一元二次方程中列方程(组)解应用题

第十二章 一元二次方程中列方程（组）解应用题

【教学目标】

能正确分析出应用问题中的数量关系,会通过列方程（组）解应用题. 【知识讲解】

一、列方程（组）解应用题的一般步骤有:

（1）审题.弄清题中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量与未知量之间有哪些关系，有些应用题还需通过画示意图来帮助我们分析.

（2）设未知数,列出相关代数式. 设未知数分为直接设未知数和间接设未知数，可根据题目的需要采取适当的设法. （3）找等量关系列方程（组）. （4）解方程（组）.

（5）检验.一要检验所得的未知数的值是不是方程的解,二要检验所得的未知数的值是否符合题意. （6）写出答案.

二、应用题通常可根据不同的文字表述分为如下几种类型,每种类型常用到一些基本等量关系式，归纳如下： （1）行程问题：路程=速度×时间，顺流逆流航行问题中：顺流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速； （2）工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （3）百分率问题：新数=基数×(1±百分率)

（4）存款利率问题：利息=本金×利率×所存期数，本息和=本金+利息=本金×（1+利率×所存期数） （5）商品利润问题：利润=成本价（或买入价）×利润率，销售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率） 【例题讲解】

例1.某校办工厂生产一种产品，第一季度产量为25件，通过技术革新，二、三季度产量都比前一季度增长一个相同的百分率，这样到第三季度时三个季度共生产91件产品，求增长的百分率.

解：设增长的百分率为x ，则第二季度产量为25(1+x)件，第三季度产量为25(1+x)2

件，根据题意得：

25+25(1+x)+25(1+x)2

=91 1+x=1.2 或 1+x=－2.2

解得 x 1=0.2=20%,x 2=－3.2 （舍去） 答：增长的百分率为20%.

例2.A 、B 两地相距900千米，甲、乙两车分别由A 、B 两地同时出发相向而行，它

们在途中C 处相遇，相遇后甲再过4小时到达B 地，乙再过16小时到达A 地，求A 、B 距离及两车速度.

分析:据题意可找出以下两个等量关系:

(1)相遇时两车所走的路程之和为900千米（路程关系） (2)两车从出发到相遇所经过的时间相等（时间关系） 根据这两个等量关系可列出方程组.

解: 设甲、乙两车的速度分别为每小时x 千米和每小时y 千米,则

⎪⎩

⎪

⎨⎧==+y 4x x 16y 90016y 4x

解这个方程组，得 ⎩⎨

⎧-==⎩⎨

⎧==112.5

y 225

x 37.5y 75x 2211 经检验⎩

⎨⎧-==112.5y 225

x 不合题意，舍去 ∴AC=16y=16×37.5=600(千米)

答：甲、乙车速度各为75千米/小时，37.5千米/小时，AC 距离为600千米.

例3.某项工程，若甲单独做2天后，剩下部分由乙去做，则乙还需要做的天数等于甲单独做完此项工程的天数；若乙单独做2天后，剩余的工程由甲去做，则甲还需3天完成.问甲、乙单独完成此工程各需多少天？

解:设甲单独完成此项工程需x 天,乙单独完成此项工程需y 天,则

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧=+=+1x

3y 21y x

x 2 设B y 1 A,x 1== 则原方程变为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1

2312B A A

B A 解得⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==1B 1A 81

B 4

1A 2211 （不合题意应舍去） ∴⎩⎨⎧==8y 4x

答：甲、乙单独完成此项工程各需4天和8天.

例4.甲、乙两店以同样价格进同一种货物，甲店以20%的利润加价出售，共获利12000

元，乙店以10%的利润加价出售，十分畅销，在相同时间，销售量乙店比甲店多100件，因而总利润比甲店多4000元，问甲、乙两店各售出多少件？每件的售价各多少元？

解:设甲店售出x 件，每件商品的进价为y 元，则乙店共售出(x+100)件，甲店每件售出价为y(1+20%)元，乙店每件售价为y(1+10%) 元,则

⎩

⎨

⎧+=+⋅+=+⋅40001200010%)y(110%)(x 12000

20%)y(1x

解得：⎩⎨

⎧==1000

y 60

x

答：甲店售出60件，每件售价1200元，乙店售出160件，每件售价1000元.

分析：由于题目中给出的桶一开始装满纯农药液体，所以该桶的容积就是一开始的纯农药液体量，不妨设该桶的容积为x 升，则第一次倒出5升后，桶内的纯农药量变为（x －5）升，此时用水加满，桶内就不再是纯农药液体，纯农药的浓度变为x

x 5

-×100%；第二次倒出的5升中含纯农药量为5×（

x

x 5

-×100%）. 解: 设该桶的容积为x 升,根据题意得

x x x x 25

16

555=-⨯

-- 解这个方程，得 x 1＝25，x 2＝9

25

经检验:x ＝9

25

＜5 不合题意，舍去.

答:桶的容积为25升.

说明:解应用题所得的解不仅要适合列出的方程，同时还要考虑符合应用题的实际.

例6．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月用电量不超过A 度,那么这个月只要交10元用电费，如果超过了A 度，则这个月除了仍要交10元用电费外,超出部分还要按每度0.01A 元交费.

(1)该厂某户居民2月份用电90度,超过了规定的A 度,则超过部分应交电费 元(用A 表示)

分析：这是一道与日常生活密切相关的图表信息类应用题,这种类型的问题是近几年中考中较热门的问题,值得同学们关注. 解: (1)0.01A ×(90-A)

(2) 根据图表提供的信息可得: 0.01A ×(80-A)+10=25 解之得:A 1=30, A 2=50

由于用电45度时只需交费10元, 所以用电30度时不可能交费25元. 答: 电厂规定的A 度为50度.

例7．先根据要求编写应用题,再解答你编写的应用题. 编写要求： （1） 编写一道应用题,根据题意,你列出的方程为：

3120

2120=--x

x （2）所编写应用题表述完整,题意清楚,联系生活实际,且其解符合实际.

分析：这是一道开放型问题,要求学生联系生活实际给出一道符合方程要求的应用题,对学生的能力要求比较高.可编写如下: 行程问题:

①A 、B 两地相距120千米，甲、乙二人同时从A 地到B 地，甲比乙每小时慢2千米，结果比乙晚3小时到达，求乙的速度. ②一轮船顺流下行120千米,然后逆流返航,已知水速1千米/小时,逆流比顺流多化3小时,求顺流速度. 工程问题:

③挖长120米的渠道,开工后每天比原计划多挖2米,结果提前3天完成任务,求实际每天挖多少米?

④为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡上种植120棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种2棵，结果提前3天完成任务，实际每天种多少棵？

⑤为了庆祝北京申办2008年奥运会的成功，某小组学生争取到制作120面彩旗的任务，有2名学生因故没能参加制作，因此这个小组的其余学生人均要比原计划多做3面彩旗才能完成任务，问这个小组有多少名学生？

购物问题:

⑥购买A 、B 两种信封，A 比B 每个便宜2分，A 比B 多买了3个，结果都花了1元2角,求B 种信封的单价. (解略)

【一周一练】 一、选择题：（每小题4分，计20分）

1.某件上衣标价为132元，若降价以9折出售，仍可获利10%，则该上衣的进货价是( ) A 、108元 B 、105元 C 、106元 D 、118元

2.为庆祝建国五十三周年，国庆期间某商场的电视一律按原价九折销售（即降价10%），若要使销售总收入不变，那么销售量应增加（ ）

A 、81

B 、91

C 、101

D 、111

3.要在规定日期内完成一项工程，如甲队独做，刚好按期完成；如乙队独做，则要 超过规定时间3天才能完成；甲乙两队合作两天，剩下的工程由乙队独做，则刚好按期完成，那么求规定日期为x 天的方程是（ ）.