等差数列前n项和公式课件

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例1 如图，一个堆放铅笔的 V形
架的最下面一层放一支铅笔，往 上每一层都比它下面一层多一支， 最上面一层放120支。这个V形架 上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅
笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记
为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前n项 和的公式，得
120 (1120)
S120
2
7 260
答：V形架上共放着 7 260支铅笔。
7
例2 等差数列 10，6，2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是 Sn，
则a1= 10，d= 6(10) 4,设 Sn=54， 根据等差数列前 n项和公式，得
10n n(n 1) 4 54 n2 6n 27 0
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和。
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下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
(m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq
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问题1：1+2+3+…+100=？
这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年） 10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
2
n19，n23 (舍去) 等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。
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例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和? 分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式
解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） × 18=144 答:前16项的和为144。
❖ 解：
9，n 1
a n 2n 2，n 2
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复习回顾
(1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d
已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d,
d=（an-am）/（n-m）（mn) (2) 等差数列的性质: 在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
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巩固练习
1：在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等 差数列,求这10个数的和。
解法1：S
Sn
(a
b)
12 (a 2
b)
(a
b)
5(a
b)
解法2：
x1
x10
a
b, S
10 (x1 2
x10 )
5(a
b)
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即 Sn=n(a1+an)/2 即前n项的和与首项末项及项数有关 若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？
因为 an= a1+（n-1）d
所以 Sn=na1+n (n-1)d/2 4
由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
Sn
n(a1 an ) 2
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
数列的前N项和定义
❖ 对于任意的数列{a n} ，其前n项和为
sn a1 a 2 a3 a n-1 a n
❖ sn-1 a1 a 2 a3 a n-1 （n>1）
❖ 所以有
an
ss1n，- snn
1 1，n
2
❖ 数列的通项公式与其前n项和的关系。
❖ 可用它来求解数列的通项公式
❖ 例：数列 {a n}的前n项和为sn n2 3n 5 ，求其通项公式。
由等差数列的通项公式 an = a1+(n-1)d
上面的公式又可以写成
Sn
na1
n(n 1) d 2
5
变形式：可以看成关于N的无常数项 的一元二次函数
Sn
d 2
n2
（a1
-
d ）n 2
公式共涉及到5个量：a1, d, n, an, Sn.已知其中3个可求另2个
知三求二
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。