2019年数学高考试卷(及答案)

2019年数学高考试卷(及答案)
一、选择题
1．如图所示的圆锥的俯视图为（）
A．B．C．D．
2．若复数
2
1i
z=
-
，其中i为虚数单位，则z=
A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i
3．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是
（）
A．①③④B．②④C．②③④D．①②③
4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a=（）
A．0B．2C．4D．14
5．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π
)+2的图象向右平移43
π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是
A ．
23
B ．43
C ．32
D ．3
6．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）
A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
7．设向量a ，b 满足2a =，||||3b a b =+=，则2a b +=（ ） A ．6
B ．32
C ．10
D ．42
8．设i 为虚数单位，复数z 满足21i
i z
=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i
B ．-1-i
C ．1+i
D ．-1+i
9．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2
f x x x m π
=+-在上有两个零点，则m 的取值范围是
A ．（1,2）
B ．[1,2）
C ．（1,2]
D ．[l,2]
10．在如图的平面图形中，已知
1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为
A ．15-
B ．9-
C ．6-
D ．0
11．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）
A 513x <<
B 135x <
C ．25x <<
D 55x <<
12．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，
()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3
2
BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）
A ．
12
B ．
12
2
± C ．
110
2
± D ．
32
2
± 二、填空题
13．设函数()21
2
log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
__________．
14．复数()1i i +的实部为 ．
15．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21
,,36
BE BC DF DC =
=则AE AF ⋅的值为 ． 16．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．
17．已知直线：与圆
交于两点，过分别作的垂线与
轴交于
两点.则
_________.
18．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____． 19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
20．如图，已知P 是半径为2，圆心角为
3
π
的一段圆弧AB 上一点，2A B B C =，则PC PA ⋅的最小值为_______．
三、解答题
21．
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；
（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.
22．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，
1
cos 3
B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值； （2）cos()B C -的值.
23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0
2000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以
下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所
示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000
8000的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽
取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 24．已知()11f x x ax =+--.
（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；
（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围. 25．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；
（2）如果关于x 的不等式2
()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
找到从上往下看所得到的图形即可．
【详解】
由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C.
【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B，属于基础题.
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：
22(1i)
1i,1i 1i(1i)(1i)
z z
+
===+∴=-
--+
，选B.
【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解.
【详解】
由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A.
【点睛】
本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由a=14，b=18，a＜b，
则b变为18﹣14=4，
由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．
5．C
解析：C 【解析】 函数sin 23y x πω⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移43
π
个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx π
πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=-
++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
所以有4333
20132
22
w k
k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=
≥ 故选C
6．C
解析：C 【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
3=，求得2a b ⋅=-，再根据向量模的运算，即可求解． 【详解】
∵向量a ，b 满足2a =，3b a b =+=3=，解得2a b ⋅=-．
则2
2
224424a b a b a b +=++⋅=+．故选D ． 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，及向量的模的运算问题，其中解答中熟记向量的数量积的运算和向量的模的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则解得1i
z=-+，结合共轭复数的概念即可得结果.【详解】
∵复数z满足2
1
i
i
z
=-，∴
()
()()
21
2
1
111
i i
i
z i
i i i
+
===-
--+
，
∴复数z的共轭复数等于1i
--，故选B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：利用辅助角公式化简函数为
()3sin2cos2
f x x x m
=+-,令,则,所以此时函数即为.令有,根据题意可知在上有两个解,根据在函数图像可知,
.
考点：辅助角公式;;零点的判断;函数图像.
10．C
解析：C
【解析】
分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由2,2BM MA CN NA == 可知点,M N 分别为线段,AB AC 上靠近点A 的三等分点， 则()
33BC MN ON OM ==-， 由题意可知：
2
211OM ==，12cos1201OM ON ⋅=⨯⨯=-，
结合数量积的运算法则可得：
()
2
333336BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-=--=-.
本题选择C 选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
11．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐
角为角α，根据余弦定理得22223
cos 04x x
α+-=>，解得5x >x 边对的锐角为
β，根据余弦定理得222
23cos 012
x β+-=>，解得013x <<x 的取值范
513x << A. 考点：余弦定理.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】
∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，
∴()()
BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅
()()22
11AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅
()()232441212222
λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1
2λ=.
故选：A. 二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,
)
【解析】 【分析】 【详解】
由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220
log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪
⇒⎨>⎪⎩
或
11
a a a a
<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.
14．【解析】复数其实部为考点：复数的乘法运算实部 解析：1-
【解析】
复数(1)11i i i i +=-=-+，其实部为1-. 考点：复数的乘法运算、实部.
15．【解析】在等腰梯形ABCD 中由得所以考点：平面向量的数量积
解析：
29
18
【解析】 在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=得
12AD BC ⋅=
,1AB AD ⋅=,1
2
DC AB =,所以()()
AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+ 22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.考点：平面向量的数量积.
16．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所
解析：1
【解析】 【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h
==
，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19
'23h h
⋅⋅=， 所以
'2
3
h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13
h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111
'91339
S h ⋅=⋅=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1
V 3S h =
底
，本题是中档题． 17．4【解析】试题分析：由x-3y+6=0得x=3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6=0解得y1=23y2=3所以x1=0x2=-3所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=23又直线l 的
解析：4 【解析】 试题分析：由
，得
，代入圆的方程，整理得，解得
，所以
，所以
．又直线的倾斜角为
，由平面几何知识知在梯
形
中，
．
【考点】直线与圆的位置关系
【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
18．1【解析】【分析】由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程解方程即可确
定AC 的值【详解】由余弦定理得解得或（舍去）【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形的方法方程的数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计
解析：1 【解析】 【分析】
由题意利用余弦定理得到关于AC 的方程，解方程即可确定AC 的值. 【详解】
由余弦定理得21393AC AC =++，解得1AC =或4AC =-（舍去）. 【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
1015
π
【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23
SBA ∠=
,
∴sin
3
SBA ∠=
，∴132sin r SBA ==∠，∴1r =，又OF=12AD =, 可得222
1R r OF =+，
计算得，2
81101
12020R =
+= ， 所以2
101
45
S R ππ==. 故答案为
101
.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
20．5﹣【解析】【分析】设圆心为OAB 中点为D 先求出再求PM 的最小值得解【详解】设圆心为OAB 中点为D 由题得取AC 中点M 由题得两方程平方相减得要使取最小值就是PM 最小当圆弧AB 的圆心与点PM 共线时PM 最
解析：5﹣【解析】 【分析】
设圆心为O,AB 中点为D,先求出2
2219
44
PC PA PM AC PM ⋅=-=-，再求PM 的最小值得解. 【详解】
设圆心为O,AB 中点为D, 由题得22sin
2,36
AB AC π
=⋅⋅=∴=.
取AC 中点M ，由题得2PA PC PM
PC PA AC
⎧+=⎨-=⎩,
两方程平方相减得2
221944
PC PA PM AC PM ⋅=-
=-， 要使PC PA ⋅取最小值，就是PM 最小， 当圆弧AB 的圆心与点P 、M 共线时，PM 最小.
此时DM=
1,22
DM ∴==
,
所以PM 有最小值为2，
代入求得PC PA ⋅的最小值为5﹣
故答案为5﹣
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题
21．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】
(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两
球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以2
0.50.40.50.60.5P X
(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”
所以4
0.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X
【点睛】
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事
件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档
题．
22．（1）3,2a c ==；（2）2327
【解析】
试题分析：（1）由2BA BC ⋅=和1
cos 3
B =
，得ac=6.由余弦定理，得2213a c +=. 解
，即可求出a ，c ；（2） 在ABC ∆中，利用同角基本关系得
22
sin .3
B =
由正弦定理，得42
sin sin c C B b =
=
，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此27
cos 1sin 9
C C =-=
，利用cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+，即可求出结果. （1）由2BA BC ⋅=得，
，又1
cos 3
B =
，所以ac=6.
由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+. 又b=3，所以2292213a c +=+⨯=. 解
，得a=2，c=3或a=3，c=2.
因为a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在ABC ∆中，2212
sin 1cos 1()33
B B =-=-= 由正弦定理，得22242
sin sin 3c C B b =
==
a b c =>，所以C 为锐角，因此22427cos 1sin 1(
)99
C C =-=-=.
于是cos()cos cos sin sin B C B C B C -=+=17224223
3927
⋅+=
. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3
5
． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】
（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为
26
40026040
⨯
=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3⨯=，所以男生的人数为为200.36⨯=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友
中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2
615n C ==种，
至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，
∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263
15
C P C =-=．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等
知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 24．（1）12x x ⎧⎫
>
⎨⎬⎩⎭
；（2）(]0,2 【解析】
分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化
为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集
为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭；
(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为
()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,
2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪≥⎩
故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭．
（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以2
1a
≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]
0,2．
点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果. 25．（1）{}|37x x -≤≤；（2）(],9-∞. 【解析】 【分析】
（1）分别在1x ≤-、15x -<<、5x ≥三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将不等式变为()()2
7a f x x ≤+-，令()()()2
7g x f x x =+-，可得到分段函数()g x 的解析式，分别在每一段上求解出()g x 的最小值，从而得到()g x 在R 上的最小值，进而利用()min a g x ≤得到结果.
【详解】
（1）当1x ≤-时，()154210f x x x x =--+-=-≤，解得：31x -≤≤- 当15x -<<时，()15610f x x x =++-=≤，恒成立 当5x ≥时，()152410f x x x x =++-=-≤，解得：57x ≤≤ 综上所述，不等式()10f x ≤的解集为：{}
37x x -≤≤ （2）由()()2
7f x a x ≥--得：()()2
7a f x x ≤+-
由（1）知：()42,16,1524,5x x f x x x x -≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
令()()()
22
221653,171455,151245,5x x x g x f x x x x x x x x ⎧-+≤-⎪
=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
当1x ≤-时，()()min 170g x g =-= 当15x -<<时，()()510g x g >= 当5x ≥时，()()min 69g x g == 综上所述，当x ∈R 时，()min 9g x =
()a g x ≤恒成立 ()min a g x ∴≤ (],9a ∴∈-∞
【点睛】
本题考查分类讨论求解绝对值不等式、含绝对值不等式的恒成立问题的求解；求解本题恒成立问题的关键是能够通过分离变量构造出新的函数，将问题转化为变量与函数最值之间的比较，进而通过分类讨论得到函数的解析式，分段求解出函数的最值.。