高三数学复习课件【二次函数与幂函数】
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A.3
B.1- 2
C. 2-1
D.1
解析:设幂函数f(x)=xα,则f(9)=9α=3,即α=
1 2
,所以f(x)
1
=x 2 = x,所以f(2)-f(1)= 2-1,故选C.
答案:C
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2.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2+m-1)x-5m-3为减函数,
则实数m的值为
()
A.-2
B.1
C.1或-2
D.m≠-12± 5
解析:因为函数y=(m2+m-1)x-5m-3既是幂函数又是(0,+∞)
上的减函数,所以m-25+mm--3<10=,1, 解得m=1. 答案:B
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4
2
1
3.已知a=3 5 ,b=4 5 ,c=12 5 ,则a,b,c的大小关系为( )
A.b<a<c
B.a<b<c
C.c<b<a
当k<0时,
2 k
<0,此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧,该函数
y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是减函数,不符合要求.综上可得实
数k的取值范围是[2,+∞).答案:A
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[题型技法] 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研 究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论. (2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调 递增),则A⊆ -∞,-2ba A⊆-2ba,+∞ ,即区间A一定 在函数对称轴的左侧(右侧).
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课 堂 考点突破
练透基点,研通难点,备考不留死角
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考点一 幂函数的图象与性质 [考什么·怎么考]
高考中对幂函数的概念、图象及性质的考查难 度不大,一般以选择题、填空题的形式呈现,其中 幂函数的图象、利用幂函数性质求参数范围,结合 指数、对数比较大小等问题较常见.
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1.已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)= ( )
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解:法一:(利用二次函数的一般式) 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
4a+2b+c=-1, 由题意得a4- ac4-ba+b2c==8-,1,
解得ba==4-,4, c=7.
故所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7.
法二:(利用二次函数的顶点式) 设f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x=2+2-1=12. ∴m=12,又根据题意函数有最大值8,∴n=8, ∴y=f(x)=ax-122+8. ∵f(2)=-1,∴a2-122+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.
D.c<a<b
1
1
1
1
解析:因为a=81 5 ,b=16 5 ,c=12 5 ,由幂函数y=x 5 在
(0,+∞)上为增函数,知a>b>c,故选C.
答案:C
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1
1
4.若(a+1) 2 <(3-2a) 2 ,则实数a的取值范围是________.
1
解析:易知函数 y=x 2 的定义域为[0,+∞),在定义域内为
同一直角坐标系中的开口大小.
()
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
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2.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是 ()
解析:令f(x)=xα,则4α=2,∴α=
1 2
,∴f(x)=x
1 2
,则f(x)的
图象如选项C中所示.
答案:C
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3.函数f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,且在x∈(0,+∞)上
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6.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为 [a-1,2a],则y=f(x)的值域为________. 解析:因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,所以其定义域 [a-1,2a]关于原点对称,所以a-1=-2a,所以a=13,因为 f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,即f(-x)=f(x),所以b=0, 所以f(x)=13x2+1,x∈-23,23,其值域为1,3217. 答案:1,3217
1
(1)函数y=2x 3 是幂函数.
()
(2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数. ( )
(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数. ( )
(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是4ac4-a b2.
() (5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在
<m,f(x)在[m,n]上是
[解题师说] 求二次函数解析式的方法
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[冲关演练]
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已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为
2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,
∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
常见的命题角度有: 1二次函数图象的识别; 2二次函数的单调性问题; 3二次函数的最值问题; 4与二次函数有关的恒成立问题.
[题点全练]
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角度(一) 二次函数图象的识别
1.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系
中的图象大致是 ( )
解析:若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2
二次函数与幂函数
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过基 础知 识
1.五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
y=x
性质
y=x2
y=x3
y=x
返回 y=x-1
图象
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
_R__
_R__
_R__ _{_x_|_x_≥__0_}_ __{_x_|x_≠___0_}_
_R__ _{_y_|y__≥__0_}_
_R__
返回
角度(三) 二次函数的最值问题
3.若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小
ห้องสมุดไป่ตู้
值是 m,则 M-m ( )
A.与 a 有关,且与 b 有关
B.与 a 有关,但与 b 无
关
C.与 a 无关,且与 b 无关
D.与 a 无关,但与 b 有
关
返回 解析: f(x)=x+a22-a42+b, ①当0≤-a2≤1时,f(x)min=m=f-a2=-a42+b,f(x)max=M= max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b}, ∴M-m=maxa42,1+a+a42与a有关,与b无关; ②当-a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增, ∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关;
_{_y_|y__≥__0_}_ _{_y_|_y_≠__0_}__
_奇__
偶___
_奇__ 非___奇__非__偶__
_奇__
(-∞,0)
_增__
减,(0, +∞)增
_增___
(-∞,0)和 _增___ (0,+∞)减
_(_1_,1_)_
2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)= ax2+bx+c(a≠0) ; 顶点式:f(x)= a(x-h)2+k(a≠0) ; 两根式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) .
f(x)的最小值在对称轴处取得,其最小值是f -2ba =
4ac-b2 4a
;若-
b 2a
≤
m+n 2
,f(x)的最大值为f(n);若-
b 2a
≥m+2 n,f(x)的最大值为f(m).
返回 (2)当-2ba∉[m,n],即给定的区间在对称轴的一侧时:
f(x)在[m,n]上是单调函数.若-
b 2a
返回
(2)二次函数的图象与性质
返回
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域 值域
(-∞,+∞) 4ac4-a b2,+∞
(-∞,+∞) -∞,4ac4-a b2
返回 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)
∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又∵f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),
即f(x)=x2-4x+3.
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考点三 二次函数的图象与性质
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低. 常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高 考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,考查二次函 数的图象与性质的应用.
③当-a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减, ∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关. 综上所述,M-m与a有关,但与b无关.
答案:B
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[题型技法] 求二次函数在给定区间上最值的方法
二次函数f(x)=ax2+bx+c(不妨设a>0)在区间[m,n]上
的最大或最小值如下:
(1)当-2ba∈[m,n],即对称轴在所给区间内时:
为增函数,则实数m的值是
()
A.-1
B.2
C.3
D.-1或2
解析:∵f(x)=(m2-m-1)xm是幂函数,
∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.
又f(x)在x∈(0,+∞)上是增函数,所以m=2.
答案:B
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4.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范
围是
()
A.0,210
角度(二) 二次函数的单调性问题
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2.若二次函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数,则
实数k的取值范围为
()
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,0)
D.(-∞,2)
解析:二次函数y=kx2-4x+2的对称轴为x=
2 k
,当k>0时,要使
函数y=kx2-4x+2在区间[1,2]上是增函数,只需2k≤1,解得k≥2.
增函数,所以
a3+ -12≥ a≥0,0, a+1<3-2a,
解得-1≤a<23.
答案:-1,23
[怎样快解·准解]
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1.幂函数的图象与性质
幂函数y=xα的图象和性质因α的取值不同而不同,一般
可从三方面考察:
(1)α的正负:α>0时图象经过(0,0)点和(1,1)点,在第一象
限的部分“上升”;α<0时图象不过(0,0)点,经过(1,1)点,在
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法三:(利用两根式) 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值ymax=8,即4a-2a4-a 1-a2=8. 解得a=-4或a=0(舍去), 故所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
单调性
在 -2ba,+∞ 上单 在 -∞,-2ba 上单
调递增;
调递增;
在 -∞,-2ba 上单调 在-2ba,+∞上单调
递减
递减
奇偶性 当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数
顶点
-2ba,4ac4-a b2
对称性
图象关于直线 x=-2ba 成轴对称图形
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过基础小题
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1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
B.-∞,-210
C.210,+∞
D.-210,0
解析:由题意知aΔ><00,, 即a1>-02,0a<0, 解得a>210.
答案:C
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5.已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区间[-4,6]上是单调 函数,则实数a的取值范围为________. 解析:由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a, 所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数, 应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. 答案:(-∞,-6]∪[4,+∞)
利用幂函数单调性进行比较
既不同底 常常找到一个中间值,通过比较两个幂值 又不同指 与中间值的大小来判断两个幂值的大小
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考点二 求二次函数的解析式 高考单独考查求二次函数的解析式较少,大多同 其性质一同考查,多结合图象求解,难度中等.
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[典题领悟] 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的 最大值是8,试确定此二次函数的解析式.
+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,一次函数y=ax
+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可
排除D;对于选项B,看直线可知a>0,b>0,从而-
b 2a
<0,而
二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,选C. 答案:C
[题型技法] 识别二次函数图象应学会“三看”
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第一象限的部分“下降”;
(2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1时曲线下凹,0<α<1时
曲线上凸,α<0时曲线下凹;
(3)函数的奇偶性:一般先将函数式化为正指数幂或根式
形式,再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.
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2.比较幂值大小的常见类型及解决方法
同底不同指
利用指数函数单调性进行比较
同指不同底