高中数学 第三章 31 不等关系与不等式 新人教A版必修5PPT课件
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高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式课件新人教A版必修5
• 答案： B
• 2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
• A．－2<α－β<0
B．－2<α－β<－1
• C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
• 解析： ∵－1<β<1，∴－1<－β<1.
• 又－1<α<1，∴－2<α＋(－β)<2，
• 又α<β，∴α－β<0，即－2<α－β<0.故选A.
• 1．实数比较大小的注意事项
• (1)符号“⇔”表示“等价于”，即可以互相推 出．“⇔”的右边反映的是两个实数a，b的大小关 系，左边反映的是实数的运算性质，三个等价式子 体现的是实数的大小顺序和实数的运算性质之间的 关系．
• (2)比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较 两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能 够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分 解因式等．
[提示] 如果该汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么 在 8 天内它的行程为 8(x＋19)km，因此，不等关系“在 8 天内 它的行程将超过 2 200 km”可以用不等式 8(x＋19)>2 200 来表 示；如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它原来行驶 8 天的路程现在所花的时间为x－8x12，因此，不等关系“它原来行 驶 8 天的路程现在就得花 9 天多的时间”可以用不等式x－8x12>9 来表示．
第 三 章 不等式
•3.1 不等关系与不等式
自主学习 新知突破
• 1．通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存 在着大量的不等关系，会用不等式及不等式组表示 不等关系．
人教版高中数学必修五3.1不等关系与不等式公开课教学课件 (共26张PPT)
500 x 600 y 4000
不等关系为不等式组：
3x y
x0 y0
【提升总结】 1. 将实际的不等关系写成对应的不等 式时，应注意实际问题中关键性的文字语 言与数学符号间的正确转换.
文字语言 大于 小于 大于等于 数学符号 文字语言 数学符号 ≤ ≥
＞
＜
至多
至少 不少于 不多于
x 2.5 0.2 x 20 8 0.1
问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成
500mm和600mm两种,按照生产的要求,600mm钢 管的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出 满足上述所有不等关系的不等式呢?
解:设截得500mm的钢管数x根,截得600mm的钢管y根，则
如果a>b,c<0,那么ac<bc. 如果a>b,c=0,那么ac=bc.
注意：不等式两边同乘一个正数，不等式方向不变； 不等式两边同乘一个负数，不等式方向相反.
思考：证明不等式的下列性质： 性质5
如果a>b,c>d,则a+c>b+d.
(同向可加性)
注：同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.
证明：
(开方法则)
注意:当不等式两边都是正数时，不等式两 边同时开方所得的不等式和原不等式同向. 以上这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的基本依据.
三.不等式的基本性质：
性质1 性质2
a b, b c a c
abba
使用时注意弄 清每条性质的 条件和结论.
性质3
性质4
性质5 性质6 性质7 性质8
如果a>b,b>c,那么a>c.即 (传递性)
高中数学新人教A版必修5课件：第三章不等式3.1不等关系与不等式4
2．已知
a>b>0，求证：
a b>
b a.
证明：因为 a>b>0，所以 a> b >0.①又因为 a>b>0，两边同
乘正数a1b，得1b>1a>0.②
①②两式相乘，得
a b>
b a.
利用不等式性质求代数式的取值范围
已知－1<x<4，2<y<3. (1)求 x－y 的取值范围； (2)求 3x＋2y 的取值范围． 【解】 (1)因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以 －4<x－y<2. (2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以 1<3x ＋2y<18.
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选 D.令 a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除 A，B，
C.由不等式的性质 5 知，D 一定成立．
若 x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则 M 与 N 的大小关系为 ________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)， 又因为 x<1，所以 x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所 以 M>N. 答案：M>N
1．雷电的温度大约是 28 000 ℃，比太阳表面温度的 4.5 倍 还要高．设太阳表面温度为 t ℃，那么 t 应满足的关系式是 ________． 解析：由题意得，太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度， 即 4.5t<28 000. 答案：4.5t<28 000
高中数学第三章不等式3.1不等式关系与不等式课件新人教A版必修5
为函数 y＝1x在(－∞，0)上单调递减，a<b<0，所以1a>1b，
故 D 正确．
答案：D
5．若 x＞1，y＞2，则： (1)2x＋y＞________； (2)xy＞________． 解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2. 答案：(1)4 (2)2
类型 1 用不等式(组)表示不等关系 [典例 1] 分别写出满足下列条件的不等式： (1)一个两位数的个位数字 y 比十位数字 x 大，且这 个两位数小于 30； (2)某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价 分别为 60 元的单片软件 x 片和 70 元的盒装磁盘 y 盒．根 据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒． 解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且 x，y∈N*； (2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且 x，y∈N*.
同向 5
可加性
ac>>db⇒a＋c⑫>b＋d
同向同正 6
可乘性
ac>>db>>00⇒ac⑬>bd
7
可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
8
可开方性
nn
a>b>0⇒ a> b(n∈N，n≥2)
[思考尝试·夯基] 1．思考义是指 x 不小于 2.( ) (2)若 a＜b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正 确．( ) (3)若 a＞b，则 ac＞bc 一定成立．( ) (4)若 a＋c＞b＋d，则 a＞b，c＞d.( )
解析：(1)正确．不等式 x≥2 表示 x＞2 或 x＝2，即 x 不小于 2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式 a≤b 表示 a＜b 或 a＝b.故若 a＜b 或 a＝b 中有一个正确，则 a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式 两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由 a＞b， 则 ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取 a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足 a＋c＞b＋d，但不满足 a ＞b，故此说法错误．
最新高中数学人教A版必修5课件：3.1 不等关系与不等式
探究四
探究一用不等式(组)表示不等关系
1.不等关系与不等式 不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示; 而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等 式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.
2.文字语言与数学符号之间的转换
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X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
学习目标 1.会用不等式 (组)表示实际 问题中的不等 关系. 2.掌握不等式 的有关性质. 3.能利用不等 式的性质进行 数或式的大小 比较或不等式 证明.
思维脉络
-3-
3.1 不等关系与不等式
3.1 不等关系与不等式
配套精品教学课件/人教版
高中数学(必修五)
授课老师：XX XX XX 授课日期：201X.XX.XX
-1-
3.1 不等关系与不等式
高中数学必修五（人教版） 配套精品教学课件
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
-2-
3.1 不等关系与不等式
HONGNAN TANJIU
D 当堂检测
ANGTANG JIANCE
2.不等式的性质 (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c⇒a>c. (3)如果a>b,那么a+c>b+c.即a>b⇒a+c>b+c. (4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac<bc. (5)如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. (6)如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.
人教A版高中数学必修五第三章第一节《3.1不等关系与不等式》(第一课时)课件
2．课外探究： （1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比 十位数字大2.试用不等关系表示上述关系，并求出这 个两位数（用a和b分别表示两位数的个位数字和十位 数字）。 （2）一辆汽车原来每天行驶 x km，如果这辆汽车每 天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就 超过2200 km，写出不等式为_______________;如果 它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8 天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 _______________.
x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
x
x 14
练习3：观察以下图形，写出图中存在的 不等关系：
例1：
某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少2000本。若把 提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式 表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ （总收入＝单价×销售量）
还可以得到一个关于a,b的不等式:
a b 2ab
2 2
练习2：请同学们自己举出现实世
界和日常生活中存在的一些不等关 系。
二 用不等式表示不等关系
观察下表，请同学们说出x、y、z的范围:
年份
GDP（x GDP增长 人均GDP（z 万亿元） 率（y%） 万元）
2006 2007 2008 2009 2010 2011
1.用不等式(组）表示下面的不等关系：
用不等式(组）表示下面的不等关系：
2.某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中的 脂肪含量 f 应不少于2.5%，蛋白质的含 量 p 应不少于2.3%．
2
f 2.5% p 2.3%
3.如图，在一个面积为350m 矩形地基上建造个仓库， 四周是绿地．仓库的长 L 大于宽 W 的四倍．
人教版必修五第三章3.1不等关系与不等式(第二课时)(28张ppt)
14
例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A， B的大小关系是 A≥B 。
15
例4．（1）如果30<x<36，2<y<6，求x－
2y及 x 的取值范围。
y
18<x－2y<32，
5 x 18 y
（2）若－3<a<b<1，－2<c<－1，
求(a－b)c2的取值范围。 因为－4<a－b<0，1<c2<4， 所以－16<(a－b)c2<0
性质3表明，不等式的两边都加上同一 个实数，所得的不等式与原不等式同向.
4
由性质3可以得出 a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b. 推论1：不等式中的任意一项都可以把它 的符号变成相反的符号后，从不等式的 一边移到另一边。 （移项法则）
5
推论2：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
⑺ a b，ab 0 1 1 ab
(倒数法则)
注:一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的这些
基本性质 ,这是我们对不等式进行变形的基础.
你能推导10 它们吗?
例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证：1 1 ；
ab
证明：（1）因为ab>0，所以 1 0
b d
证明：（3）因为0<c<d，根据（1）的结
论得 1 1 0
cd
又因为a>b>0，所以 a 1 b 1
cd
高中数学第三章不等式31不等关系与不等式课件新人教A版必修5
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等的性
质，应注意条件与结论之间的联系． 【答案】C
【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏 依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵ a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ， ∴ a1 － 1<0 ， a2 － 1<0.∴(a1 － 1)(a2 － 1)>0 ， 即 M － N>0.∴M>N.
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成 500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管 的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等 关系的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关 系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管 的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
人教A版高中数学必修五第三章3-1《不等关系与不等式》《课件》(第1课时) (共17张PPT)
探究: 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)， 若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
能用我们所学习的不等式来表示这个问题吗？
bm b , (a b 0, m 0) am a
课堂小结：
1.不等关系和不等式； 2.比较两个实数大小的依据： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0 3.作差法比较大小的步骤：（1）作差（2）变形 （3）定号（4）结论
仅当x=2时取“=”号， 所以：当x =2时，x 3x =x 4;
2
当x 2时，x 3x x 4.
2
对 于 " " 或 " "的 问 题 , 既 要 防 止 " "的 遗 漏 , 又 要 说 明 何 时 取 到 " ".
四.点睛师例 巩固提高
例 2.已知 x 1 ，比较 x 2 2 与 3 x 的大小．
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
实数的大小关系 实数的运算
通过上式，比较两个数（式）的大小，就 可以转化为判断它们差的符号。
这既是比较大小 (或证明大小)的基本方法
四.点睛师例 巩固提高
例1．比较x2－x与x－2的大小. 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2 =(x－1)2+1， 因为(x－1)2≥0， 所以(x－1)2+1≥1>0
年龄58
姚明年龄36
58>36
限速15公里/小时 0<v≤15 问题:
最低时速60公里/小时 且最高时速100公里/小时
人教版A版高中数学必修5：不等关系与不等式_课件31
4．若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．
【解析】 ∵a2＋1＞2a，且loga(a2＋1)＜loga2a.
∴0＜a＜1，
1
又∵loga2a＜0，∴2a＞1即a＞2 ，
∴a的取值范围是
1
12 ＜a＜1.
【答案】 2 ＜a＜1
11
5．给出下列命题：①若a＞b，则 a＜b
对于命题④，∵c＞a，∴c－a＞0， 1
从 ∴c而－a ac＞－ca－b＞a 0，，故又命a题＞④b＞也0是，真命题，此题应填①②. 【答公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超 过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型 汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足 上述所有不等关系的不等式．
A．T1＞T4＞T3 B．T3＞T1＞T2 C．T4＞T2＞T3 D．T3＞T4＞T1
【解析】 第1个区域，先补成一个长方形，设长为a，宽为b，
A．a＜b
11 B. a2＞b2
C．|a|＜|b| D．以上均不对
【解析】 a2＜b2⇔|a|2＜|b|2⇔|a|＜|b|.
【答案】 C
2．设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A.1a＞1b
B.a－1 b＞a1
C．|a|＞－b D. －a＞ －b
【解析】 方法一：排除法，若a＜b＜0， 则 1a－1b＝ba－ba 0，故A正确． 而－a＞－b＞0，即|a|＞－b，故C正确．
2．(2009年全国Ⅱ高考)设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg e ，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解析】 ∵1＜e＜3，则1＜ e ＜e＜e2＜10，∴0＜lg e＜1. 1
人教A版数学必修五 第三章 3.1《不等关系与不等式》课件
.
研一研·问题足几个不等关系时，应用不等式
组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量， 则选用几个字母分别表示这些变量即可． (2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将 所有不等关系都找出来． (3)若有表格、图象等，读懂表格、图象对解决这类问题很 关键．
解 依题意得 c＝11x＋9y＋4z，
又 x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，
600x＋700y＋400z≥56 由 800x＋400y＋500z≥63 2x＋3y≥160 得 3x－y≥130
本 讲 栏 目 开 关
000 ，及 z＝100－x－y， 000
.
2x＋3y≥160 3x－y≥130 ∴x，y 所满足的不等关系为 x≥0 y≥0
⇔－2x＋9<8x－1 (不等式两边都乘以 12,不等式方向不改变) ⇔－2x<8x－10 (不等式两边都加上－9) ⇔－10x<－10 (不等式两边都加上－8x) 1 ⇔x>1 (不等式两边都乘以－ ，不等式方向改变) 10
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
【典型例题】 例 1 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本 如下表： 甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
如果 a－b 等于零，那么a＝b. 以上结论反过来也成立，即 a>b⇔ a－b>0 ； a＝b⇔ a－b＝0 ； a<b⇔ a－b<0 .
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
人教版必修五第三章3.1.1《不等关系与不等式》(共23张PPT)
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表示为：( )
A. f ≥ 2.5%或p ≥ 2.3%
B. f ≥ 2.5%且p ≥ 2.3%
f ≥ 2.5% C. p ≥ 2.3%
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表示 它们之间的不等关系。含有这些不等号的 式子叫做不等式。 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大。
a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小 ( 或证明大小 ) 的基本方 法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例1．比较x2－x与x－2的大小。 解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
几个两边都是正数的同向不等式的两边 分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。
推论2：（性质7）如果a>b>0，则an>bn， (n∈N+，n>1).
性质8如果a>b>0，则，
n
a b
n
(n∈N+，n>1).
常用的不等式的基本性质有: ⑴a b b a ; (对称性) ⑵ a b，b c a c ; (传递性) ⑶ a b a c b c , (可加性)此法则又称为移项法则; a b，c d a c b d (同向不等式可相加) a b，c 0 ac bc ⑷ (可乘性) a b，c 0 ac bc a b 0，c d 0 ac bd (正数同向不等式可相乘)
高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与不等式的性质课件新人教A版必修5-推荐ppt版本
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不等式
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>
(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac___>___bc. ②如果a>b，c<0，那么ac___<___bc. (5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c___>___b＋d. (6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac___>___bd. (7)性质7：如果a>b>0，那么an__>____bn，(n∈N，n≥2)．
(8)性质8：如果a>b>0，那么n a___>___n b，(n∈N，n≥2)．
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A
– 第二级
• 第三级
[解析] M－– N第＝四x2级＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0， ∴M>N，故选A»．第五级
• 单击此处编辑母版文本样式 C – 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
命题方向3 ⇨不等式性质的应用
例题 3 对于实数a、b、c，有下列结论：
①若a＞b，则ac＜bc；
②若ac2＞bc2，则a＞b；
③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
④若c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；
⑤若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0.
其中正确结论的个数
A．2
B．3
C．4
最新-高中数学 31不等关系和不等式 (3课时)课件 新人教A版必修5 精品
2.两个实数的差的符号能反映这两个实 数的大小关系，这是确定两个实数大小 关系的基本原理，同时也是发掘不等式 性质的理论依据.
3.用“差比法”比较两个实数的大小， 一般分三步进行：作差→变形→判断符 号. 其中变形的目的在于判断差式的符号， 常用的变形手段有因式分解、配方等.
作业：
P74练习：1，2.
a－b＞0 a＞b
思考4：如果两个实数的差等于零，那么
这两个实数的大小关系如何？反之成立
吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b=0
a=b
思考5：如果两个实数的差是负数，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b＜0
a＜b
思考6：考察下列三个不等式： |x|≥x；x2＜0；sinx＞0.
a＞b，b＞c a＜b，b＜c
a＞c； a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年 薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖 金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍 然比乙高，这里反映出的不等式性质如 何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
(a＞0，b＜0).
例5 已知c＞a＞0， c＞b＞0，比较
a与c c2 ab .
例6 已知数列{an}是等比数列，数 列{bn}是等差数列，且a1＝b1＞0，a3＝ b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小.
小结作业
1.证明不等式和比较大小，是不等式的 两个基本问题，解决不等式问题必须以 不等式性质为理论依据，常用方法有比 较法、综合法、分析法等.
3.用“差比法”比较两个实数的大小， 一般分三步进行：作差→变形→判断符 号. 其中变形的目的在于判断差式的符号， 常用的变形手段有因式分解、配方等.
作业：
P74练习：1，2.
a－b＞0 a＞b
思考4：如果两个实数的差等于零，那么
这两个实数的大小关系如何？反之成立
吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b=0
a=b
思考5：如果两个实数的差是负数，那么 这两个实数的大小关系如何？反之成立 吗？如何用数学语言描述这个原理？
a－b＜0
a＜b
思考6：考察下列三个不等式： |x|≥x；x2＜0；sinx＞0.
a＞b，b＞c a＜b，b＜c
a＞c； a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年 薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖 金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍 然比乙高，这里反映出的不等式性质如 何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
(a＞0，b＜0).
例5 已知c＞a＞0， c＞b＞0，比较
a与c c2 ab .
例6 已知数列{an}是等比数列，数 列{bn}是等差数列，且a1＝b1＞0，a3＝ b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小.
小结作业
1.证明不等式和比较大小，是不等式的 两个基本问题，解决不等式问题必须以 不等式性质为理论依据，常用方法有比 较法、综合法、分析法等.
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[自主解答] 设身高为h m，
文字表述
符号表示 票价
身高不足 1.2 m h<1.2 免票
身高在1.2 m～1.5 过 1.5 m h>1.5 全价票
[悟一法] 用不等式表示不等关系的注意事项： (1)利用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相 同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两 个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时一定要注意单位统一．
(5)因为c12>0 所以 a·c12>b·c12，故(5)正确． 因此正确的结论有(5)．
[研一题] [例1] 你有过乘坐火车的经历吗？火车站售票处有 规定：儿童身高不足1.2 m的免票，身高1.2 m～1.5 m的儿 童火车票为半价，身高超过1.5 m的儿童买全价票．你能 用不等式表示这些规定吗？
[小问题·大思维] 1．不等关系与不等式有什么区别？
提示：不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符 号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不 等关系的，可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子 表示，不等关系是通过不等式来体现的．
2．关于不等式的性质，下列结论中正确的有哪些？ (1)a>b 且 c>d 则 a－c>b－d. (2)a>b 则 ac>bc. (3)a>b>0 且 c>d>0 则ac>bd. (4)a>b>0 则 an>bn. (5)a>b 则ca2>cb2
[自主解答] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1) ＝(x－1)[(x－12)2＋34]， ∵x<1，∴x－1<0.又(x－12)2＋34>0. ∴(x－1)[(x－12)2＋34]<0.∴x3－1<2x2－2x.
(2)∵a>0，b>0，∴aabb>0，abba>0. ∴aaabbbba＝abaa－－bb＝(ab)a－b. 讨论：(1)当 a>b 时，ab>1，a－b>0， ∴(ab)a－b>1. ∴aabb>abba.
(2)符号表示： a－b>0⇔ a>b ；a－b＝0⇔ a＝b ； a－b<0⇔ a<b . 2．常用的不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a (对称性)； (2)a>b，b>c⇒ a>c (传递性)；
(3)a>b⇒a＋c > b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0⇒ac > bc；a>b，c<0⇒ac < bc； (5)a>b，c>d⇒a＋c > b＋d； (6)a>b>0，c>d>0⇒ac > bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥1⇒an > bn； (8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n a > n b.
两边同乘以c－a1c－b得c－1 a>c－1 b>0. 又∵a>b>0，∴c－a a>c－b b.∴(5)正确．
[悟一法] 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实 质是看是否满足性质所需要的条件．若要判断一个命题是 假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出 一个反例予以否定．
[通一类]
(2)当 a＝3，b＝1，c＝－2，d＝－3 时，命题显然不成立． ∴(2)错． (3) ac>>db>>00⇒ad>bc>0⇒ ad> bc成立． ∴(3)对．
(4)显然c2>0，∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对． (5)∵a>b>0⇒－a<－b<0⇒c－a<c－b. ∵c>a，∴c－a>0. ∴0<c－a<c－b.
[通一类] 1．某电脑用户计划用不超过500元的资金，购买单价分
别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘，根据需要， 软件至少买3张，磁盘至少买2盒，写出满足上述所有 不等关系的不等式．
解：设购买单片软件和盒装磁盘分别为 x 片、y 盒．
则6x0≥x＋3，70xy∈≤N5，00， y≥2，y∈N.
(2)当 a＝b 时，ab＝1，a－b＝0， ∴(ab)a－b＝1. ∴aabb＝abba.
由(ba＋ab)－2＝b2＋aa2b－2ab＝a－abb2， ∵b<a<0，∴(a－b)2>0.又 ab>0. ∴a－abb2>0.即ba＋ab>2.∴④正确． 答案：B
[研一题] [例3] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小； (2)已知a>0，b>0，比较aabb与abba的大小．
2．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；
④ba＋ab>2 中，正确的不等式有
()
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：∵1a<1b<0，∴a<0，b<0. ∴a＋b<0，ab>0.∴a＋b<ab.∴①正确． 由1a<1b<0，得1a－1b＝b－ aba<0. ∵ab>0，∴b－a<0.即 b<a.∴③错误． 由 b<a<0，知|b|>|a|，∴②错误．
提示：对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如 5>3,4>1 时，则 5－4>3－1 是错的，故(1)错． (2)中若 c≤0 时，不成立． (3)中例如 5>3 且 4>1，则54>31是错的，故(3)错．
(4)中对 n≤0 均不成立，例如 a＝3，b＝2，n＝－1 则 3 －1>2－1 显然错，故(4)错．
[研一题]
[例 2] 判断下列命题的对错，并说明理由．
(1)ac<bc且 c>0⇒a>b； (2)a>b 且 c>d⇒ac>bd；
(3)a>b>0 且 c>d>0⇒
a d>
bc；
(4)ca2>cb2⇒a>b. (5)若 c>a>b>0 则c－a a>c－b b. [自主解答] (1) acc><0bc⇒1a<1b， 当 a<0，b>0 时，此式成立，推不出 a>b，∴(1)错．
3.
第
1
三不
章
等 关
不
系 与
等不
式等
式
课前预习·巧设计
名
师
考点一
课
堂
考点二
·
一
考点三
点 通
考点四
创
新
演 练
N0.1 课堂强化
·
大
N0.2 课下检测
冲
关
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[读教材·填要点] 1．比较实数a，b的大小 (1)文字叙述：
如果a－b是正数，那么a > b；如果a－b等于零，那么 a＝b；如果a－b是负数，那么a < b，反之也成立．