河北省正定中学2022-2023学年高二下学期月考四数学试题

C．AB 与平面 α 所成角的正弦值的范围为
6, 6
2
2
D．若 M α 且 CM MC1 ，则平面 α 截正四棱柱所得截面多边形的周长为 3 2
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三、填空题 13．某高中共有学生1200 人，其中高一､ 高二､ 高三的学生人数比为 6 : 5 : 4 ，现用分层
抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为 60 的样本，则高三年级应该抽取人.
C，D，E，F 都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为（ ）
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A． 11π 8
B． 11π 6
C． 11π 4
D． 11π 2
二、多选题 9．已知复数 z 满足 (2 i)z 1 3i ，则（ ）
A．| z | 2
B．z 满足方程 z2 2z 2 0
C． z4 4 D． z z 在复平面内对应的点位于第二象限
A．2 C．4
B．3 D．5
2．若复数 z a2 4 a 2i 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．2
B．2 或 2
C． 2
D． 4
3．已知三条不同的直线 l, m, n 和两个不同的平面, ，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 m / /, n / / ，则 m // n
B．若 l / /, m ，则 l // m
10．下列说法正确的是（ ）
A．用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 5 的样本，则
个体 m 被抽到的概率是 0.1
B．已知一组数据 1，2，3，3，4，5 的众数等于中位数
C．数据 27，12，14，30，15，17，19，23 的第 70 百分位数是 21
D．若一个样本容量为 8 的样本的平均数为 5，方差为 2.现样本中又加入一个新数
河北省正定中学 2022-2023 学年高二下学期月考四数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 M 2,3, 4，N x Z x2 8x 12 0 ，则 M N 中元素的个数是（ ）
6
(1)若 BAC π ，证明： DE ⊥ AB ； 6
(2)当二面角 D SC A的正切值为 6 时，求点 B 到平面 SCD 距离的最大值.
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据 5，此时样本容量为 9，平均数不变，方差为变小
11．将函数 y sin x 图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ，纵坐标不变，再将所得图象 4
向左平移 π 个单位长度得到函数 y f x 的图象，则（ ）
24
A．
f
π 60Biblioteka B． y f x 的图象相邻两条对称轴间距离为 π
4
C．
f
x
等边三角形，且平面 PAD 平面 ABCD ，E 为棱 PC 上一点，若平面 EBD 平面 ABCD ， 则 PE .
EC
四、解答题
r
r
17．已知向量 a 1,3 ， b 2,1 .
(1)求向量
r a
与
r b
夹角的余弦值；
(2)若向量
r a
r b
与
r a
r kb
互相垂直，求
k
的值.
18．在 VABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， b2 c2 a2 bc .
学生的竞赛成绩的标准差为 ，估计全校学生中竞赛成绩在 x , x 内的人数．
20．如图，已知三棱柱 ABC ABC 的侧棱垂直于底面， AB AC 2 ， BAC 90， 点 M，N 分别为 AB 和 BC 的中点.
(1)若 AA 2 ，求三棱柱 ABC ABC 的体积； (2)证明： MN // 平面 AACC ； (3)请问当 AA 为何值时， CN 平面 AMN ，试证明你的结论. 21．重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大 “火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄 O （如图）.为吸引游客，准备在门前两 条夹角为 （即 AOB ）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的
C．若 ,l ，则 l
D．若 l / /, l ，则
4．函数
f
x
4cos x 2x 2x
的部分图象大致为（
）
A．
B．
C． D．
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5．已知圆锥的表面积为 6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
A． 2
B． 1
C． 2
D．
6．如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PA AB ，
6 凉爽感，已知弓形花园的弦长 AB 2 3 且点 A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为 M ， 且 MAB MBA ，设 OBA .
6
（1）将 OA ， OB 用含有 的关系式表示出来； 试卷第 5 页，共 6 页
（2）该山庄准备在 M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即 OA ， OB 长度），才使得喷泉 M 与山庄 O 距离即值 OM 最大？ 22．如图四棱锥 S ABCD, AC 2, B, D 在以 AC 为直径的圆上， SA 平面 ABCD, DAC π , E 为 SC 的中点，
在
5π 12
,
π 2
上单调递减
D．
f
x
在
0,
π 4
上的值域为
1 2
,1
12．已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面边长为 1，侧棱长为 2，点 M 为侧棱 CC1 上的
动点（包括端点）， AM 平面 α .下列说法正确的有（ ）
A．异面直线 AM 与 B1C 可能垂直 B．直线 BC 与平面 α 可能垂直
14．已知 tan 2 ，则 sin 2 cos2 ．
15．已知平面向量ur
ur ，
（ur
r 0
ur ，
ur
）满足 |
ur
| 1，且ur
与
ur
ur
的夹角为120 ，
ur 则| | 的最大值是.
16．如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，DAB ，侧面 PAD 是 3
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a 2 ， VABC 的面积为 2 3 ，求 VABC 的周长. 3
19．为弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，助力 2022 年冬奥会和冬残奥会，某校
组织全体学生参与“激情冰雪—相约冬奥”冰雪运动知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随
机抽取若干名学生的竞赛成绩，均在 50 到 100 之间，将样本数据分组为50,60 ，60,70 ，
70,80 ，80,90 ，90,100 ，并将成绩绘制得到如图所示的频率分布直方图．已知成
绩在区间 70 到 90 的有 60 人．
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(1)求样本容量，并估计该校本㳄竞赛成绩的中位数及平均数 x（同一组中的数据用该组 区间的中点值为代表）； (2)全校学生有 1000 人，抽取学生的竞赛成绩的标准差为 11，用频率估计概率，记全校
的最小值为（
）
A． 13 12
B． 21 16
C． 3
D．1
8．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图 1 所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋
顶形式，该屋顶的结构示意图如图 2 所示，在结构示意图中，已知四边形 ABCD 为矩形，
EF ∥ AB ， AB 2EF 2 ，VADE 与△BCF 都是边长为 1 的等边三角形，若点 A，B，
E 为 AP 的中点，则异面直线 PC 与 DE 所成的角的余弦值为（ ）
A． 2 5
B． 5
5
C． 10 5
D． 15 5
7．如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC，AD CD，BAD 120，AB AD 1．若
点
E
为边
CD
上的动点（不与
C、D
重合），则
uuur EA
uuur EB