高等代数与解析几何1~4章习题答案(DOC)

高代与解几第二章自测题（一）——行列式
一、 判断题
1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）
2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）
3. 2≥n 时，n 级的奇排列共
2
!
n 个. （ √ ） 二、填空题
1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .
2. 设行列式ij
n n
D a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .
3. 行列式D ＝x x x x x x 22133212
323
21--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .
4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .
5. 设8
271849142
3123
267
----=
D ，则14131211M M M M -+-= 240 .
二、证明题
3. n
n D n 2
00
12
000302202002210002----=
（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）
4. n
D n 22223222
2222221=（提示：爪型行列式）
高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组
一、 判断题
1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）
2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）
3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）
4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）
5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题
1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛00
0000000000010
00001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .
三、计算与证明题
1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=++++=-++=++++0
4523,05734,
03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得
A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-452
30573411110312111
→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛000
00000343532103131310100
00
00
00004523
0121
1
1 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……
2. 解线性方程组123412341234
21,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
+-+=⎨⎪+--=⎩
解 方程组的增广矩阵为：
B =
⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 1
21⎥⎥⎥⎦
⎤
，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：
B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100
⎥⎥⎥⎦
⎤
，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……
3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =
证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =
()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 1
1221021
2122221021
111221101...)(...
...)(...)(1 …… (2分)
即证方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 11
2210
211
22221201
11122110......
......1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式
121
3
233
12
222
1
12111111----=n n
n n
n n n a a a a a a a a a a a a D
……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-=
=n
j i i j
T a a
D D 1)( ……(7分)
又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)
4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨
⎧
=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n b
x a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.
证明:
观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式
D =
1121
1211
11---n n
n n n
a a a a a a
是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =
∏≤<≤-n
i j j i
a a
1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性
方程组只有唯一解, n k D
D x k
k ,...,2,1,==
,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)
显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此
n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,)
)...()()...(()
)...()()...((111111=--------=
-+-+ (10分)
5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=++,
0,02,0321321321 x x x p x x x x x x
当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。

解 |A |=
1
11211
11p = 1- p ， (4)
当 |A |≠0，即 p ≠1，方程组有唯一解。

……………..………….…. 6分
p = 1时，⎢⎢⎢⎣⎡111121111⎥⎥⎥⎦⎤→⎢⎢⎢⎣⎡000010101⎥⎥
⎥⎦
⎤，……………………………. 9分
方程组的解为：………
6. 问常数k 取何值时, 方程组
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++424
3
21
2321321x x x k x kx x kx x x
无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

解 A = -（k +1）（k - 4）。

……………………….…….….………. ...3分
当 A ≠0，即 k ≠-1，且 k ≠ 4 时，方程组有唯一解。

.………. ...5分
k = -1时，⎢⎢⎢⎣⎡-111 4
21111411----⎥⎥⎥⎦
⎤→⎢⎢⎢⎣⎡00183
25
0041
1
---⎥⎥⎥⎦
⎤
，方程组无解.…...8分 k = 4时，⎢⎢⎢⎣⎡-111 4211614441--⎥⎥⎥⎦
⎤→⎢⎢⎢⎣⎡001 00
0411441⎥⎥⎥
⎦
⎤，……………..…..10分 方程组的解为：…………
高代与解几第二章自测题（三）——向量、线性空间
一、判断题
1. 若向量组)2(,,,21≥n n ααα 部分组线性相关，则该向量组线性相关.（√）
2. 集合},,|),0,...,0,{(111K x x x x x x W n n n ∈==不是n
K 的子空间.（×） 3. 设1W 和2W 是数域K 上线性空间V
的两个有限维线性子空间，则
121212dim dim dim()dim().W W W W W W +=+- （×）
4. 数域K 上非零线性空间可表示成它的两个真子空间的并集. （×）
5. 集合},...2,1,,0...|),...,,{(2121n i K x x x x x x x W i n n =∈=+++=是n
K 的子空间.(√) 6. 同一数域上维数相同的两个有限维线性空间一定同构. （√）
7. 若向量组)2(,,,21≥n n ααα 两两线性无关，则n ααα,,,21 线性无关。

（×） 8. 线性空间的维数与它定义的数域无关。

（×）
9. n 阶方阵的行向量组线性无关当且仅当它的行列式不等于零。

（√） 10. 两个等价的向量组必含有相同个数的向量。

（×）
11. 集合},...2,1,,...2|),...,,{(2121n i K x nx x x x x x W i n n =∈===是n K 的子空间.（√） 12 若向量组n ααα,,,21 线性无关，则β可由n ααα,,,21 线性表示。

（×） 13 若β可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21 线性无关。

（×）
二、填空题
1. 若非零向量),,(c b a 与向量)2,3,1(线性相关，则=c b a ::_1:3:2__________.
2. 设)3,1,0(),3,2,1(),2,5,1(C B A --，则CB BA -的坐标是 (-3,4,-1) ．
3. },,|)2,3,,{(R c b a c b a c a W ∈+=是4
R 的子空间，=W dim 3 ．
4. ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=320032221111A 的不等于零的子式的最大阶数是 3 ．
三、计算与证明题
1.证明:行初等变换不改变矩阵A 的列向量组的线性相关性．
证明: 设矩阵A =⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 2
1
22221
11211,则其列向量组为
i α=n i a a a m i i i ,...,2,1),,...,,(21=
经过行初等变换后变为矩阵B =⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n b b b b b b b b b 2
1
222
21
11211
，其列向量组为
i β=n i b b b m i i i ,...,2,1),,...,,(21= …… (3分)
那么，由m
R 中向量的标量乘法与加法以及向量相等的定义知方程 0...2211=+++n n x x x ααα ……(1) 与以A 为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.方程
0...2211=+++n n x x x βββ ……(2) 与以B 为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的.…… (6分)
又由矩阵的行初等变换的定义与线性方程组的初等变换的定义知, 以A 为系数矩阵的齐次线性方程组与以B 为系数矩阵的齐次线性方程组是同解的. 从而，方程(1)与方程(2)是同解的. …… (8分)
因此，向量组n ααα,...,,21与向量组n βββ,...,,21具有相同的线性相关性. …… (10分)
2 证明:向量组)2,0(,,,21≥≠n a n n 其中ααα 线性相关的充分必要条件是存在)1(n i i <≤α可被
n i i ααα,,,21 ++线性表示．
证明 先证充分性. 若存在)1(n i i <≤α可被
n i i ααα,,,21 ++线性表示,即存在一组数
n i i k k k ,,,21 ++使得n n i i i i i k k k αααα+++=++++ 2211, … (1分)
从而有0...)1(00011121=+++-++++++-n n i i i i k k αααααα ， 由线性相关的定义知,
n ααα,,,21 线性相关. …… (3分)
再证必要性.若向量组)2,0(,,,21≥≠n a n n 其中ααα 线性相关,则由定义知,存在一组不全为零的数
n k k k ,,,21 使得02211=+++n n k k k ααα , … (5分)
令}0|min{≠=j k j i ,则n i ≤≤1,且0121====-i k k k .如果n i =,即有
0,0...1321======-n n n k k k k k α从而,又0≠n a ,于是0=n k ,这与n k k k ,,,21 是一组不全为零的数
相矛盾.故有n i <≤1. …… (8分) 因为
0121====-i k k k 且,0≠i k ,所以011=+++++n n i i i i k k k ααα ,于是
)(1
2211n n i i i i i
k k k k αααα+++-
=++++ ,即)1(n i i <≤α可被121,,,-i ααα 线性表示.…… (10分) 3.
设
4
R V =,
),1,3,0,1(),0,4,0,1(),1,1,0,2(321-===ααα)
,,(3211αααL W =，
)3,0,1,1(),2,1,1,3(21-=-=ββ，2W ＝),(21ββL ．求子空间21W W +的基与维数以及交空间21W W 的
基与维数．
解：把21321,,,,ββααα写成列向量,组成矩阵A ,对A 施行行初等变换,化成行阶梯形矩阵:
A =⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛---32101013411100013112→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---1311201121110
0032101
→⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛----771103
32201100032101
→⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---000001100000
11032101 = …(5分)
由此得出121,,βαα是21W W +的一个基，
而3)dim(21=+W W ， ……(7分) 又易见,2dim 1=W ,2dim 2=W 由交空间与和空间的维数定理
知,)dim(dim dim )dim(212121W W W W W W +-+=⋂=1， ……(8分) 由
154γγγ=- 知 21121W W ⋂∈=-αββ，所以1α是21W W ⋂的一个基，
…(10分)
4. 设f 是数域K 上的线性空间V 到W 的一个同构映射，'W 是W 的一个线性子空间，证明:
},')(|{'V v W v f v V ∈∈=是V 的一个线性子空间.
证明 首先因为'W 是线性子空间，所以'0W ∈，而f 是V 到W 的一个同构映射，所以由'0)0(W f ∈=知，φ≠∈'0V ，显然'V 是V 的子集，因此'V 是V 的一个非空子集.……(3分)
又设K b a V ∈∀∈∀,,',βα，则')(),(W f f ∈βα， ……(5分) 由'W 是线性子空间，')()(W bf af ∈+βα，
f 是V 到W 的一个同构映射知，
')()()(W bf af b a f ∈+=+βαβα ……(8分) 从而有'V b a ∈+βα，'V 是V 的一个线性子空间 ……(10分)
5．设12,,
,n ααα线性无关,
（1）若12,,
,n βαβαβα+++线性相关,证明β一定可以由12,,,n ααα线性表示.
（2）若1n α+不能由12,,,n ααα线性表示，证明121,,
,,n n αααα+线性无关.
证明: (1) 若12,,
,n βαβαβα+++线性相关,由定义存在一组不全为零的数n k k k ,...,,21,使得
0)(...)()(2211=++++++n n k k k αβαβαβ， …… (2分) 即有
0...)...(221121=+++++++n n n k k k k k k αααβ，
若0)...(21=+++n k k k ,则上式变为0...2211=+++n n k k k ααα,而n k k k ,...,,21是一组不全为零的数,从而有n ααα...,21线性相关,与已知矛盾,所以
0)...(21≠+++n k k k …… (4分) 进而知,
)...()
...(1
221121n n n k k k k k k αααβ++++++-
=,即β可由n ααα...,21线性表
示. …… (5分)
(2) 设有一组数121,...,,+n k k k ,使得
0...112211=++++++n n n n k k k k αααα, …… (1分)
若01≠+n k ,则易见1n α+能由12,,,n ααα线性表示,与已知矛盾,所以
01=+n k ,…… (3分)
进而有0...2211=+++n n k k k ααα,而n ααα...,21线性无关,因此0...21====n k k k ,由线性无关的定义知, 121,,,,n n αααα+线性无关. …… (5分)
6 若0=+++δγβα，证明 ),,(),,(δγβγβαL L =.
证明 由0=+++δγβα知δγβα---=, 所以，),,(δγβαL ∈，因此
),,(),,(δγβγβαL L ⊆.…… (8分)
类似可证),,(),,(γβαδγβL L ⊆，所以
),,(),,(δγβγβαL L = …… (10分) 可见, ),,(),,(δγβγβαL L = …… (10分)
高代与解几第二章自测题（四）——方程组解的情况
一、判断题
1. 若123,,ααα是某齐次线性方程组的一个基础解系，则133221,,αααααα+++也是该齐次线性方程组的一个基础解系.（√）
2. A a A n m aj ,)(⨯=，的列向量组的秩小于n ，则以A 为系数矩阵的线性方程组有 无数多解。

（×）
3. ,1,)(,2-==>⨯n A a A n n n aj | | ，则以A 为系数矩阵的线性方程组有唯一解。

（√）
二、填空题
1. 若n 元齐次线性方程组的基础解系含有3个解向量,且该方程组系数矩阵的秩为10，则n =____13_____.
2. 若βα,是10元非齐次线性方程组的2个不同的解向量,且该方程组系数矩阵的秩为9，则其一般解为
k k ),(βαα-+为任意常数.
三、计算与证明题
3. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++0
4523,05734,03,
02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及全部解.
解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得
A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-452
30573411110312111
→⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----452304
52304523012111 ……(2分) →⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛00000000004523012111 …(4分)
可知系数矩阵的秩是2，从而方程组的基础解系含325=-=-r n 个解向量．……(6分)
解下面的齐次线性方程组：
⎩⎨
⎧=+++=++++.04523,
025432
54321x x x x x x x x x 取543,,x x x 为自由未知量，令,0,0,1543===x x x 得
T )0,0,1,3/2,3/1(1--=η；再令
,
0,1,0543===x x x 得
T
)0,1,0,3/5,3/1(2--=η；再
令
,
1,0,0543===x x x 得
T )1,0,0,3/4,3/1(3-=η．则321,,ηηη即为方程组的一个基础解系，从而所求齐次线性方程组的全部解为
332211ηηηk k k ++，其中321,,k k k 为任意常． ……(10分 )
6. 设t ηηη,,,21 是某非齐次线性方程组的任意t 个解，证明: 当121=+++t k k k 时，
t t k k k ηηηη+++= 2211也是该方程组的一个解．
证明 设0α是该非齐次线性方程组的一个特解，r ααα,...,,21是它的导出组的一个基础解系，则由非齐次线性方程组的解的结构理论知，
r j t i K l l l l ij r ir i i i ,...,2,1,,...,2,1,,...22110==∈++++=ααααη …… (4分)
从而
t t k k k ηηη+++ 2211
=)...()...(22110121211101r tr t t t r r l l l k l l l k αααααααα++++++++++ … (5分) =r t
i ir i i t i i r l k l k k k k ααα∑∑==++++++1111021...)...(
=r t
i ir i i t
i i l k l k ααα∑∑==+++
11110...
…… (8分)
由非齐次线性方程组的解的结构理论知t t k k k ηηηη+++= 2211仍是该线性方程组的一个解.
…… (10分)
7. 设0η是某非齐次线性方程组的一个解，r ηηη,...,,21是它的导出组的一个基础解系，证明：η是这个非齐次线性方程组的解的充分必要条件是存在r+1个数1),
,...,2,1,0(0
==∑
=r
i i i k r i k ，使得
)(...)()(020210100r r k k k k ηηηηηηηη+++++++= 线性相关.
证明: 首证充分性
设)(...)()(020210100r r k k k k ηηηηηηηη+++++++=，其中
10
=∑
=r i i k ，则
=+++++++=r r r k k k k k k ηηηηη...)...(2211010r r k k k ηηηη++++...22110，由0η是该非齐次线性方
程组的一个解，r ηηη,...,,21是它的导出组的一个基础解系以及非齐次线性方程组的解的结构理论知，η是这个非齐次线性方程组的解. …… (5分)
下证必要性
设η是这个非齐次线性方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构理论知, r r l l l ηηηηη++++=...22110,因此，
)(...)()()...1(020*******r r r l l l l l l ηηηηηηηη+++++++----=，令 ),...,2,1(r i l k i i ==，r l l l k ----=...1210，则
)(...)()(020210100r r k k k k ηηηηηηηη+++++++=，且10=∑=r
i i k .
…… (5分)
4. 解线性方程组
123412341234
21,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪
+-+=⎨⎪+--=⎩
解 方程组的增广矩阵为：
B =
⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 1
21⎥⎥⎥⎦
⎤
，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：
B
r
⎢⎢⎢
⎣⎡211000010000- 1
00⎥⎥⎥⎦
⎤
，………………………….....…… 8分 从而得方程组的解为
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
4
321x x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤= ⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
+ 1c ⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-0021⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
+ 2c ⎢⎢⎢
⎢⎣⎡0110⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
，,1c 2c 为可取任意值的参数。

.……………………….....…… 10分
5. 问常数k 取何值时, 方程组
⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243
21
2321321x x x k x kx x kx x x
无解,有唯一解, 或有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其一般解。

解 A = -（k+1）（k - 4）。

…………….…….….…………………. ...3分 当 A ≠0，即 k ≠-1，且 k ≠ 4 时，方程组有唯一解。

…………. ...5分
k = -1时，⎢⎢⎢⎣⎡-111
4
21111411----⎥⎥⎥⎦
⎤→⎢⎢⎢⎣⎡00183
25
0041
1
---⎥⎥⎥⎦
⎤
，方程组无解。

...7分 k = 4时，⎢⎢⎢⎣⎡-111 4211614441--⎥⎥⎥⎦
⎤→⎢⎢⎢⎣⎡001 00
0411441⎥⎥⎥
⎦
⎤，……………..…..9分 方程组的一般解解为：
[x 1，x 2，x 3] T = [0，4，0] T + t [-3，-1，1] T ，
t 为可取任意值的参数。

……………………………..……….……..…....10分
6. 证明 构造矩阵
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=---n n n n n n a a a a a a a a a A ,12
,11
,122221
11211111
，则矩阵A 的第一行元素的代数余子式依次为
n n n M A M A M A 11212111)1(,...,,--=-==
(1)根据行列式展开式的性质，从第二行起，每一行元素与第一行对应元素的代数余子式相乘相加的等于零，有1,...,2,1,0...1122111-==+++n i A a A a A a n in i i ，亦即 1,...,2,1,0))1((...)(12211-==-++-+-n i M a M a M a n n in i i 这说明 ))1(,...,,(121n n M M M ---是方程组的一个解…… (5分)
(2) 如果这个线性方程组的系数矩阵的秩是1-n ，而它含未知量的个数是n ，故，此齐次线性方程组的基础解系所含向量个数是1，进而知任何一个非零解向量都构成一个基础解系.
而此线性方程组的系数矩阵的秩是1-n ，由秩的定义知，存在一个1-n 阶子式不等于零，又),...,,(21n M M M 系数矩阵的全部1-n 阶子式，因此存在}),...,2,1{,0n j M j ∈≠.结合（1）的结论知
))1(,...,,(121n n M M M ---是方程组的一个非零解，从而就是它的一个基础解系，所以方程组的解全是
))1(,...,,(121n n M M M ---的线性组合，即它的倍数…… (5分)。