新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 11 指数与指数函数

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习
考点知识总结11指数与指数函数
高考
概览
高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中等难度
考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点
4．体会指数函数是一类重要的函数模型
一、基础小题
1．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为()
A．18 B．21 C．24 D．27
答案 D
解析因为2x＝8y＋1＝23(y＋1)，所以x＝3y＋3，因为9y＝3x－9＝32y，所以x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
2．化简(a>0，b>0)的结果是()
A．b
a B．a
b C．a
2b D．
a
b
答案 D
解析
3.函数f(x)＝a x－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
答案 D
解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b＜0.故选D.
4．已知a＝(2)4
3
，b＝2
2
5
，c＝9
1
3
，则()
A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b
答案 A
解析
5．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是()
A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)
C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定
答案 A
解析∵f(x＋1)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x).若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f(3x)＞f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选A.
6．已知x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋1>0恒成立，则m的取值范围是() A．(2－22，2＋22) B．(－∞，2)
C．(－∞，2＋22) D．[2＋22，＋∞)
答案 C
解析令t＝3x(t>1)，则由已知得函数f(t)＝t2－mt＋m＋1的图象在t∈(1，＋∞)上恒在x轴的上方，则对于方程f(t)＝0，有Δ＝(－m)2－4(m＋1)<0或
⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m
2≤1，
f （1）＝1－m ＋m ＋1≥0，
解得2－22<m <2＋22或m ≤2－22，所以m <2＋2 2.故选C. 7．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．
1x 2＋1>1
y 2＋1
B ．ln(x 2＋1)>ln (y 2＋1)
C ．sin x >sin y
D ．x 3>y 3 答案 D
解析 因为实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，所以x >y ，根据函数y ＝x 2的对称性和单调性，可知x 2，y 2的大小不确定，故A ，B 中的不等式不恒成立；根据正弦函数的单调性，可知C 中的不等式也不恒成立；由于函数f (x )＝x 3在R 上单调递增，所以x 3>y 3，所以D 中的不等式恒成立．故选D.
8．(多选)设函数f (x )＝2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2) B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2
＞0
D ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）
2
答案 ACD 解析
9．(多选)已知函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期是1 B ．函数f (x )是单调递增函数
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称
D ．函数f (x )的图象关于(1，0)中心对称 答案 BD
解析 函数f (x )＝e x －1－e －x ＋1，即f (x )＝e x －1－
1
e x －1，可令t ＝e x －1
，即有y ＝t －
1t ，由y ＝t －1
t 在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A 错误，B 正确；由f (2－x )＝e 1－x －e x －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1，0)对称，则C 错误，D 正确．故选BD.
10．(多选)已知函数f (x )＝πx －π－x 2，g (x )＝πx ＋π－x
2，则f (x )，g (x )满足( )
A ．f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )
B ．f (－2)＜f (3)
C ．f (x )－g (x )＝π－x
D ．f (2x )＝2f (x )g (x ) 答案 ABD
解析 f (－x )＝π－x －πx 2＝－f (x )，g (－x )＝πx ＋π－x
2＝g (x )，所以f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )，A 正确；因为函数f (x )为增函数，所以f (－2)＜f (3)，B 正确；f (x )－g (x )＝πx －π－x
2－πx ＋π－x 2＝－2π－x 2＝－π－x
，C 不正确；f (2x )＝π2x －π－2x 2＝2·πx －π－x 2·πx ＋π－x
2＝2f (x )g (x )，
D 正确．
11．求值：0.064－13
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－590＋[(－2)3]－
43＋16－0.75＋0.011
2＝________． 答案 14380
解析 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝143
80.
12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．
答案 e
解析 由题意得，f (x )＝⎩⎨⎧e |x |，x ≥1，
e |x －2|，x <1.当x ≥1时，
f (x )＝e |x |＝e x ≥e(当x ＝1时，取等
号)；当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.
二、高考小题
13．(2022·天津高考)设a ＝30.7
，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－0.8
，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系
为( )
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b 答案 D
解析 因为a ＝30.7
＞1，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－0.8
＝30.8＞30.7＝a ，c ＝log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，所
以c ＜1＜a ＜b .故选D.
14．(2022·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝
K
1＋e
－0.23（t －53）
，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初
步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )
A ．60
B ．63
C ．66
D ．69 答案 C
解析 因为I (t )＝
K
1＋e －0.23（t －53），所以I (t *
)＝K 1＋e －0.23（t *－53）
＝0.95K ，则
e0.23(t *－53)＝19，所以0.23(t *－53)＝ln 19≈3，解得t *≈3
0.23＋53≈66.故选C.
15．(2022·北京高考)已知函数f (x )＝2x －x －1，则不等式f (x )＞0的解集是( ) A.(－1，1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(0，1)
D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 D
解析 因为f (x )＝2x －x －1，所以f (x )＞0等价于2x ＞x ＋1，在同一直角坐标系中作出y ＝2x 和y ＝x ＋1的图象如图：
两函数图象的交点坐标为(0，1)，(1，2)，所以不等式2x ＞x ＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).所以不等式f (x )＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞).故选D.
16．(2022·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，
Q ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫q ，－15.若2p ＋q ＝36pq ，则a ＝________． 答案 6
解析 由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2p 2p ＋ap ＝
65，①2q 2q ＋aq ＝－15， ②
①＋②，得2p （2q ＋aq ）＋2q （2p ＋ap ）
（2p ＋ap ）（2q ＋aq ）＝1，
整理得2p ＋q ＝a 2pq ，又2p ＋q ＝36pq ， ∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，
∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 三、模拟小题
17．(2022·云南曲靖陆良县联办高级中学模拟)函数y ＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的定义域是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，0)
C ．[0，＋∞)
D ．(－∞，0] 答案 C
解析 要使函数有意义，需满足1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120
，解得x ≥0，因此，
函数y ＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
的定义域为[0，＋∞).故选C. 18．(2022·湖北武汉高三开学考试)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是( )
A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0
B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2
3，－13
C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－23，0 D ．(－∞，0)
答案 A
解析 ∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，存在x 0∈[－1，1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴3－x 0＋m －1＝－3 x 0－m ＋1，∴2m ＝－3－x 0－3 x 0＋2，构造函数y ＝－3－x 0－3 x 0＋2，x 0∈[－1，1]，令t ＝3x 0，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，y ＝－1t －t ＋2＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 在⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
13，1上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴t ＝1取得最大值0，t ＝13或t ＝3取得最小值－4
3，y ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－43，0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.故选A. 19．(多选)(2022·山东日照二模)若实数m ，n 满足5m －4n ＝5n －4m ，则下列关系式中可能成立的是( )
A ．m ＝n
B ．1<m <n
C ．0<m <n <1
D ．n <m <0 答案 ACD
解析 由题意，实数m ，n 满足5m －4n ＝5n －4m ，可化为4m ＋5m ＝5n ＋4n ，设y ＝f (x )＝4x ＋5x ，y ＝g (x )＝5x ＋4x ，由初等函数的性质，可得f (x )，g (x )都是单调递增函数，画出函数f (x )，g (x )的图象，如图所示，作直线y ＝t 0，当t 0<1时，n <m <0成立；当t 0＝1或t 0＝9时，m ＝n 成立；当1<t 0<9时，0<m <n <1成立；当t 0>9时，1<n <m 成立．综上，可知可能成立的为A ，C ，D.
20．(多选)(2022·江苏淮安高三第一学期五校联考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x 1＋e x －12，则关于函
数g (x )＝[f (x )]的叙述中正确的是( )
A ．g (x )是偶函数
B ．f (x )是奇函数
C ．f (x )在R 上是增函数
D ．g (x )的值域是{－1，0，1} 答案 BC
解析 ∵g (1)＝[f (1)]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e
1＋e －12＝0，g (－1)＝[f (－1)]＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e
1＋1e －12＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ＋1－12＝－
1，∴g (1)≠g (－1)，则g (x )不是偶函数，故A 错误；∵f (x )＝e x 1＋e x －1
2
的定义域为R ，f (－
x )＋f (x )＝e －x
1＋e －x －12＋e x 1＋e x －1
2
＝
1e x
1＋1e x
＋e x 1＋e x －1＝11＋e x ＋e x
1＋e x －1＝0，∴f (x )为奇函数，故B 正确；∵f (x )＝e x 1＋e x －12＝1＋e x
－11＋e x －12＝12－11＋e x ，又e x
在R 上单调递增，∴f (x )＝12－11＋e x 在R 上是增函数，故C 正确；∵e x ＞0，∴1＋e x ＞1，则0＜11＋e x
＜1，可
得－12＜12－11＋e x ＜12
，即－12＜f (x )＜
12.∴g (x )＝[f (x )]∈{－1，0}，故D 错误．故选BC. 21．(2022·南阳模拟)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则a ＝________，实数m 的最小值为________．
答案 1 1
解析 因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.
22．(2022·福建漳州高三阶段考试)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1).若对任意的x ∈[0，2t ＋1]，均有f (x ＋t )≥[f (x )]3，则实数t 的取值范围是________．
答案 ⎝ ⎛⎦
⎥⎤－1
2，－49
解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a x (a >1)，∴f (x )＝a |x |(a >1)，则[f (x )]3＝(a |x |)3＝a |3x |＝f (3x )，则f (x ＋t )≥[f (x )]3等价于f (x ＋t )≥f (3x )，当x ≥0时f (x )为增函数，则|x ＋t |≥|3x |，即8x 2－2tx －t 2≤0对任意x ∈[0，2t ＋1]恒成立，设g (x )＝8x 2－2tx －t 2，则⎩⎨⎧g （0）≤0g （2t ＋1）≤0⇔⎩⎨⎧－t 2≤0，27t 2＋30t ＋8≤0，
解得－23≤t ≤－49，又2t ＋1＞0，∴－1
2＜t ≤
－4
9.
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2022·黑龙江鹤岗一中期末)函数f(x)＝2x－a
2x
是奇函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)>m·2－x＋4恒成立，求m的取值范围．
解(1)∵函数f(x)＝2x－a
2x
是奇函数，
∴f(－x)＝2－x－a
2－x ＝－a·2x＋1
2x
＝－2x＋a
2x
＝－f(x)，
故a＝1，
故f(x)＝2x－1
2x.
(2)当x∈(0，＋∞)时，f(x)>m·2－x＋4恒成立，
即m＋1<(2x)2－4·2x在x∈(0，＋∞)上恒成立，令t＝2x，t>1，h(t)＝t2－4t＝(t－2)2－4(t>1)，
显然h(t)在(1，＋∞)上的最小值是h(2)＝－4，
故m ＋1<－4， 解得m <－5.
故m 的取值范围为(－∞，－5).
2．(2022·湖北襄阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R ). (1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；
(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件． 解 (1)因为f (x )为偶函数，
所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |， 解得实数b ＝0.
(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩
⎨⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .
①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，即b ≥－2.
②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．
所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2022·宁夏银川一中期末)已知定义在R 上的奇函数f (x )，在x ∈(0，1)时，f (x )＝2x
4x ＋1
且f (－1)＝f (1).
(1)求f (x )在x ∈[－1，1]上的解析式； (2)证明：当x ∈(0，1)时，f (x )<1
2；
(3)若x ∈(0，1)，常数λ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，52，解关于x 的不等式f (x )>1λ.
解 (1)∵f (x )是R 上的奇函数且x ∈(0，1)时，f (x )＝2x
4x ＋1，
∴f (0)＝0，当x ∈(－1，0)时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x
4x ＋1，
又f (－1)＝－f (1)，f (－1)＝f (1)， ∴f (－1)＝f (1)＝0.
综上所述，当x ∈[－1，1]时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x 4x ＋1
，x ∈（－1，0），2x 4x
＋1，x ∈（0，1），
0，x ∈{－1，0，1}．
(2)证明：当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x 4x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋12x －1
，
又2x ＋1
2x ≥2
2x ·12x ＝2，当且仅当2x ＝1
2x ，即x ＝0时取等号．
∵x ∈(0，1)，∴2x ＋12x >2，∴f (x )<1
2. (3)当λ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，52时，1λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫25，12，f (x )>1λ，
即4x －λ·2x ＋1<0，
设t ＝2x ∈(1，2)，不等式变为t 2－λt ＋1<0，
∵λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52，∴Δ＝λ2－4>0， ∴λ－λ2－42<t <λ＋λ2－42
.
令g (λ)＝λ－λ2－42，λ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，52，g ′(λ)＝λ2－4－λ2λ2－4， 又λ2－4<λ，∴g ′(λ)<0， ∴g (λ)在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2，52上单调递减，
∴g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
52<g (λ)<g (2)，即12<λ－λ2
－42<1.
令h (λ)＝λ＋λ2－42，h (λ)在
⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，52上单调递增， ∴h (2)<h (λ)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，即1<λ＋λ2－42<2，
∴1<t <λ＋λ2－42，即0<x <log 2λ＋λ2－4
2
.
综上可知，不等式f (x )>1λ的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，log 2
λ＋λ2－42. 4．(2022·山东枣庄高三模拟)已知函数f (x )＝e x ＋a e －x ，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；
(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；
(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x ＋e －x ，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．
(2)设x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1＋a e －x 1－(e x 2＋a e －x 2) ＝（e x 1－e x 2）（e x 1＋x 2－a ）e x 1＋x 2
.
因为x 1<x 2，函数y ＝e x 为增函数， 所以e x 1<e x 2，
则e x 1－e x 2<0，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0， 所以e x 1＋x 2－a >0恒成立，
即a <e x 1＋x 2对任意的0≤x 1<x 2恒成立， 所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1].
(3)由(1)(2)知，函数f (x )＝e x ＋e －x 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值为f (0)＝2，
且f (2x )＝e 2x ＋e －2x ＝(e x ＋e －x )2－2，
设t ＝e x
＋e －x
，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12， 则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立， 等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1
t 2恒成立， 而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t ＋122－14，
当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值3
4，
故m ≥34.
因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，＋∞.。