条件是小于等于型： 在不等式左边加上一个新变量（松弛变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
• 若约束条件是大于等于型： 在不等式左边减去一个新变量（剩余变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
源出租或出售，这时工厂的决策者就要考虑给每种 资单源位如设何 备定 台价 时的的问租题金。和设出用让原Y1材,Y2料,Y3A分、别B表示的出附租加 值。作如下比较，用一个单位设备台时和四个单位 的原材料可以生产甲产品一件，获利2元，那么出 租和出让的收益不应低于自己生产时的收益。因此 有
Y1+4Y2≥2 ;
1.0x1 +5.0x2 +1.0x3 +3.5x4
1.5x1 +3.0x2 +3.5x3 +1.0x4
x1,
x2,
x3,
x4
≤2000 ≤8000 ≤5000
≥0
第三章 线性规划模型
▪ 求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=294.12 x2=1500 ▪ 最大利润为：
x3=0 x4=58.82
(s.t.)
2×G + 1×T≤40 （整流工序约束）
1×G + 1×T≤25 （包装工序约束）
G≥0; T≥0 （生产批次的非负约束）
第三章 线性规划模型
▪ 建立线性规划问题模型
总结模型构建的一般思路： 确定该LP问题的目标是什么？ 实现目标取决于什么因素和条件？ 确定哪几个因素为决策变量？ 目标如何用决策变量来加以描述？ 约束条件如何表达？ 决策变量本身是否有限制条件？
▪ 两个变量的线性规划问题的几何解释
例3-3:
目标函数等值线
Z = X1+3X2
Max z = X1+3X2
s.t. X1+ X2≤6
z=15.3 z=12
-X1+2X2≤8
z=9 z=6
z=3
X1 , X2≥0
z=0
x2
6 (4/3,14/3) 5 4 3 2 1
可行域
x1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
变量的取值 解决环节：确定问题、建立模型、问题求解、
经济分析、敏感性分析
第三章 线性规划模型
▪ 建立线性规划问题模型
线性规划问题举例：教材 P40
LP模型：
决策变量：每周的生产批次 G、T
目标函数： max Z＝ 30×G+20×T （获利最大）
约束条件： 1×G + 2×T≤40 （配料工序约束）
第三章 线性规划模型
(a)凸集
(b)凸集
(a)非凸集
(b)非凸集
(c)凸集 (c)非凸集
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划的可行域及最优解的可能结果
➢ 可行域为封闭的有界区域：唯一、多个最优解 ➢ 可行域为非封闭的无界区域：唯一、多个最优解、
目标函数无界，无最优解 ➢ 可行域为空集：没有可行解，更无最优解
Xj ≥ 0 i = 1,2,3, …… ,m
Xj 的单位贡献 第i 资源的约束量
j = 1,2,3, …… ,n
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的标准形式
目标函数为最大化； 约束条件（非负条件除外）全为等式； 约束条件右端项为大于等于零；
max Z = C1X1+C2X2+…+CnXn s.t. a11X1+a12X2+…+a1nXn=b1 a21X1+a22X2+…+a2nXn=b2 …………… am1X1+am2X2+…+amnXn=bm X1,X2,...,Xn≥0
第三章 线性规划模型
▪ 例3-2: 将下列LP问题转化为标准形式
min Z = 2x1 -3x2 +x3
s.t.
x1 -x2 +2x3 ≤3
2x1 +3x2 -x3 ≥5
x1 +x2 +x3 =4
x1,x3≥0, x2 无符号限制
第三章 线性规划模型
▪ 令Z’=-Z， ▪ 引进松弛变量x4≥0,和剩余变量 x5≥0， ▪ 令 x2=x2'-x2'‘ 其中x2'≥0，x2''≥0,
对 偶 问 题
min Y= 4w1 +7w2
s.t.
3w1 +5w2 ≥6
w1 +2w2 ≤8
w1 ≤0 , w2 ≥0
第三章 线性规划模型
▪ 对偶问题与原始问题的关系
目标
极大化问题 Cj （max Z）
变 xj≥0 量 xj无约束 n xj≤0
约 aijxj≥bi
束 aijxj=bi m aijxj≤bi
第三章 线性规划模型
▪ 例3-1:请你构建以下问题的LP模型：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、 丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数， 每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示： 用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 机时数（小时/件）
—— —— —— —— —— ——
极小化问题bi （min W）
aTijyi≥cj aTijyi=cj aTijyi≤cj yi≤0 yi无约束 yi≥0
目标
约 束 n
变 量 m
第三章 线性规划模型
▪ 对偶问题的性质
原问题标准型：
对偶问题标准型：
Max Z= CX AX + XL= b
X,XL≥0
第三章 线性规划模型
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题模型的一般形式： 目标函数： 约束条件：
x 1 ,x 2 ,x n 0
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题一般模型的简化形式：
目标函数： max Z = ∑Cj Xj
约束条件：
n
∑j=1ai
j
Xj
≥(=,
≤)
bi
Xj 的技术性系数： 表示第 j 种活动消 耗资源 i 的数量
同样地乙产品也有：2Y1+4Y3≥3
第三章 线性规划模型
全部出让或出租的总收入为 W = 8Y1+16Y2+12Y3 从决策者来看，当然希望W值越大越好。但从接受者来讲， 支付越少越好。为提高竞争力，因此工厂只能在满足≥所有 产品的利润条件，使其总收入具有竞争力的，因此，W需要 求解最小值。
因此有线性规划模型：
线性规划（Linear Programming, LP) 康托洛维奇 1939 《生产组织与计划中
的数学方法》 丹捷格（美）1947 单纯形方法
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划问题的提出 线性规划（LP)问题包含下列要素： 变量：决策要控制的因素 目标：决策目标（最优）的数学描述
约束条件：实现目标的一组限制条件 求LP问题：在约束条件下使目标最优的一组
▪ 总结：线性规划问题的典型特征
➢ 可用一些变量表示这类问题的待定方案，这些变
量 （决策变量）的一组值代表一个具体方案； ➢ 存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于
决策变量的线性不等式或等式来表示； ➢ 有一个期望达到的目标，这个目标能以某种确定
的数量指标刻划出来，而这种数量指标可表示为关 于决策变量的线性函数，按所考虑的问题的不同， 要求该函数值最大化或最小值。
线性规划模型：
目标函数： MIN W = 8Y1+16Y2+12Y3
s.t. Y1+4Y2≥ 2 2Y1 +4Y3≥ 3 Y1, Y2,Y3≥0
最优解：Y1=1.5,Y2=0.125, Y3=0,W=14
对偶问题
第三章 线性规划模型
▪ 对偶问题与影子价格
定义： 设以下线性规划问题
MAX Z = CTX
第三章 线性规划模型
线性规划的可行域及最优解的可能结果图示：
(a)可行域封闭，唯一最优解
(a)可行域封闭，多个最优解
(c)可行域开放，唯一最优解
(d)可行域开放，多个最优解
(e)可行域开放，目标函数无界
(f) 可行域为空集
第三章 线性规划模型
▪ 线性规划的EXCEL求解：
▪ 例3-1: 某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、 乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备 机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的 时数如下表所示：
得到以下等价的标准形式 :
MAX z’= -2x1 +3x2' -3x2'' -x3
s.t.
x1 -x2' +x2'' +2x3 +x4
=3
2x1 +3x2' -3x2'' -x3
-x5 =5
x1 +x2' -x2'' +#39;', x3, x4, x5 ≥0
第三章 线性规划模型
甲 乙 总量
设备台时 1 2 8
原材料A 4 0 16
原材料B 0 4 12
建立线性规划模型：
目标函数： MAX Z = 2X1+3X2
约束条件：
X1+2X2≤ 8 4X1+ ≤16
4X2≤12 X1, X2≥0
第三章 线性规划模型
• 对偶问题的提出
从另一角度考虑： 如果该厂决定不生产甲、乙两种产品，而将其资
设变量xi为第i种产品的生产件数（i＝1，2，3， 4），目标函数Z为相应的生产计划可以获得的总利 润。在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的 假设下，可以建立如下的线性规划模型：
max Z = 5.24x1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4
s.t.
1.5x1 +1.0x2 +2.4x3 +1.0x4
第三章 线性规划模型
▪ 将非标准形式转化为标准形式
• 若约束方程右端项 bi < 0 :
在约束方程两端乘以（－1），不等号改变方向， 然后再转化成等式。
• 若决策变量Xk没有非负要求：
作两个新变量Xk’≥0, Xk” ≥0,令Xk＝ Xk’ - Xk” ，在 原有模型中用（ Xk’ － Xk” ）代替所有的Xk，在非负 约束中增加Xk’≥0和Xk” ≥0 。
s.t.
AX≤b
X≤0 为原始问题，则称以下问题
MIN W = bTY s.t. ATY≤C
Y≥0 为原始问题的对偶问题，最优值Y为影子价格
第三章 线性规划模型
max s.t.
Z= 6x1 +8x2 3x1 +x2 ≥4 5x1 +2x2 ≤7
x1 ≥0 , x2 ≤0
对 偶 问 题
原问题与对偶问题转换：